§7.1 Galois 群的定义与基本性质

📖 学习目标

完成本节后，你应该能够：

1. 给出 $\mathrm{Gal}(L/K)$ 的严格定义，并解释它为什么是域扩张的"对称群"
2. 证明 Galois 群忠实地作用在多项式的根上，且作用是传递的（对不可约多项式）
3. 计算至少五类基本例子的 Galois 群： $\mathbb{C}/\mathbb{R}$ 、 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})/\mathbb{Q}$ 、 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q}$ 、分圆域、 $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2},i)/\mathbb{Q}$
4. 解释 $|\mathrm{Gal}(L/K)|\le [L:K]$ 以及等号成立的条件
5. 理解限制同态和包含同态的函子性

直觉 核心直觉

Galois 群是域扩张 $L/K$ 上保持 $K$ 中元素不动的自同构群。它编码了 $L$ 相对于 $K$ 的内在对称性： $L$ 的元素可以在不"破坏"域结构、不移动 $K$ 的前提下互相交换的那些方式。

当我们有一个多项式 $f\in K[x]$ 和它的分裂域 $L$ 时， $\mathrm{Gal}(L/K)$ 的每个元素会将 $f$ 的根进行置换——而且这些置换受到代数关系的严格约束。Galois 的天才洞察就是：多项式的根的代数关系恰好由群的结构来编码。

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自同构群

定义 域自同构

设 $L$ 为域。 $L$ 的一个自同构（automorphism）是双射域同态 $\sigma :L\to L$ 。 $L$ 的全体自同构在复合运算下构成一个群 $\mathrm{Aut}(L)$ 。

定义 $K$ -自同构

设 $L/K$ 为域扩张。一个** $K$ -自同构**是满足 $\sigma {|}_K={\mathrm{id}}_K$ 的自同构 $\sigma \in \mathrm{Aut}(L)$ ，即对所有 $a\in K$ ， $\sigma (a)=a$ 。

$L$ 上所有 $K$ -自同构构成 $\mathrm{Aut}(L)$ 的子群，记作 $\mathrm{Aut}(L/K)$ 。

定义 Galois 群

设 $L/K$ 为域扩张。 $L$ 在 $K$ 上的 Galois 群（Galois group）定义为

$$\mathrm{Gal}(L/K):=\mathrm{Aut}(L/K)=\{\sigma \in \mathrm{Aut}(L):\sigma {|}_K={\mathrm{id}}_K\}.$$

对于 $f\in K[x]$ ，定义 $f$ 在 $K$ 上的 Galois 群为 $\mathrm{Gal}(f/K):=\mathrm{Gal}(L/K)$ ，其中 $L$ 是 $f$ 在 $K$ 上的分裂域。

注 Galois 群的良定义性

由于分裂域在 $K$ -同构意义下唯一（[定理]）， $\mathrm{Gal}(f/K)$ 在同构意义下不依赖于分裂域 $L$ 的具体选择。然而，当我们在不同分裂域之间更换时，Galois 群只是共轭的，因此我们通常固定一个分裂域。

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Galois 群的基本性质

命题 Galois 群作用在根上

设 $L/K$ 是 $f\in K[x]$ 的分裂域， $\alpha \in L$ 是 $f$ 的根。则对任意 $\sigma \in \mathrm{Gal}(L/K)$ ， $\sigma (\alpha )$ 也是 $f$ 的根。

因此 Galois 群忠实地作用在 $f$ 的根的集合上：

$$\mathrm{Gal}(L/K)\hookrightarrow \mathrm{Sym}(\mathrm{Roots}(f,L)).$$

证明. 设 $f(x)=a_n{x}^n+\cdots +a_0$ ， $f(\alpha )=0$ 。对 $f(\alpha )=\sum a_i{\alpha }^i=0$ 两边施加 $\sigma$ ：

$$\sigma (\sum a_i{\alpha }^i)=\sum \sigma (a_i)\sigma (\alpha {)}^i=\sum a_i\sigma (\alpha {)}^i=f(\sigma (\alpha ))=0,$$

其中 $\sigma (a_i)=a_i$ 因为 $a_i\in K$ 且 $\sigma \in \mathrm{Gal}(L/K)$ 。故 $\sigma (\alpha )$ 是 $f$ 的根。

映射 $\sigma \mapsto \sigma {|}_{\mathrm{Roots}(f,L)}$ 给出了群同态 $\mathrm{Gal}(L/K)\to \mathrm{Sym}(\mathrm{Roots}(f,L))$ 。由于 $L=K({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$ （其中 ${\alpha }_i$ 跑遍 $f$ 的根）， $\sigma$ 由它在根上的作用唯一确定，故此同态是单射。 $◼$

嵌入对称群 ≠ Galois 群就等于某个置换群

$\mathrm{Gal}(L/K)\hookrightarrow S_n$ 只说明 Galois 群可以视为$S_n$ 的子群。它不一定是整个 $S_n$ 。例如 $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q})\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 虽然嵌入 $S_2$ ，但 $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega )/\mathbb{Q})\cong S_3$ 才等于 $S_3$ 。关键在于 $f$ 的根之间有没有额外的代数关系（如 ${\omega }^3=1$ ）限制了对称性。

命题 Galois 群的阶

设 $L/K$ 是有限扩张。则 $|\mathrm{Gal}(L/K)|\le [L:K]$ ，等号成立当且仅当 $L/K$ 是 Galois 扩张（将在 §8.2 精确定义）。

证明. 设 $[L:K]=n$ ，选取 $K$ -基 $\{e_1,\dots ,e_n\}$ 。每个 $\sigma \in \mathrm{Gal}(L/K)$ 是 $K$ -线性映射，由 $\sigma (e_1),\dots ,\sigma (e_n)$ 完全决定。然而，并非每个 $K$ -基的选择都能扩展为域自同构——代数约束（如 $e_i{e}_j=\sum c_{ij}^k{e}_k$ ）限制了可能性。

更精确地，固定本原元 $\alpha$ （若存在），则 $L=K(\alpha )$ ， $\sigma$ 由 $\sigma (\alpha )$ 完全决定。 $\sigma (\alpha )$ 必须是 $\alpha$ 的极小多项式的根，最多 $n$ 个选择。故 $|\mathrm{Gal}(L/K)|\le n$ 。

等号成立的条件将在 §8.2（Galois 扩张）中完整刻画。 $◼$

注 等号不成立的典型例子

$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q}$ 是 3 次扩张，但 $\mathrm{Gal}=\{id\}$ ，只有 1 个元素。这是因为 $x^3-2$ 的另外两个根不在 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 中，域"太小"了——它无法容纳多项式的全部对称性。Galois 扩张的定义恰恰排除了这种情况。

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具体计算

例 $\mathrm{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})$

$\mathbb{C}=\mathbb{R}(i)$ ， $i$ 的极小多项式为 $x^2+1$ ，根为 $\pm i$ 。因此 $\mathrm{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})$ 的每个元素由 $i$ 的像确定，而 $i$ 只能映射到 $i$ 或 $-i$ 。

• $\mathrm{id}:i\mapsto i$ （恒等）
• $\sigma :i\mapsto -i$ （复共轭）

故 $\mathrm{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 。

注意： 复共轭是唯一的非平凡 $\mathbb{R}$ -自同构。这并不是显然的——复数域作为一个"大"的代数闭域，只有 2 个 $\mathbb{R}$ -自同构，而不是很多。

例 $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q})$

$\sqrt{2}$ 的极小多项式为 $x^2-2$ ，根为 $\pm \sqrt{2}$ 。故 $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q})=\{\mathrm{id},\sigma \}$ ，其中 $\sigma (\sqrt{2})=-\sqrt{2}$ ， $\mathrm{Gal}\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 。

一般地，对 $d\in \mathbb{Q}$ 不是完全平方数， $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{d})/\mathbb{Q})\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ ，非平凡元为 $\sqrt{d}\mapsto -\sqrt{d}$ 。

例 $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q})$ ——Galois 群可以很小

$\sqrt[3]{2}$ 的极小多项式为 $x^3-2$ ，其三个根为 $\sqrt[3]{2}$ ， $\omega \sqrt[3]{2}$ ， ${\omega }^2\sqrt[3]{2}$ ，其中 $\omega =e^{2\pi i/3}$ 。

但 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})\subset \mathbb{R}$ ，而 $\omega \sqrt[3]{2}\notin \mathbb{R}$ 。因此 $\sqrt[3]{2}$ 不能映射到 $\omega \sqrt[3]{2}$ （像不在域内）。唯一的 $K$ -自同构是恒等映射。

$$\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q})=\{\mathrm{id}\}.$$

这说明 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q}$不是 Galois 扩张——域扩张太"小"，无法容纳多项式的全部根的对称性。要得到完整的对称性，必须到达分裂域 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega )$ 。

例 $\mathrm{Gal}(f/\mathbb{Q})$ 其中 $f=x^4-2$ ——二面体群的出现

$f$ 的分裂域为 $L=\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2},i)$ ， $[L:\mathbb{Q}]=8$ 。

$f$ 的四个根为 $\alpha ,-\alpha ,i\alpha ,-i\alpha$ （其中 $\alpha =\sqrt[4]{2}$ ）。每个 $\sigma \in \mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ 由 $\sigma (\alpha )$ 和 $\sigma (i)$ 完全决定。

约束条件：

• $\sigma (\alpha )$ 必须是 $x^4-2$ 的根，故 $\sigma (\alpha )\in \{\alpha ,-\alpha ,i\alpha ,-i\alpha \}$ （4 个选择）。
• $\sigma (i)$ 必须是 $x^2+1$ 的根，故 $\sigma (i)\in \{i,-i\}$ （2 个选择）。
• 但并不是 $4\times 2=8$ 种组合都给出自同构——需要验证它们是否兼容域运算。

可以验证全部 $8$ 种组合都给出自同构，故 $|\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})|=8=[L:\mathbb{Q}]$ ，这是 Galois 扩张。

$\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ 同构于二面体群$D_4$ （正方形的对称群），生成元为：

$$\sigma :\alpha \mapsto i\alpha ,i\mapsto i\text{（旋转）}$$$$\tau :\alpha \mapsto \alpha ,i\mapsto -i\text{（反射）}$$

验证： ${\sigma }^4=\mathrm{id}$ ， ${\tau }^2=\mathrm{id}$ ， $\tau \sigma {\tau }^{-1}={\sigma }^{-1}$ 。这正是 $D_4=⟨\sigma ,\tau \mid {\sigma }^4={\tau }^2=\mathrm{id},\tau \sigma \tau ={\sigma }^{-1}⟩$ 的展示。

为什么是 $D_4$ ？ 直观地， $x^4-2$ 的四个根 $\alpha ,i\alpha ,-\alpha ,-i\alpha$ 在复平面上构成正方形的四个顶点。Galois 群的每个元素恰好将正方形映射到自身，保持代数关系——这正是二面体群的几何意义。

例 分圆扩张的 Galois 群

设 $p$ 是奇素数， ${\zeta }_p=e^{2\pi i/p}$ 是 $p$ 次本原单位根。则分圆扩张 $\mathbb{Q}({\zeta }_p)/\mathbb{Q}$ 的 Galois 群为：

$$\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}({\zeta }_p)/\mathbb{Q})\cong (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}{)}^{\times }\cong \mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z}.$$

证明.${\zeta }_p$ 的极小多项式是 $p$ 次分圆多项式 ${\mathrm{\Phi }}_p(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots +x+1$ （由 [定理]， ${\mathrm{\Phi }}_p$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约）。故 $[\mathbb{Q}({\zeta }_p):\mathbb{Q}]=p-1$ 。

每个 ${\sigma }_a\in \mathrm{Gal}(\mathbb{Q}({\zeta }_p)/\mathbb{Q})$ 由 ${\sigma }_a({\zeta }_p)$ 完全决定。 ${\sigma }_a({\zeta }_p)$ 必须是 ${\mathrm{\Phi }}_p$ 的根，即某个 ${\zeta }_p^a$ （ $a\in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}{)}^{\times }$ ）。映射 $a\mapsto {\sigma }_a$ 给出群同态

$$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}{)}^{\times }\to \mathrm{Gal}(\mathbb{Q}({\zeta }_p)/\mathbb{Q}),a\mapsto ({\zeta }_p\mapsto {\zeta }_p^a).$$

这是群同态（因为 ${\sigma }_a\circ {\sigma }_b({\zeta }_p)={\sigma }_a({\zeta }_p^b)={\zeta }_p^{ab}={\sigma }_{ab}({\zeta }_p)$ ），且是双射（因为两边都是 $p-1$ 阶，且 ${\sigma }_a=\mathrm{id}$ 仅当 ${\zeta }_p^a={\zeta }_p$ 即 $a=1$ ）。 $◼$

一般化. 对任意正整数 $n$ ， $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}({\zeta }_n)/\mathbb{Q})\cong (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}{)}^{\times }$ （分圆扩张的 Galois 群同构定理），阶为 $\phi (n)$ 。分圆扩张是阿贝尔扩张，其 Galois 群结构完全由初等数论决定。

代数数论意义. 分圆域是类域论的原型。Kronecker-Weber 定理断言 $\mathbb{Q}$ 的每个有限阿贝尔扩张都包含在某个分圆域中，这是 abelian Galois 理论的完整答案。

例 复合扩张与 Galois 群的积结构

设 $L_1=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ ， $L_2=\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ 。则：

• $\mathrm{Gal}(L_1/\mathbb{Q})\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ ， $\mathrm{Gal}(L_2/\mathbb{Q})\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 。
• 复合域 $L=L_1{L}_2=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ ， $[L:\mathbb{Q}]=4$ （因为 $\sqrt{3}\notin \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ ，用 [定理] 验证）。
• $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\cong V_4$ （Klein 四元群）。

生成元： $\sigma :\sqrt{2}\mapsto -\sqrt{2},\sqrt{3}\mapsto \sqrt{3}$ 和 $\tau :\sqrt{2}\mapsto \sqrt{2},\sqrt{3}\mapsto -\sqrt{3}$ 。

一般地，若 $L_1,L_2$ 是 $K$ 的 Galois 扩张且 $L_1\cap L_2=K$ ，则 $\mathrm{Gal}(L_1{L}_2/K)\cong \mathrm{Gal}(L_1/K)\times \mathrm{Gal}(L_2/K)$ 。

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Galois 群作为置换群

定理 Galois 群嵌入对称群

设 $f\in K[x]$ 是不可约 $n$ 次多项式， $L$ 是 $f$ 在 $K$ 上的分裂域。则

$$\mathrm{Gal}(L/K)\hookrightarrow S_n,$$

即 Galois 群可以视为 $n$ 个根的置换群。且 $\mathrm{Gal}(L/K)$ 在根上是传递的。

证明. 由 [命题]， $\mathrm{Gal}(L/K)$ 忠实地作用在 $f$ 的 $n$ 个根上，故 $\mathrm{Gal}(L/K)\hookrightarrow S_n$ 。

传递性： 设 $\alpha ,\beta$ 是 $f$ 的任意两个根。由于 $f$ 不可约， $K(\alpha )\cong K[x]/(f)\cong K(\beta )$ （由 [定理]）。这个 $K$ -同构 $\tau :K(\alpha )\stackrel{\sim }{\to }K(\beta )$ 满足 $\tau (\alpha )=\beta$ 。

由嵌入扩张引理（[引理]）， $\tau$ 可以扩张为 $L$ 上的 $K$ -自同构 $\tilde{\tau }\in \mathrm{Gal}(L/K)$ ，满足 $\tilde{\tau }(\alpha )=\beta$ 。故 Galois 群在根上是传递的。 $◼$

直觉 传递性的含义

传递性说的是： $f$ 的所有根在 Galois 群看来都是"平等的"——任何两个根之间都有一个自同构把一个变成另一个。这就是为什么不可约多项式的根是"代数不可区分的"：在 $K$ 的视角下，没有任何代数性质能区分两个不同的根。

注 可迁子群的分类

$S_n$ 的可迁子群的分类是群论中的一个重要问题。对于 $n\le 5$ ，已知完整的分类。这直接对应于不可约多项式的 Galois 群的可能类型。特别地：

• $n=2$ ： $\mathrm{Gal}\cong S_2\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ （唯一的可迁子群）。
• $n=3$ ： $\mathrm{Gal}\cong S_3$ 或 $\mathrm{Gal}\cong A_3\cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ 。
• $n=4$ ： $\mathrm{Gal}$ 可以是 $S_4$ 、 $A_4$ 、 $D_4$ 、 $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ 或 $\mathrm{Klein}$ 四元群 $V_4$ 。
• $n=5$ ： $\mathrm{Gal}$ 可以是 $S_5$ 、 $A_5$ 、 $F_{20}$ （Frobenius 群）、 $D_5$ 或 $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ 。

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Galois 群的函子性

命题 限制与提升

设 $K\subseteq L\subseteq M$ 为域扩张。

(i) 存在限制同态：

$$\mathrm{Gal}(M/K)\twoheadrightarrow \mathrm{Gal}(L/K),\sigma \mapsto \sigma {|}_L,$$

当 $L/K$ 是 Galois 扩张时（即 $L$ 在 $K$ 上的 Galois 群恰好等于限制的像）。

(ii) 存在包含同态：

$$\mathrm{Gal}(M/L)\hookrightarrow \mathrm{Gal}(M/K),$$

其中 $\mathrm{Gal}(M/L)$ 自然地作为 $\mathrm{Gal}(M/K)$ 的子群。

证明.

(i) 对 $\sigma \in \mathrm{Gal}(M/K)$ ， $\sigma {|}_L$ 固定 $K$ 中的元素（因为 $\sigma$ 固定 $K$ ），且 $\sigma (L)\subseteq L$ （当 $L/K$ 是正规扩张时）。因此 $\sigma {|}_L\in \mathrm{Gal}(L/K)$ 。

映射 $\sigma \mapsto \sigma {|}_L$ 显然是群同态。当 $L/K$ 是 Galois 扩张时，它是满射——这需要额外论证，将在 §8.2 中完成。

(ii) 注意 $\mathrm{Gal}(M/L)=\{\sigma \in \mathrm{Aut}(M):\sigma {|}_L={\mathrm{id}}_L\}$ ，而 $\mathrm{Gal}(M/K)=\{\sigma \in \mathrm{Aut}(M):\sigma {|}_K={\mathrm{id}}_K\}$ 。由于 $K\subseteq L$ ，若 $\sigma {|}_L={\mathrm{id}}_L$ 则自动 $\sigma {|}_K={\mathrm{id}}_K$ 。因此 $\mathrm{Gal}(M/L)\subseteq \mathrm{Gal}(M/K)$ 作为集合，包含映射是群同态。 $◼$

直觉 函子性的意义

(ii) 的直觉是：更大的"固定要求"给出更小的群。 $\mathrm{Gal}(M/L)$ 要固定 $L$ （比 $K$ 更大的集合），所以约束更强，群更小。这正是 Galois 对应中反序性的体现： $K\subseteq L\subseteq M$ 给出 $\mathrm{Gal}(M/K)\supseteq \mathrm{Gal}(M/L)$ 。

(i) 的限制同态将在第八章中发挥关键作用：它是建立 Galois 对应（正规子群 ↔ 正规扩张，商群 ↔ 限制 Galois 群）的主要工具。

常见误区

误区一：Galois 群小 ≠ 扩张"简单"

$\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q})=\{id\}$ 是平凡群，但这不意味着 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 是"简单的"扩张。恰恰相反，正是因为扩张"太小"（不能容纳所有共轭根），Galois 群才小。Galois 群的大小反映的是对称性的丰富程度，不是扩张的复杂度。

对比： $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega )/\mathbb{Q})\cong S_3$ ，阶为 6。同一个多项式 $X^3-2$ ，到达分裂域后 Galois 群变大了。

误区二： $|\mathrm{Gal}|<[L:K]$ 意味着什么？

$|\mathrm{Gal}(L/K)|\le [L:K]$ 总是成立。等号成立 ⟺ $L/K$ 是 Galois 扩张（即正规 + 可分）。

当 $|\mathrm{Gal}|<[L:K]$ 时，说明扩张不是 Galois 的——要么不正规（缺少共轭根），要么不可分（特征 $p>0$ 下的病态情况）。在特征 0 的情形下， $|\mathrm{Gal}|<[L:K]$ 等价于不正规。

误区三：不可约多项式的 Galois 群不一定是 $S_n$

一个常见误解是"不可约 $n$ 次多项式的 Galois 群一定是 $S_n$ "。这是错误的！

反例：

• $X^4+1$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约，但 $\mathrm{Gal}(X^4+1/\mathbb{Q})\cong V_4$ （Klein 四元群），不是 $S_4$ 。
• $X^p-2$ （ $p$ 素数）在 $\mathbb{Q}$ 上不可约，但其 Galois 群同构于 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}⋊(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}{)}^{\times }$ ，阶为 $p(p-1)$ ，不是 $S_p$ （阶为 $p!$ ）。

Galois 群是 $S_n$ 的可迁子群，但不一定是 $S_n$ 本身。判定 Galois 群是否为 $S_n$ 是 Galois 理论中的一个核心计算问题（§7.2）。

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与前面章节的联系

• Galois 群的定义需要 §5.1 分裂域 的存在性。
• Galois 群的良定义性依赖 §5.1 分裂域的唯一性。
• 嵌入扩张引理 嵌入扩张引理 是传递性证明的关键。
• 单扩张 §3.3 用于计算具体 Galois 群。
• Galois 群阶与扩张次数的关系见 §8.2 Galois 扩张。
• Galois 群作为 $S_n$ 的可迁子群，决定了 §7.2 中的计算策略。

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本节小结

例子	扩张	Galois 群	阶	Galois 扩张？
$\mathbb{C}/\mathbb{R}$	$\mathbb{R}(i)$	$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$	2	✓
$\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$	二次	$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$	2	✓
$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q}$	三次	$\{id\}$	1	✗
$\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2},i)/\mathbb{Q}$	8 次	$D_4$	8	✓
$\mathbb{Q}({\zeta }_p)/\mathbb{Q}$	$p-1$ 次	$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}{)}^{\times }$	$p-1$	✓
$\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})/\mathbb{Q}$	4 次	$V_4$	4	✓

核心公式：$|\mathrm{Gal}(L/K)|\le [L:K]$ ，等号当且仅当 $L/K$ 是 Galois 扩张。

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自测题

1. [基础] 计算 $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{6})/\mathbb{Q})$ 和 $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})/\mathbb{Q})$ 。
2. [理解] 为什么 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q}$ 不是 Galois 扩张，但 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega )/\mathbb{Q}$ 是？从 Galois 群的阶来解释。
3. [计算] 设 $f(x)=x^4+1$ 。 $f$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约（用分圆多项式理论）。 $f$ 的分裂域是什么？ $\mathrm{Gal}(f/\mathbb{Q})$ 同构于什么群？
4. [深入] 设 $L_1/\mathbb{Q}$ 和 $L_2/\mathbb{Q}$ 都是 Galois 扩张， $L_1\cap L_2=\mathbb{Q}$ 。证明 $\mathrm{Gal}(L_1{L}_2/\mathbb{Q})\cong \mathrm{Gal}(L_1/\mathbb{Q})\times \mathrm{Gal}(L_2/\mathbb{Q})$ 。（提示：构造限制映射的乘积。）
5. [证明] 设 $f\in \mathbb{Q}[x]$ 是不可约三次多项式，判别式 $\mathrm{\Delta }$ 为完全平方。证明 $\mathrm{Gal}(f/\mathbb{Q})\cong A_3\cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ 。（提示：完全平方 $⟹$$\mathrm{Gal}\subseteq A_3$ ，但不可约 $⟹$$3\mid |\mathrm{Gal}|$ 。）

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