第七章 · Galois 群

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本章定位

Galois 群是整套理论的核心对象。前六章建立的所有工具——群、环、域、多项式、分裂域、正规扩张、可分性、代数闭包——最终都服务于一个目标：为 Galois 群的定义和计算铺平道路。

Galois 的天才洞察是：一个多项式方程的根的代数关系，可以通过一个群的结构来完全编码。这不是一个比喻，而是一个精确的数学定理——它将贯穿本书余下所有章节。

为什么 Galois 群如此重要？

在 Galois 之前，数学家们已经知道二次、三次、四次方程的根式解法，但不知道为什么五次方程"不行"。Galois 群给出了精确的判据：方程是否根式可解，完全取决于其 Galois 群的群论性质（是否"可解群"）。这是代数学历史上第一次，一个看似困难的代数问题被转化为一个结构清晰的群论问题。

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本章导航

节	主题	核心内容	关键概念
§7.1	Galois 群的定义与基本性质	$K$ -自同构群、Galois 群的定义、根的置换、嵌入对称群	$\mathrm{Gal}(L/K)$ , $K$ -自同构, 忠实作用, 传递性
§7.2	Galois 群的计算	具体多项式的 Galois 群计算方法、判别式法、模 $p$ 约化	判别式, 降次, 模约化, $n\le 4$ 分类

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知识网络

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                    │     群论 Ch1         │
                    │  (子群、正规子群、   │
                    │   商群、同态定理)     │
                    └────────┬────────────┘
                             │
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                    │  分裂域 Ch5          │
                    │  (存在性、唯一性、   │
                    │   正规扩张、可分性)   │
                    └────────┬────────────┘
                             │
                ┌────────────┴────────────┐
                │    ★ 第七章：Galois 群   │
                │  Gal(L/K) = Aut(L/K)    │
                │  根的置换、阶的上界      │
                └────────────┬────────────┘
                             │
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    ┌──────────────┐  ┌──────────────┐  ┌──────────────┐
    │  Ch8         │  │  Ch9         │  │  Ch10        │
    │  Galois 对应  │  │  可解性       │  │  有限域       │
    │  (子群 ↔     │  │  (可解群 ↔   │  │  (Frobenius  │
    │   中间域)     │  │   根式可解)   │  │   自同构)     │
    └──────────────┘  └──────────────┘  └──────────────┘

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阅读路径

快速路径（30 分钟）：只读 §7.1 的定义部分（[定义]）和前三个例子（[例], [例], [例]），获得 Galois 群的基本直觉。

标准路径（2 小时）：完整阅读 §7.1，理解 Galois 群嵌入对称群的定理（[定理]）和函子性（[命题]），然后阅读 §7.2 掌握计算方法。

深入路径（3 小时）：在标准路径基础上，仔细验证 §7.1 中所有例子的计算细节，特别是 $x^4-2$ 的 $D_4$ 计算（[例]）和分圆扩张的 Galois 群（[例]），并尝试 §7.2 中的高次多项式 Galois 群判定。

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核心定理速览

定理	内容	直觉
[命题]	Galois 群忠实地作用在多项式的根上	自同构把根映为根，且由根上的作用唯一决定
[定理]	不可约 $n$ 次多项式的 Galois 群嵌入 $S_n$ ，且在根上是传递的	不可约性保证"所有根地位平等"
[命题]	$|\mathrm{Gal}(L/K)|\le [L:K]$ ，等号当且仅当 Galois 扩张	Galois 群的阶被扩张次数"天花板"控制
[命题]	限制映射 $\mathrm{Gal}(M/K)\twoheadrightarrow \mathrm{Gal}(L/K)$ （当 $L/K$ Galois）	"大域"的对称性可以"投影"到"小域"上

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典型例子一览

本章计算了以下域扩张的 Galois 群，这些例子将贯穿后续所有章节：

域扩张	Galois 群	群论结构	关键观察
$\mathbb{C}/\mathbb{R}$	$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$	二阶循环群	复共轭是唯一的非平凡自同构
$\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$	$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$	二阶循环群	$\sqrt{2}\mapsto -\sqrt{2}$
$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q}$	$\{e\}$	平凡群	非 Galois 扩张——根不全在域中
$\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2},i)/\mathbb{Q}$	$D_4$	二面体群，阶 8	旋转 $\sigma$ + 反射 $\tau$
$\mathbb{Q}({\zeta }_p)/\mathbb{Q}$	$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}{)}^{\times }$	循环群，阶 $p-1$	分圆扩张是 Abel 扩张
$\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})/\mathbb{Q}$	$V_4$	Klein 四元群	两个独立二次扩张的复合

$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q}$ 的教训

这是理解 Galois 群的关键反例。 $x^3-2$ 有三个根 $\sqrt[3]{2},\omega \sqrt[3]{2},{\omega }^2\sqrt[3]{2}$ ，但 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})\subset \mathbb{R}$ 不包含后两个复数根。因此 $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q})=\{e\}$ ——域"太小"，没有非平凡对称性。这直接引出了第 5 章为什么要研究分裂域（包含全部根的最小扩域）。

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前置知识

• 必需：第一章 · 群论（群、子群、正规子群、商群、群同态）、第三章 · 域论（域扩张、扩张次数、代数元）、第五章 · 分裂域（分裂域的存在唯一性、正规扩张、嵌入扩张引理）
• 推荐：第四章 · 多项式（可分性、判别式）

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后续指向

• 第八章：Galois 群与中间域的完美对应（Galois 对应定理）——这是 Galois 理论的核心定理
• 第九章：Galois 群的可解性等价于方程的根式可解性——这是 Galois 理论的原初动机
• 第十章：有限域上的 Galois 群由 Frobenius 自同构生成——有限域的 Galois 理论最为优美
• 第十一章：无限扩张的 Galois 群需要Krull 拓扑——从有限到无限的推广

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