前沿方向与现代 Galois 理论

直觉 从经典到现代

Galois 理论在 19 世纪诞生以来，已经从解决多项式方程的工具，成长为连接代数、几何、拓扑和数论的宏大框架。本章介绍 Galois 理论的几个前沿方向，展示它在现代数学中的深远影响。

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逆 Galois 问题

习题 逆 Galois 问题

逆 Galois 问题： 给定有限群 $G$ ，是否存在 Galois 扩张 $L/\mathbb{Q}$ 使得 $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})\cong G$ ？

定理 已知结果

(i) 所有可解群都是 $\mathbb{Q}$ 上的 Galois 群（Shafarevich, 1954）。

(ii) 所有对称群$S_n$ 和交错群$A_n$ 都是 $\mathbb{Q}$ 上的 Galois 群。

(iii) 所有散在单群（包括最大的 Mathieu 群和 Monster 群）都是 $\mathbb{Q}$ 上的 Galois 群。

(iv) 逆 Galois 问题对所有有限群仍然开放。

直觉 Hilbert 不可约定理

逆 Galois 问题的正面部分主要基于 Hilbert 不可约定理：设 $f(t,x)\in \mathbb{Q}(t)[x]$ 不可约。则存在无穷多个 $t_0\in \mathbb{Q}$ 使得 $f(t_0,x)$ 在 $\mathbb{Q}[x]$ 中不可约，且 $\mathrm{Gal}(f(t_0,x)/\mathbb{Q})\cong \mathrm{Gal}(f(t,x)/\mathbb{Q}(t))$ 。

这意味着：如果我们能在 $\mathbb{Q}(t)$ （有理函数域）上实现群 $G$ 为 Galois 群，就能在 $\mathbb{Q}$ 上实现。这将逆 Galois 问题转化为一个参数化问题。

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Grothendieck 的 Galois 理论

定义 Galois 范畴

一个Galois 范畴$\mathcal{C}$ 是满足以下公理的范畴（Grothendieck, 1960s）：

(G1)$\mathcal{C}$ 有有限逆极限。

(G2)$\mathcal{C}$ 有有限余积（不交并），且余积是严格的。

(G3) 每个对象有唯一的"连通分支"分解。

(G4) 存在一个纤维函子 $F:\mathcal{C}\to (\text{有限集合})$ 。

定理（Galois）： 每个 Galois 范畴等价于某个 profinite 群 $G$ 的有限连续 $G$ -集合的范畴。 $G$ 由纤维函子 $F$ 的自同构群给出。

直觉 Grothendieck 的革命

经典 Galois 理论处理域扩张。Grothendieck 将其抽象为范畴论框架——Galois 范畴。这个框架适用于：

• 有限 étale 态射： $X$ 上的有限 étale 覆盖构成 Galois 范畴，基本群 ${\pi }_1^{\text{ét}}(X)$ 取代了 Galois 群。
• 代数基本群：对概形 $X$ ，étale 基本群 ${\pi }_1^{\text{ét}}(X,\overline{x})$ 是 profinite 群，编码了 $X$ 的所有有限覆盖的信息。
• Tannakian 范畴：表示论中 Tannakian 范畴通过 Galois 理论恢复群。

经典 Galois 对应成为 Grothendieck 框架的特殊情形： $X=\mathrm{Spec}K$ 时， ${\pi }_1^{\text{ét}}(\mathrm{Spec}K)=G_K$ （绝对 Galois 群）。

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Étale 基本群

定义 Étale 基本群

设 $X$ 是连通概形， $\overline{x}$ 是几何点。 $X$ 的 étale 基本群定义为：

$${\pi }_1^{\text{ét}}(X,\overline{x})=\text{纤维函子 }{F}_{\overline{x}}:(\text{有限 étale }X\text{-覆盖})\to (\text{有限集合})\text{ 的自同构群}.$$

${\pi }_1^{\text{ét}}(X,\overline{x})$ 是 profinite 群。

定理 étale 基本群的经典对应

(i) 若 $X=\mathrm{Spec}K$ ，则 ${\pi }_1^{\text{ét}}(X)=G_K=\mathrm{Gal}(\bar{K}/K)$ 。

(ii) 若 $X=\mathrm{Spec}{\mathbb{F}}_q$ ，则 ${\pi }_1^{\text{ét}}(X)=\hat{\mathbb{Z}}$ （由 Frobenius 生成）。

(iii) 若 $X={\mathbb{A}}_{\mathbb{C}}^1=\mathrm{Spec}\mathbb{C}[t]$ （仿射直线），则 ${\pi }_1^{\text{ét}}(X)=\{e\}$ （代数基本群平凡——这与拓扑基本群 ${\pi }_1^{\text{top}}(\mathbb{C})=\{e\}$ 一致）。

(iv) 若 $X={\mathbb{A}}_{\mathbb{C}}^1\setminus \{0\}=\mathrm{Spec}\mathbb{C}[t,t^{-1}]$ ，则 ${\pi }_1^{\text{ét}}(X)=\hat{\mathbb{Z}}$ （对应代数拓扑中的 ${\pi }_1^{\text{top}}({\mathbb{C}}^{\times })=\mathbb{Z}$ 的 profinite 完成）。

直觉 Étale 拓扑与拓扑的类比

étale 基本群是 Grothendieck 对"拓扑覆盖空间理论"的代数推广。在复几何中，étale 覆盖对应于拓扑覆盖（有限叶分歧覆盖），étale 基本群对应于拓扑基本群的 profinite 完成。但在正特征下，étale 理论给出了全新的信息（如 Artin–Schreier 覆盖、纯不可分现象等），是拓扑方法无法触及的。

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Anabelian 几何

定义 Anabelian 群

一个 profinite 群 $G$ 称为 anabelian，如果它"足够非阿贝尔"——具体地， $G$ 没有大的阿贝尔商。

定理 Grothendieck 的 Anabelian 猜想

Grothendieck 的 Anabelian 猜想（部分已证）： 对某些"anabelian"的代数簇 $X$ （如亏格 $\ge 2$ 的曲线）， $X$ 可以从其基本群 ${\pi }_1^{\text{ét}}(X,\overline{x})$完全恢复。

即：如果 $X$ 和 $Y$ 是 $\bar{\mathbb{Q}}$ 上的 anabelian 簇，且 ${\pi }_1^{\text{ét}}(X)\cong {\pi }_1^{\text{ét}}(Y)$ （作为外自同构类），则 $X\cong Y$ 。

定理 Mochizuki 的工作

(i) Neukirch–Uchida 定理（1970s）： 数域可以从其绝对 Galois 群恢复。即若 $K,L$ 是数域， $G_K\cong G_L$ （作为拓扑群的外自同构类），则 $K\cong L$ 。

(ii) Mochizuki（1999）：$\bar{\mathbb{Q}}$ 上亏格 $\ge 2$ 的曲线可以从其 étale 基本群恢复。

(iii) Mochizuki 的 IUT（Inter-universal Teichmüller Theory, 2012–）： 试图用 anabelian 几何的方法证明 ABC 猜想。其证明仍然极具争议。

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Galois 上同调

定义 Galois 上同调

设 $G=\mathrm{Gal}(L/K)$ （ $L/K$ 为 Galois 扩张）， $A$ 为连续 $G$ -模。Galois 上同调定义为群上同调：

$$H^n(L/K,A)=H^n(G,A)={\mathrm{Ext}}_{\mathbb{Z}[G]}^n(\mathbb{Z},A).$$

低阶上同调有具体解释：

• $H^0(G,A)=A^G$ （ $G$ -不动元）。
• $H^1(G, A) = $ 交叉同态模主交叉同态（分类 $A$ -扭子）。
• $H^2(G, A) = $ 群扩张的等价类（分类 $A$ -中心扩张）。

定理 Hilbert 定理 90

设 $L/K$ 是有限 Galois 扩张， $G=\mathrm{Gal}(L/K)$ 。

(i)$H^1(G,L^{\times })=0$ （Hilbert 定理 90）。

(ii) 若 $\mathrm{char}K\nmid [L:K]$ （或更一般地， $L/K$ 可分），则 $H^2(G,L^{\times })$ 分类 $L/K$ 上的中心单代数（Brauer 群的元素）。

证明（Hilbert 90 的原始形式）. 设 $\alpha \in L$ 满足 $N_{L/K}(\alpha )={\mathrm{N}}_{L/K}(\alpha )=1$ 。需证存在 $\beta \in L^{\times }$ 使得 $\alpha =\beta /\sigma (\beta )$ （ $\sigma$ 为 $G$ 的生成元， $L/K$ 循环扩张的情形）。

由 Dedekind 引理（线性无关性）， $\{1,\sigma ,\dots ,{\sigma }^{n-1}\}$ 作为 $L$ -值函数在 $L$ 上线性无关。故存在 $\gamma \in L$ 使得 $\beta =\gamma +\alpha \sigma (\gamma )+\alpha \sigma (\alpha ){\sigma }^2(\gamma )+\cdots +\alpha \sigma (\alpha )\cdots {\sigma }^{n-2}(\alpha ){\sigma }^{n-1}(\gamma )\ne 0$ 。直接验证 $\alpha =\beta /\sigma (\beta )$ 。 $◼$

例 Brauer 群

$\mathrm{Br}(K)=H^2(G_K,{\bar{K}}^{\times })$ （连续上同调）分类 $K$ 上的中心单代数。

• $\mathrm{Br}(\mathbb{R})=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ （Hamilton 四元数 $\mathbb{H}$ 是唯一的非平凡 Brauer 类）。
• $\mathrm{Br}({\mathbb{F}}_q)=0$ （Wedderburn 小定理：有限除环都是域）。
• $\mathrm{Br}(\mathbb{Q})$ 的结构由 Albert–Brauer–Hasse–Noether 定理给出（局部-整体原理）。

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现代数论中的 Galois 表示

定义 $\ell$ -进 Galois 表示

设 $K$ 为数域， $\ell$ 为素数。一个 $\ell$ -进 Galois 表示是连续同态：

$$\rho :G_K\to {\mathrm{GL}}_n({\mathbb{Q}}_{\ell }),$$

其中 $G_K=\mathrm{Gal}(\bar{K}/K)$ 赋予 Krull 拓扑， ${\mathrm{GL}}_n({\mathbb{Q}}_{\ell })$ 赋予 $\ell$ -进拓扑。

定理 椭圆曲线的 Galois 表示

设 $E/\mathbb{Q}$ 为椭圆曲线。 $E$ 的 $\ell$ -分挠点 $E[\ell ]\cong (\mathbb{Z}/\ell \mathbb{Z}{)}^2$ 上的 $G_{\mathbb{Q}}$ 作用给出 $\ell$ -进 Galois 表示：

$${\rho }_{E,\ell }:G_{\mathbb{Q}}\to {\mathrm{GL}}_2({\mathbb{Z}}_{\ell })\hookrightarrow {\mathrm{GL}}_2({\mathbb{Q}}_{\ell }).$$

Serre 的开放像定理： 若 $E$ 没有复乘法（CM），则对所有充分大的 $\ell$ ， ${\rho }_{E,\ell }$ 的像在 ${\mathrm{GL}}_2({\mathbb{Z}}_{\ell })$ 中是开的。

Modularity 定理（Wiles 等，1995–2001）： 每条有理数域上的椭圆曲线是模的。这是证明 Fermat 大定理的关键。

直觉 Galois 表示的深远意义

Galois 表示是现代代数数论的核心语言。它们将算术信息（如椭圆曲线的点、模形式的系数）编码为线性代数（矩阵），使得我们可以用表示论的工具研究算术。Langlands 纲领的核心思想就是： $G_{\mathbb{Q}}$ 的 $n$ 维 Galois 表示与 ${\mathrm{GL}}_n$ 的自守形式之间存在深刻联系。

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类域论

定理 类域论（概述）

类域论（class field theory）是关于数域的 Abel 扩张（Galois 群为阿贝尔群的扩张）的完整理论。

设 $K$ 为数域。则 $K$ 的 Abel 扩张与 $K$ 的理想类群（或更精确地，idele 类群$C_K={\mathbb{A}}_K^{\times }/K^{\times }$ ）的商一一对应。

Artin 互反律： 存在连续同态

$${\mathrm{Art}}_K:C_K\to G_K^{\text{ab}}=\mathrm{Gal}(K^{\text{ab}}/K),$$

它是满射，核为连通分支。这给出了 $K$ 的 Abel 扩张与 $C_K$ 的开子群之间的一一对应。

特例：

• $\mathbb{Q}$ 的 Abel 扩张恰好是分圆域 $\mathbb{Q}({\zeta }_n)$ 的子域（Kronecker–Weber 定理）。 $G_{\mathbb{Q}}^{\text{ab}}\cong {\hat{\mathbb{Z}}}^{\times }$ 。
• 虚二次域的类域论（Hilbert 第 12 问题）涉及椭圆函数和模函数。

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Langlands 纲领

直觉 Langlands 纲领

Langlands 纲领（Langlands program, 1967–）是类域论的非阿贝尔推广。它的核心愿景是：

$n$ 维 Galois 表示与 ${\mathrm{GL}}_n$ 的自守表示之间存在一一对应。

对 $n=1$ ，这就是类域论（Abel 对应）。对 $n=2$ ，涉及模形式、椭圆曲线和 Shimura 簇。一般 $n$ 的情形远未完全解决。

里程碑：

• Fermat 大定理（Wiles, 1995）： 通过证明半稳定椭圆曲线的 modularity 定理。
• 局部 Langlands 对应（Harris–Taylor, 2001; Henniart, 2000）： 局部域上的完整证明。
• 几何 Langlands（Frenkel–Gaitsgory 等）： 用 étale 基本群和表示论的语言重新表述。

微分 Galois 理论

直觉 从代数到微分

经典 Galois 理论研究多项式方程的对称性。微分 Galois 理论将这一思想推广到线性微分方程：它研究的是微分域（带导算子的域）的扩张，而非代数域扩张。

定义 微分域与微分扩张

一个微分域$(K,\partial )$ 是一个域 $K$ 带有一个导算子 $\partial :K\to K$ （满足 Leibniz 法则和加法线性性）。

典型例子： $K=\mathbb{C}(t)$ ， $\partial =d/dt$ （有理函数域上的通常导数）。

Picard–Vessiot 扩张是微分 Galois 理论中"Galois 扩张"的类比：它是包含线性微分方程所有解的最小微分扩张，且满足可分性条件。

定理 微分 Galois 对应

设 $L/K$ 是 Picard–Vessiot 扩张。则存在微分 Galois 群$\mathrm{DGal}(L/K)$ （一个线性代数群），使得：

(i)$L^{\mathrm{DGal}(L/K)}=K$ （不动域恰好是基域）。

(ii) 存在中间微分域与 $\mathrm{DGal}(L/K)$ 的闭子群之间的反序一一对应（微分 Galois 对应）。

(iii)$L/K$ 是"微分 Galois 的"当且仅当 $\mathrm{DGal}(L/K)$ 是线性代数群。

例 指数方程

考虑微分方程 $y^{\prime }=ay$ （ $a\in K$ ）。解为 $y=c{e}^{\int a}$ 。

• 若 $a=1$ ， $K=\mathbb{C}(t)$ ，则解涉及 $e^t$ 。微分 Galois 群为 ${\mathbb{G}}_m={\mathrm{GL}}_1$ （乘法群），因为解空间是一维的， $e^t$ 不在 $\mathbb{C}(t)$ 中。
• 若 $a=0$ ，则解在 $K$ 中，Galois 群平凡。
• Liouville 定理（1835）：$\int e^{-t^2}dt$ （误差函数）不能用初等函数表示，对应于 Galois 群 ${\mathrm{GL}}_1$ 非平凡。

直觉 算法不可积性

微分 Galois 理论提供了"不可积性"的精确判据：一个线性微分方程有初等解当且仅当其微分 Galois 群可解（在适当的代数群意义下）。这与经典 Galois 理论中"五次方程无根式解"的定理完全类比。

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Tannakian 范畴与重建定理

定义 Tannakian 范畴

一个Tannakian 范畴是一个具有张量积结构的 Abel 范畴 $\mathcal{C}$ ，满足：

(T1)$\mathcal{C}$ 是 $k$ -线性的（ $k$ 为域）。

(T2)$\mathcal{C}$ 有对称幺半张量积结构 $\otimes$ 和单位对象 $\mathbf{1}$ 。

(T3) 每个对象的对偶存在（刚性条件）。

(T4) 存在一个"纤维函子" $\omega :\mathcal{C}\to {\mathrm{Vec}}_k$ （忠实、精确的 $k$ -线性张量函子）。

定理 Tannaka 重建定理

（Tannaka–Krein–Deligne） 设 $(\mathcal{C},\otimes ,\omega )$ 是 Tannakian 范畴。令 $G={\underset{―}{\mathrm{Aut}}}^{\otimes }(\omega )$ （纤维函子的张量自同构群，作为仿射群概形）。则：

$$\mathcal{C}\simeq {\mathrm{Rep}}_k(G)$$

即 $\mathcal{C}$ 等价于 $G$ 的有限维 $k$ -表示范畴。

直觉 Tannakian 重建的意义

Tannakian 哲学是：从范畴恢复群。如果我们有一个范畴，它"看起来像"某个群的表示范畴，那么这个群就完全由范畴的张量结构决定。

这与 Galois 理论的联系：

• 设 $L/K$ 是 Galois 扩张， $G=\mathrm{Gal}(L/K)$ 。则 $L$ 上的 $G$ -等变向量空间构成 Tannakian 范畴，Tannaka 重建恢复 $G$ 。
• Motivic Galois 群：纯动机的范畴（若存在）应该是某个 pro-reductive 群的表示范畴——这就是 motivic Galois 群。它是"最大的 Galois 群"，统一了所有上同调理论中的 Galois 作用。
• Serre 的 Tannakian 分类：有限群的 Galois 表示的 Tannakian 范畴确定了一个 pro-algebraic 群，其有限商恰好分类了所有该群的表示。

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Étale 上同调

直觉 为什么需要 étale 上同调？

代数簇的"拓扑"信息（Betti 数、Lefschetz 不动点定理等）在 Zariski 拓扑下几乎完全丢失——Zariski 拓扑太粗糙了。Grothendieck 引入 étale 拓扑作为代数簇的"正确的"拓扑，使得拓扑方法（覆盖空间、上同调、同伦）可以在代数几何中应用。

定义 Étale 上同调

设 $X$ 是概形， $\ell$ 是与 $\mathrm{char}X$ 互素的素数。 $X$ 的 étale 上同调$H_{\text{ét}}^i(X,\mathbb{Z}/{\ell }^n\mathbb{Z})$ 由 $\mathbb{Z}/{\ell }^n\mathbb{Z}$ 的常值层在 étale 拓扑下的层上同调定义。

取逆极限得 $\ell$ -进上同调：

$$H_{\text{ét}}^i(X,{\mathbb{Z}}_{\ell })=\underset{n}{\underleftarrow{\lim }}{H}_{\text{ét}}^i(X,\mathbb{Z}/{\ell }^n\mathbb{Z}),H_{\text{ét}}^i(X,{\mathbb{Q}}_{\ell })=H_{\text{ét}}^i(X,{\mathbb{Z}}_{\ell }){\otimes }_{{\mathbb{Z}}_{\ell }}{\mathbb{Q}}_{\ell }.$$

定理 étale 上同调的基本性质

设 $X$ 是特征零域 $k$ 上的光滑代数簇， $d=\dim X$ 。

(i) 有限性：$H_{\text{ét}}^i(X_{\overline{k}},{\mathbb{Q}}_{\ell })$ 是有限维 ${\mathbb{Q}}_{\ell }$ -向量空间。

(ii) Poincaré 对偶： 若 $X$ 是 $k$ 上光滑、几何连通、纯维数 $d$ 的射影簇，则存在完美配对 $H^i\times H^{2d-i}\to H^{2d}\cong {\mathbb{Q}}_{\ell }(-d)$ 。

(ii) Lefschetz 不动点公式： 若 $f:X\to X$ 是自态射，则 $f$ 的不动点个数（计重数）为 $\sum _i(-1{)}^i\mathrm{tr}(f^{\ast }|H_{\text{ét}}^i)$ 。

(iv) 复比较定理： 若 $k=\mathbb{C}$ ，则 $H_{\text{ét}}^i(X^{\text{an}},{\mathbb{Q}}_{\ell })\cong H_{\text{sing}}^i(X^{\text{an}},\mathbb{Q}){\otimes }_{\mathbb{Q}}{\mathbb{Q}}_{\ell }$ （奇异上同调的 $\ell$ -进实现）。

直觉 étale 上同调的 Galois 作用

$X$ 的 étale 上同调 $H_{\text{ét}}^i(X_{\overline{k}},{\mathbb{Q}}_{\ell })$ 上有一个自然的 $G_k$ 作用（ $\overline{k}/k$ 的 Galois 群）。这正是 §12 中 Galois 表示的来源——椭圆曲线 $E$ 的 Tate 模 $T_{\ell }(E)$ 就是 $H_{\text{ét}}^1(E_{\overline{k}},{\mathbb{Z}}_{\ell })$ 的对偶。

Weil 猜想（Deligne, 1974 证明）的核心就是用 étale 上同调中 Frobenius 的特征值来计算 zeta 函数。

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Perfectoid 空间

直觉 Scholze 的革命

Perfectoid 空间（Peter Scholze, 2012）是 $p$ -进几何中一个全新的框架。它的一个核心思想是：在"足够深"的 $p$ -进扩张中，加法结构和乘法结构可以互换（tilting 对应）。这为 $p$ -进 Hodge 理论和 Langlands 纲领提供了革命性的新工具。

定义 完备代数闭非阿基米德域

一个完美域（perfectoid field）是一个完备的非阿基米德域 $K$ ，满足：

(P1) 值群 $|K^{\times }|\subset {\mathbb{R}}_{>0}$ 是稠密的。

(P2) Frobenius 映射 $\varphi :{\mathcal{O}}_K/p\to {\mathcal{O}}_K/p$ 是满射（ $p=\mathrm{char}({\mathcal{O}}_K/{\mathfrak{m}}_K)$ ）。

例子： ${\mathbb{C}}_p$ （ ${\mathbb{Q}}_p$ 的完备代数闭包）是完美域。

定理 Tilting 对应

设 $K$ 是完美域，特征为 $p$ 。则存在tilt$K^{\mathrm{♭}}$ （特征 $p$ 的完美域）使得：

$$K^{\mathrm{♭}}=\underset{x\mapsto x^p}{\underleftarrow{\lim }}{\mathcal{O}}_K/p$$

关键定理（Fontaine–Wintenberger, Scholze 推广）：$K$ 和 $K^{\mathrm{♭}}$ 的绝对 Galois 群同构：

$$G_K\cong G_{K^{\mathrm{♭}}}.$$

直觉 完美对应

Tilting 对应是说：在 perfectoid 世界中，特征零的算术和特征 $p$ 的算术本质上是等价的。一个关于 $K$ 的 Galois 理论问题可以被"倾斜"到特征 $p$ 的对应物 $K^{\mathrm{♭}}$ 上——而后者通常更简单（因为 Frobenius 是满射，代数结构更"完美"）。

这与 Galois 理论的联系：

• $G_K\cong G_{K^{\mathrm{♭}}}$ 意味着两个"完全不同"的域有相同的 Galois 群。这是 anabelian 几何精神的一个实例。
• Scholze 用 perfectoid 空间证明了局部 Langlands 对应的某些新情形，以及固有性定理（关于 Shimura 簇上同调的上同调有限性）。

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$p$ -进 Hodge 理论

直觉 几种上同调的统一

对复数域上的光滑射影簇 $X$ ，我们有奇异上同调 $H_{\text{sing}}^i$ （Betti 上同调）、de Rham 上同调 $H_{\text{dR}}^i$ 和代数 de Rham 上同调之间的经典比较同构（de Rham 定理）。

对 $p$ -进域上的簇，$p$ -进 Hodge 理论（Fontaine, 1980s–）建立了 étale 上同调、de Rham 上同调和晶体上同调之间的比较同构。这是 Hodge 理论的 $p$ -进类比。

定理 $p$ -进 Hodge 理论的基本比较定理

设 $K$ 是有限扩张 $K/{\mathbb{Q}}_p$ ， $X$ 是 $K$ 上的光滑固有代数簇。Fontaine 构造了周期环$B_{\text{dR}}$ 、 $B_{\text{cris}}$ 、 $B_{\text{st}}$ ，使得：

(i) de Rham 比较（Faltings, 1989）：

$$H_{\text{ét}}^i(X_{\overline{K}},{\mathbb{Q}}_p){\otimes }_{{\mathbb{Q}}_p}{B}_{\text{dR}}\cong H_{\text{dR}}^i(X/K){\otimes }_K{B}_{\text{dR}}.$$

(ii) 若 $X$ 有好约化（good reduction），则：

$$H_{\text{ét}}^i(X_{\overline{K}},{\mathbb{Q}}_p){\otimes }_{{\mathbb{Q}}_p}{B}_{\text{cris}}\cong H_{\text{cris}}^i({\overline{X}}_0/W(\overline{k})){\otimes }_{W(\overline{k})}{B}_{\text{cris}},$$

其中 $H_{\text{cris}}^i$ 是晶体上同调（crystalline cohomology）， $W(\overline{k})$ 是 Witt 向量环。

直觉 Hodge–Tate 分解

最简单的比较定理是 Hodge–Tate 分解（Fontaine）：

$$H_{\text{ét}}^i(X_{\overline{K}},{\mathbb{Q}}_p){\otimes }_{{\mathbb{Q}}_p}{\mathbb{C}}_p\cong \underset{j=0}{\overset{i}{⨁}}{H}^j(X,{\mathrm{\Omega }}_{X/K}^{i-j}){\otimes }_K{\mathbb{C}}_p(j),$$

其中 ${\mathbb{C}}_p(j)$ 是第 $j$ 次 Tate 扭。

这将 étale 上同调（Galois 表示的载体）与代数 de Rham 上同调（微分形式的载体）联系起来，是 $p$ -进 Hodge 理论的基石。

定理 Scholze 的 $p$ -进 Hodge 理论

Scholze（2013–）用 perfectoid 空间给出了 $p$ -进 Hodge 理论的新证明和发展：

(i) Hodge–Tate 谱序列的退化： 通过 perfectoid 空间的 Hodge–Tate 谱序列，Scholze 给出了更概念化和更一般的情形。

(ii) 相对 $p$ -进 Hodge 理论： 在 perfectoid 空间上， $B_{\text{dR}}$ 变成了层（而非仅仅是 Galois 模），这允许在模空间族上做 Hodge 理论。

(iii) 固有性定理（Scholze, 2015）： 某些 Shimura 簇的上同调是固有的（overconvergent），这用传统方法无法证明。

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覆盖空间与 Galois 理论的拓扑类比

命题 拓扑覆盖与 Galois 对应

拓扑覆盖空间理论与 Galois 理论有深刻的类比：

拓扑	代数
连通空间 $X$	域 $K$
基本群 ${\pi }_1(X,x_0)$	绝对 Galois 群 $G_K$
$n$ -叶覆盖	$n$ 次域扩张
正规覆盖	Galois 扩张
${\pi }_1(\tilde{X})⊴{\pi }_1(X)$	$\mathrm{Gal}(L/M)⊴\mathrm{Gal}(L/K)$
Galois 对应（覆盖空间 ↔ 子群）	Galois 对应（中间域 ↔ 子群）

这个类比在 Grothendieck 的 étale 理论中被完全形式化。

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与前面章节的联系

• 有限 Galois 对应在 §8.1。
• 无限 Galois 理论在 第十一章。
• 可解群与逆 Galois 问题在 §9.1。
• 有限域的 Frobenius 自同构在 §10.2。
• 代数闭包的构造在 §6.1。
• 分圆域与 Kronecker–Weber 定理需要 §4.2 分圆多项式。

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