记号约定

本页列出本教程中统一使用的数学记号，方便读者查阅。

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集合与映射

记号	含义
$\mathbb{N}$	自然数集 $\{0,1,2,\dots \}$
$\mathbb{Z}$	整数环
$\mathbb{Q}$	有理数域
$\mathbb{R}$	实数域
$\mathbb{C}$	复数域
${\mathbb{F}}_p$	$p$ 元有限域（ $p$ 为素数）
${\mathbb{F}}_q$	$q$ 元有限域（ $q=p^n$ ）
$A\hookrightarrow B$	单射（嵌入）
$A\twoheadrightarrow B$	满射（商映射）
$A\stackrel{\sim }{\to }B$	同构映射
$\ker \phi$	同态 $\phi$ 的核
$\mathrm{im}\phi$	同态 $\phi$ 的像
$|G|$	群 $G$ 的阶
$[G:H]$	子群 $H$ 在 $G$ 中的指数

群论

记号	含义
$H\le G$	$H$ 是 $G$ 的子群
$H<G$	$H$ 是 $G$ 的真子群
$H⊴G$	$H$ 是 $G$ 的正规子群
$G/N$	$G$ 关于正规子群 $N$ 的商群
$G\times H$	群的直积
$S_n$	$n$ 元对称群
$A_n$	$n$ 元交错群
$C_n$	$n$ 阶循环群
$\mathrm{Aut}(G)$	$G$ 的自同构群
$\mathrm{Inn}(G)$	$G$ 的内自同构群
$Z(G)$	群 $G$ 的中心

环论

记号	含义
$R[x]$	环 $R$ 上的多项式环
$R[x_1,\dots ,x_n]$	$R$ 上的 $n$ 元多项式环
$I⊴R$	$I$ 是环 $R$ 的理想
$R/I$	$R$ 关于理想 $I$ 的商环
$\mathrm{deg}f$	多项式 $f$ 的次数
$R^{\times }$	环 $R$ 的可逆元群（单位群）
$\mathrm{char}R$	环 $R$ 的特征

域论

记号	含义
$F\subseteq K$	$K$ 是 $F$ 的扩张
$[K:F]$	扩张 $K/F$ 的次数
$F(\alpha )$	在 $F$ 上添加 $\alpha$ 得到的单扩张
$F(S)$	在 $F$ 上添加集合 $S$ 中的元素得到的扩张
$F^{\text{alg}}$	$F$ 的代数闭包
$\bar{F}$	$F$ 的代数闭包（简记）
$\mathrm{Gal}(K/F)$	扩张 $K/F$ 的 Galois 群
$K^G$	群 $G$ 作用在 $K$ 上的不变域
$min(F,\alpha )$	$\alpha$ 在 $F$ 上的极小多项式
${\mu }_F(\alpha )$	同上（替代记号）

逻辑与证明

记号	含义
$\Rightarrow$	蕴含
$\iff$	当且仅当
$\mathrm{\forall }$	对所有
$\mathrm{\exists }$	存在
$:=$	定义为
$◻$	证毕