§1.3 正规子群与商群

学习目标

1. 理解正规子群的定义及其多种等价刻画。
2. 能判断给定子群是否为正规子群。
3. 理解商群的构造及其"良定义性"问题的本质。
4. 掌握自然投射的性质及其与同态核的联系。
5. 理解单群的概念及其在 Galois 理论中的核心作用。

动机

我们已经看到，陪集 $aH$ 不一定等于 $Ha$ 。当 $H$ 足够"对称"时（即对所有 $a$ ， $aH=Ha$ ），陪集集合上可以定义自然的群结构——这就是正规子群和商群的核心思想。商群是"忽略 $H$ 内部细节，只看 $H$ 的宏观模式"的精确数学化。

为什么正规子群如此重要？

正规子群在代数学中具有多重角色：

1. 商群的构造：只有正规子群才能定义商群。这是因为商群的运算 $(aN)(bN)=(ab)N$ 需要"良定义性"，而正规性正是保证这一点的条件。
2. 同态的核：每个群同态 $\phi :G\to H$ 的核 $\ker \phi$ 都是 $G$ 的正规子群。反过来，每个正规子群都是某个同态的核（自然投射）。
3. Galois 对应：在 Galois 理论中，正规子群对应于 正规扩张，商群对应于 Galois 群的商——这种对应是 §8 Galois 对应 的核心。
4. 可解性：§9 可解群 的定义依赖于正规子群链，而五次方程不可根式求解的证明正是基于 $A_5$ 的单性。

正规子群

定义 正规子群

设 $N\le G$ 。若对所有 $g\in G$ ， $gN{g}^{-1}=N$ （等价地， $gN=Ng$ 对所有 $g\in G$ ），则称 $N$ 为 $G$ 的正规子群，记为 $N⊴G$ 。

注

条件 $gN{g}^{-1}=N$ 等价于：对每个 $n\in N$ ， $gn{g}^{-1}\in N$ 。注意我们不需要 $gn{g}^{-1}=n$ （这将是中心的条件），只需共轭仍在 $N$ 中。正规性是一个集合层面的条件，不是元素层面的条件。

引理 正规子群的等价条件

设 $N\le G$ 。以下条件等价：

1. $gN{g}^{-1}=N$ 对所有 $g\in G$ 。
2. $gN{g}^{-1}\subseteq N$ 对所有 $g\in G$ 。
3. $gN=Ng$ 对所有 $g\in G$ （左陪集 = 右陪集）。
4. $N$ 中每个元素的共轭类都包含在 $N$ 中。

证明

(1) $\iff$ (2)：(1) $\Rightarrow$ (2) 显然。反之，若 $gN{g}^{-1}\subseteq N$ ，则 $N=g^{-1}(gN{g}^{-1})g\subseteq g^{-1}Ng$ 。将 $g$ 换为 $g^{-1}$ 得 $g^{-1}Ng\subseteq N$ ，故 $gN{g}^{-1}=N$ 。

关键观察：从 $gN{g}^{-1}\subseteq N$ 推出 $gN{g}^{-1}=N$ ，这个技巧依赖于 $g\mapsto g^{-1}$ 的对称性。如果只要求对某些$g$ 成立，条件就弱得多。

(1) $\iff$ (3)： $gN=Ng$ 即 $\{gn:n\in N\}=\{ng:n\in N\}$ 。对 $gn\in gN$ ，有 $gn=(gn{g}^{-1})g\in Ng$ （因 $gn{g}^{-1}\in N$ ）。反之类似。

(1) $\iff$ (4)：由定义直接得到。

条件 (2) 为什么只需要"单边"？

证明中，从 $gN{g}^{-1}\subseteq N$ 推出 $N\subseteq gN{g}^{-1}$ 的关键步骤是：将 $g$ 替换为 $g^{-1}$ ，得到 $g^{-1}Ng\subseteq N$ ，两边左乘 $g$ 右乘 $g^{-1}$ 得 $N\subseteq gN{g}^{-1}$ 。这个技巧的核心是** $g^{-1}$ 也是 $G$ 中的元素**。如果我们考虑的不是整个群 $G$ 而是某个子集，这个论证就失效了。

例 正规子群的例子

1. $\{e\}$ 和 $G$ 总是 $G$ 的正规子群，称为平凡正规子群。
2. 交换群的任何子群都是正规子群（因 $gn{g}^{-1}=g{g}^{-1}n=n$ ）。例如 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 的所有子群都正规。
3. $A_n⊴S_n$ 。这是因为 $\mathrm{sgn}(\sigma \tau {\sigma }^{-1})=\mathrm{sgn}(\sigma )\mathrm{sgn}(\tau )\mathrm{sgn}(\sigma {)}^{-1}=\mathrm{sgn}(\tau )$ ，所以共轭不改变置换的奇偶性。
4. $Z(G)⊴G$ 。中心元素与所有元素交换，故共轭是恒等。
5. 指数为 2 的子群必正规：若 $[G:H]=2$ ，则左陪集 $\{H,gH\}$ 等于右陪集 $\{H,Hg\}$ （因为 $G\setminus H$ 同时是唯一的非平凡左陪集和唯一的非平凡右陪集）。
6. $D_4$ 中，旋转子群 $\{e,r,r^2,r^3\}⊴D_4$ （指数为 2）。但反射子群 $\{e,s\}$ 不正规。

例 非正规子群的验证

在 $S_3$ 中， $H=\{e,(12)\}$ 不是正规子群。验证：

取 $g=(13)$ ，则 $gH{g}^{-1}=(13)\{e,(12)\}(13{)}^{-1}=\{e,(13)(12)(13)\}=\{e,(23)\}\ne H$ 。

关键点：不需要检查所有 $g\in G$ ，只要找到一个反例就够了。正规性是一个"对所有 $g$ "的条件，否定它只需要一个反例。

一般规律：在 $S_3$ 中， $\{e,(12)\}$ ， $\{e,(13)\}$ ， $\{e,(23)\}$ 都不是正规子群。正规子群只有 $\{e\}$ ， $A_3=\{e,(123),(132)\}$ ，和 $S_3$ 自身。

$S_3$ 的正规子群结构

$S_3$ 的正规子群只有三个： $\{e\}$ ， $A_3\cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ ，和 $S_3$ 。这告诉我们：

1. $S_3$ 不是单群（有非平凡正规子群 $A_3$ ）。
2. $S_3/A_3\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ （商群）。
3. $A_3$ 是 $S_3$ 唯一的非平凡正规子群。

在 §7 Galois 群 中，我们会看到 $S_3$ 可以作为某个三次多项式的 Galois 群，此时正规子群 $A_3$ 对应于一个正规的中间域扩张。

注

非正规子群确实存在。例如在 $S_3$ 中， $H=\{e,(12)\}$ 不是正规子群： $(13)H(13{)}^{-1}=\{e,(23)\}\ne H$ 。在下方的子群格交互图中，非正规子群以不同颜色标注。

母群 正规子群 非正规子群 平凡子群

共轭子群的几何直觉

$gN{g}^{-1}$ 是 $N$ 的"共轭"——它把 $N$ 中的每个元素通过 $g$ 做了一次"坐标变换"。如果 $N$ 是正规的，说明 $N$ 在所有"坐标变换"下都不变——这是非常强的对称性。

类比：在 ${\mathbb{R}}^3$ 中，考虑旋转群 $SO(3)$ 的子群。 $z$ 轴的旋转子群不是正规的（绕 $x$ 轴旋转会把它变成 $y$ 轴的旋转子群），但整个 $SO(3)$ 的中心 $\{I\}$ 是正规的。

定义 商群

设 $N⊴G$ 为正规子群。陪集集合 $G/N=\{gN:g\in G\}$ 在运算 $(aN)(bN)=(ab)N$ 下构成群，称为 $G$ 模 $N$ 的商群（quotient group）。详见 [定理]。

商群

定理 商群

设 $N⊴G$ 。定义陪集集合 $G/N=\{gN:g\in G\}$ 上的运算为

$$(aN)(bN)=(ab)N$$

则 $(G/N,\cdot )$ 构成一个群，称为 $G$ 模 $N$ 的商群。 $|G/N|=[G:N]$ 。

证明

良定义性：这是关键——我们必须证明运算不依赖于陪集代表元的选取。设 $aN=a^{\prime }N$ ， $bN=b^{\prime }N$ 。则 $a^{\prime }=a{n}_1$ ， $b^{\prime }=b{n}_2$ 对某 $n_1,n_2\in N$ 。故

$$a^{\prime }{b}^{\prime }=a{n}_1\cdot b{n}_2=a(n_{1}b)n_2=a(b\cdot b^{-1}{n}_{1}b)n_2=ab\cdot (b^{-1}{n}_{1}b)n_2$$

由 $N$ 的正规性， $b^{-1}{n}_{1}b\in N$ ，故 $(b^{-1}{n}_{1}b)n_2\in N$ 。因此 $a^{\prime }{b}^{\prime }\in (ab)N$ ，即 $a^{\prime }{b}^{\prime }N=abN$ 。✓

关键步骤： $n_{1}b=b(b^{-1}{n}_{1}b)$ 这一步把 $n_1$ "移到"了 $b$ 的右边，代价是产生了共轭 $b^{-1}{n}_{1}b$ 。正规性保证这个共轭仍在 $N$ 中。这就是为什么只有正规子群才能定义商群。

群公理：

• 结合律： $(aN\cdot bN)\cdot cN=(ab)N\cdot cN=(abc)N=aN\cdot (bc)N=aN\cdot (bN\cdot cN)$ 。
• 单位元： $eN=N$ 是单位元： $(aN)(eN)=(ae)N=aN$ 。
• 逆元： $(aN{)}^{-1}=a^{-1}N$ ： $(aN)(a^{-1}N)=(a{a}^{-1})N=eN=N$ 。

$|G/N|$ 等于陪集个数 $[G:N]$ ，由定义。

良定义性：为什么这么重要？

商群的运算 $(aN)(bN)=(ab)N$ 看起来很简单，但它有一个隐藏的问题：同一个陪集可以用不同的代表元表示。例如在 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 中， $\bar{2}=\bar{8}$ 。如果定义乘法时选 $\bar{2}$ 和另一个选 $\bar{8}$ 得到不同的结果，运算就不是良定义的。

正规性正是排除这种"代表元依赖"的条件。对于非正规子群，陪集运算一定不是良定义的。

例 商群的计算

1. $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$：这是 $\mathbb{Z}$ 模正规子群 $n\mathbb{Z}$ 的商群。 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}=\{\bar{0},\bar{1},\bar{2},\bar{3},\bar{4},\bar{5}\}$ ， $|\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}|=6$ 。

2. $S_3/A_3\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$： $A_3=\{e,(123),(132)\}$ 是 $S_3$ 的正规子群。 $S_3/A_3\mathrm{有}\mathrm{两}\mathrm{个}\mathrm{陪}\mathrm{集}：$ A_3$（偶置换）和 $(12)A_3$ （奇置换）。商群 $\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ ，由 $\mathrm{sgn}:S_3\to \{-1,1\}$ 给出。

3. $D_4/⟨r⟩\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$： $D_4$ 的旋转子群 $⟨r⟩=\{e,r,r^2,r^3\}$ 的指数为 2，因此正规。商群有两个元素：旋转陪集和反射陪集。

4. $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ 模 $\{\bar{0},\bar{2}\}$： $\{\bar{0},\bar{2}\}⊴\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ （交换群的子群都正规）。商群 $(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})/\{\bar{0},\bar{2}\}\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 。这是"忽略 $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ 中的 $2$ -扭元素"的构造。

直觉

商群 $G/N$ 是将 $N$ 中所有元素"坍缩"为一个单位元后的群结构。就像将一张纸上的每个等价类压成一个点——保持了群运算，但抹去了 $N$ 内部的结构细节。这是"局部化"的代数版本，也是 环的商环 和 分裂域与正规扩张 中类似构造的原型。

类比：在 $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ 中， $12\mathbb{Z}=\{\dots ,-12,0,12,24,\dots \}$ 被"坍缩"为一个元素 $\bar{0}$ 。整数环 $\mathbb{Z}$ 的"周期结构"被商群捕捉为有限群 $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ 。

自然同态

定义 自然投射

设 $N⊴G$ 。映射

$$\pi :G\to G/N,\pi (g)=gN$$

称为 $G$ 到 $G/N$ 的自然投射（或典范满同态）。

命题

自然投射 $\pi :G\to G/N$ 是满同态，且 $\ker \pi =N$ 。

证明

同态性： $\pi (ab)=(ab)N=(aN)(bN)=\pi (a)\pi (b)$ 。满射：对任意 $gN\in G/N$ ， $\pi (g)=gN$ 。核： $\ker \pi =\{g\in G:gN=N\}=\{g\in G:g\in N\}=N$ 。

注

[命题] 与 [定理] 结合，告诉我们：每个正规子群都是某个同态的核，每个同态的核都是正规子群。正规子群与同态的核是同一概念的两面。

具体地，对任意同态 $\phi :G\to H$ ：

• $\ker \phi ⊴G$ （核是正规子群）。
• $G/\ker \phi \cong \mathrm{im}\phi$ （第一同构定理）。

这个对应关系在 Galois 理论中至关重要：§8.1 基本定理 的核心就是 Galois 群的正规子群与正规中间域之间的对应。

单群

定义 单群

若群 $G\ne \{e\}$ 且 $G$ 没有非平凡的正规子群（即 $G$ 的正规子群只有 $\{e\}$ 和 $G$ 自身），则称 $G$ 为单群。

例 单群的例子

1. 素数阶循环群 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 是单群（因为其子群只有 $\{\bar{0}\}$ 和自身，由 [推论]，子群阶必整除 $p$ ）。
2. $A_n$ 在 $n\ge 5$ 时是单群。这是 Galois 理论的核心定理之一——正是这一事实导致了一般五次方程不可根式求解（[定理]）。
3. $A_4$ 不是单群，因为 Klein 四元群 $V_4=\{e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}⊴A_4$ 。
4. $A_5$ 是单群， $|A_5|=60$ 。这是最小的非交换单群。
5. $S_3$ 不是单群（ $A_3⊴S_3$ ）。
6. $S_n$ 在 $n\ge 3$ 时不是单群（ $A_n$ 是非平凡正规子群）。

为什么 $A_5$ 的单性如此重要？

$A_5$ 的单性意味着它不能被"分解"为更简单的群的商。在 §9 可解群 中，我们将看到：

• 可解群的定义要求存在正规子群链，使得每个商群都是交换群。
• $A_5$ 是单群且非交换，所以它不是可解群。
• $S_5$ 包含 $A_5$ 作为子群，因此 $S_5$ 也不是可解群。
• 五次方程的 Galois 群可以是 $S_5$ ，因此五次方程不能根式求解。

这就是 Galois 理论的巅峰结论：代数的不可解性源于群的不可分解性。

直觉

单群之于群论，正如素数之于数论。Jordan–Hölder 定理表明，每个有限群都有唯一的"素因子分解"——分解为单群的组合（通过半直积和群扩张）。有限单群的分类是 20 世纪数学最宏伟的成就之一。

有限单群的分类定理（1981年完成）指出，每个有限单群属于以下四类之一：

1. 循环群$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ （ $p$ 素数）
2. 交错群$A_n$ （ $n\ge 5$ ）
3. Lie 型单群（包括典型群、例外群等）
4. 26 个散在单群（sporadic groups），包括最大的"魔群"（Monster group），阶约 $8\times {10}^{53}$ 。

非正规子群的系统判断

实用判据

判断 $N\le G$ 是否正规，有以下实用策略：

1. 指数 2 判据：若 $[G:N]=2$ ，则 $N⊴G$ 。这是最常用的判据。
2. 交换群判据：若 $G$ 是交换群，则 $G$ 的所有子群都正规。
3. 中心判据： $Z(G)⊴G$ 总是成立。
4. 共轭类判据： $N⊴G$ 当且仅当 $N$ 是若干共轭类的并集（加上单位元）。
5. 反例法：找一个 $g\in G$ 使得 $gN{g}^{-1}\ne N$ ，即证 $N$ 不正规。

例 共轭类判据的应用

在 $S_4$ 中，共轭类（按循环类型分）为：

循环类型	代表元	共轭类大小
$(1)$	$e$	1
$(2)$	$(12)$	6
$(2,2)$	$(12)(34)$	3
$(3)$	$(123)$	8
$(4)$	$(1234)$	6

$A_4=\{e\}\cup \{(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}\cup \{(123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243)\}$$=\{e\}$ （大小 1） $\cup$ 类型 $(2,2)$ （大小 3） $\cup$ 类型 $(3)$ （大小 8） $=1+3+8=12$ 。✓

所以 $A_4$ 确实是正规子群（是完整共轭类的并）。

而 $V_4=\{e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}=\{e\}\cup$ 类型 $(2,2)$ ，也是完整共轭类的并， $|V_4|=4$ 。所以 $V_4⊴S_4$ 。

常见误区

误区一："所有子群都正规"

错误！ 只有交换群的所有子群才都正规。在非交换群中，非正规子群是常见的。例如 $S_3$ 中的 $\{e,(12)\}$ 不正规。

事实上，"所有子群都正规"的群称为 Dedekind 群。交换群是 Dedekind 群，但非交换的 Dedekind 群也存在（称为 Hamilton 群，例如四元数群 $Q_8$ ）。

误区二：" $gN{g}^{-1}=N$ 意味着 $gn{g}^{-1}=n$ "

错误！$gN{g}^{-1}=N$ 是集合层面的等式，意思是 $gN{g}^{-1}$ 和 $N$ 是同一个集合。这不要求对每个 $n\in N$ 都有 $gn{g}^{-1}=n$ 。后者是中心的条件（ $g$ 与所有 $n\in N$ 交换），远强于正规性。

例如在 $S_3$ 中， $A_3⊴S_3$ ，但 $(12)(123)(12{)}^{-1}=(132)\ne (123)$ 。正规性允许元素被"移动"，只要仍在集合 $N$ 内即可。

误区三："指数 3 的子群也一定正规"

错误！ 只有指数 2 的子群保证正规。指数 3 的子群不一定正规。

反例：在 $S_3$ 中， $H=\{e,(12)\}$ 的指数为 3，但 $H$ 不是正规子群。更一般地， $S_n$ 中的稳定化子 $\mathrm{Stab}(n)\cong S_{n-1}$ 有指数 $n$ ，但一般不正规。

误区四："商群 $G/N$ 一定比 $G$ 小"

严格来说， $|G/N|=[G:N]\le |G|$ 。 当 $N=\{e\}$ 时， $G/N\cong G$ （大小不变）。当 $N=G$ 时， $G/N=\{e\}$ （塌缩为平凡群）。只有当 $N$ 是非平凡正规子群时，商群才"严格小于" $G$ 。

自测问题

习题 自测

1. 正规性判断：在 $D_4$ （正方形的对称群）中，判断以下子群是否正规：

   • (a) 旋转子群 $\{e,r,r^2,r^3\}$
   • (b) $\{e,r^2\}$
   • (c) $\{e,s\}$ （ $s$ 为某个反射）

2. 商群计算： $S_4/V_4$ 同构于什么群？（ $V_4=\{e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$ 。提示： $|S_4/V_4|=24/4=6$ 。）

3. 概念辨析：解释为什么"正规子群的子群不一定是正规子群"。给出一个例子。

4. 单群验证：证明 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ （ $p$ 素数）是单群。（用 Lagrange 定理。）

5. Galois 预备：为什么 $A_5$ 的单性意味着五次方程不能用根式求解？简述论证思路。

答案

1. (a) 正规（指数为 2）。(b) 正规（ $r^2$ 与所有元素交换，实际上 $r^2\in Z(D_4)$ ，所以 $\{e,r^2\}$ 在中心中，当然正规）。(c) 不正规： $r\{e,s\}{r}^{-1}=\{e,rs{r}^{-1}\}=\{e,s{r}^2\}\ne \{e,s\}$ 。

2. $S_4/V_4\cong S_3$ 。这是因为 $V_4$ 是 $S_4$ 的核（对应于 $S_4$ 在 $\{1,2,3,4\}$ 的 2+2 分拆上的作用），商群 $S_4/V_4$ 作用于三个 2-元子集对，得到 $S_3$ 。

3. 设 $G=S_4$ ， $N=V_4⊴S_4$ ， $H=\{e,(12)\}\le V_4$ ... 不对， $\{e,(12)\}\nleqq V_4$ 。更好的例子： $G=D_4$ ， $N=\{e,r,r^2,r^3\}⊴D_4$ ， $H=\{e,r^2\}\le N$ 。 $H$ 也是 $D_4$ 的正规子群（因为 $H\le Z(D_4)$ ）。再找： $G=S_3\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ ， $N=A_3\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}⊴G$ ， $H=A_3\times \{0\}\le N$ 。 $H$ 是 $N$ 的正规子群（ $N$ 是交换的），但 $H$ 不一定是 $G$ 的正规子群... 实际上 $A_3⊴S_3$ ，所以 $H⊴G$ 。更难的例子需要更大的群。

4. $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 的子群阶必整除 $p$ （Lagrange 定理）。因为 $p$ 是素数，子群阶只能是 1 或 $p$ ，即子群只有 $\{\bar{0}\}$ 和 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 自身。 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\ne \{\bar{0}\}$ ，所以 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 是单群。

5. 简述：(1) 五次方程的 Galois 群可以是 $S_5$ 。(2) 若 $S_5$ 可解，则五次方程可根式求解。(3) $S_5$ 包含 $A_5$ 作为指数 2 的正规子群。(4) 若 $S_5$ 可解，则 $A_5$ 也可解。(5) 可解群的商群仍是可解群，所以 $A_5$ 的商群（如果是非交换单群，则商群只能是 $\{e\}$ 或 $A_5$ 自身）必须是交换的。(6) 但 $A_5$ 是非交换单群，矛盾。

交叉引用

本节概念	关联章节	关联内容
正规子群	§5.2 正规扩张	Galois 理论中正规子群 ↔ 正规扩张
商群	§8.1 基本定理	商群对应中间域扩张
单群	§9.1 可解群	$A_5$ 的单性导致五次方程不可根式求解
自然投射	§1.4 群同态基本定理	第一同构定理的特例
良定义性	§2.2 理想与商环	商环的运算也需要良定义性
共轭类	§7.1 Galois 群的定义	Galois 群的结构依赖共轭类分析
交换群的子群	§1.1 群的基本定义	交换群的所有子群都正规

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本节要点

1. 正规子群 $N⊴G$ 的本质特征是左右陪集相等： $gN=Ng$ 。
2. 商群 $G/N$ 的运算 $aN\cdot bN=(ab)N$ 是良定义的，当且仅当 $N$ 正规。
3. 自然投射 $\pi :G\to G/N$ 是满同态， $\ker \pi =N$ 。
4. 单群是没有非平凡正规子群的群，是群的"素数"。
5. $A_n$ （ $n\ge 5$ ）的单性是 Galois 理论的关键支柱。

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