§8.1 基本 Galois 对应

📖 学习目标

完成本节后，你应该能够：

1. 陈述基本 Galois 对应定理的四个部分，并解释"反序双射"的含义
2. 给出 $\mathrm{Gal}(L/K)$ 与中间域格之间的完整对应表（至少对 $V_4$ 和 $S_3$ 的情形）
3. 解释正规子群对应正规扩张的直觉，并给出反例
4. 理解 Artin 引理在证明中的核心角色
5. 将 Galois 对应应用于具体多项式的根式求解

直觉 核心思想

Galois 理论最深刻的洞察是：域扩张的内部结构（中间域）与群的外部结构（子群）之间存在完美的反序一一对应。这是"对偶性"的一个范例——两个看似不同的数学对象之间的结构完全镜像彼此。

这个对应之所以强大，是因为：

• 群论比域论好算：子群的分类是纯群论问题，可以用 Lagrange 定理、Sylow 定理等工具。
• 域论问题可以通过群论解决：例如"多项式是否根式可解"可以转化为"Galois 群是否可解"。
• 结构完全镜像：正规子群 ↔ 正规扩张，商群 ↔ 限制 Galois 群，指数 ↔ 扩张次数。

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中间域

定义 中间域

设 $L/K$ 为域扩张。一个中间域（intermediate field）是满足 $K\subseteq M\subseteq L$ 的域 $M$ 。

中间域可能很复杂

即使 $L/K$ 是"简单的"（如 $L=\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2},i)$ ），中间域的数量和结构也可能出人意料地丰富。 $[L:\mathbb{Q}]=8$ 的扩张可能有 6 个真中间域。Galois 对应的威力就在于将中间域的分类完全转化为子群的分类。

例 具体的中间域

考虑 $L=\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2},i)$ ， $K=\mathbb{Q}$ ， $[L:\mathbb{Q}]=8$ 。中间域包括：

• $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ （二次扩张）
• $\mathbb{Q}(i)$ （二次扩张）
• $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})$ （四次扩张）
• $\mathbb{Q}(\sqrt{2},i)$ （四次扩张）
• $\mathbb{Q}(i\sqrt{2})$ （二次扩张）

共 6 个真中间域，对应 $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})\cong D_4$ 的 6 个非平凡子群。

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正规子群与正规扩张

定义 正规扩张

域扩张 $L/K$ 称为正规扩张（normal extension），如果 $L$ 是 $K$ 上某个多项式族的分裂域。等价地（有限情形下）： $L/K$ 是正规的当且仅当每个 $K$ -不可约多项式 $p\in K[x]$ ，若在 $L$ 中有一个根，则在 $L$ 中完全分裂。

定理 正规扩张的 Galois 群刻画

设 $L/K$ 是有限 Galois 扩张， $M$ 是中间域（ $K\subseteq M\subseteq L$ ）。则：

$M/K$ 是正规扩张 $⟺$$\mathrm{Gal}(L/M)$ 是 $\mathrm{Gal}(L/K)$ 的正规子群。

证明.

( $\Rightarrow$ ) 设 $M/K$ 是正规扩张。设 $\sigma \in \mathrm{Gal}(L/K)$ ， $\tau \in \mathrm{Gal}(L/M)$ 。对 $m\in M$ ，需证 $\sigma \tau {\sigma }^{-1}(m)=m$ 。

因 ${\sigma }^{-1}(m)\in M$ （因为 $M/K$ 正规： ${\sigma }^{-1}$ 固定 $K$ ， ${\sigma }^{-1}(m)$ 与 $m$ 有相同的 $K$ -极小多项式，而 $M$ 包含该多项式的全部根），且 $\tau$ 固定 $M$ ，故 $\tau ({\sigma }^{-1}(m))={\sigma }^{-1}(m)$ 。故 $\sigma \tau {\sigma }^{-1}(m)=\sigma ({\sigma }^{-1}(m))=m$ 。 $\sigma \tau {\sigma }^{-1}\in \mathrm{Gal}(L/M)$ 。

( $\Leftarrow$ ) 设 $H=\mathrm{Gal}(L/M)⊴G=\mathrm{Gal}(L/K)$ 。设 $m\in M$ ， $\sigma \in G$ 。需证 $\sigma (m)\in M$ ，即 $\sigma (m)$ 被 $H$ 中所有元素固定。

对 $\tau \in H$ ： $\tau (\sigma (m))=(\tau \sigma )(m)=(\sigma {\sigma }^{-1}\tau \sigma )(m)$ 。因 $H⊴G$ ， ${\sigma }^{-1}\tau \sigma \in H$ ，故 ${\sigma }^{-1}\tau \sigma$ 固定 $m$ ，于是 $\tau \sigma (m)=\sigma (m)$ 。故 $\sigma (m)\in M$ 。 $◼$

非正规中间域的例子

考虑 $L=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega )$ （ $x^3-2$ 的分裂域）， $K=\mathbb{Q}$ 。中间域 $M=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 满足 $[M:\mathbb{Q}]=3$ ，但 $M/\mathbb{Q}$不是正规扩张： $x^3-2$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约且有根 $\sqrt[3]{2}\in M$ ，但 $x^3-2$ 的另外两个根 $\omega \sqrt[3]{2}$ 和 ${\omega }^2\sqrt[3]{2}$ 不在 $M$ 中（它们是复数， $M\subset \mathbb{R}$ ）。

在 Galois 对应中，这意味着 $\mathrm{Gal}(L/M)$ 是 $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})\cong S_3$ 的子群但不是正规子群——它是 $S_3$ 的某个 2 阶子群。

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基本 Galois 对应定理

定义 不动域（固定域）

设 $L$ 为域， $H\le \mathrm{Aut}(L)$ 为 $L$ 的自同构群的子群。集合

$$L^H=\{a\in L\mid \sigma (a)=a\text{ 对所有 }\sigma \in H\}$$

是 $L$ 的子域，称为 $H$ 的不动域（fixed field）。

定义 Galois 对应

设 $L/K$ 是有限 Galois 扩张， $G=\mathrm{Gal}(L/K)$ 。映射

$$M\mapsto \mathrm{Gal}(L/M),H\mapsto L^H$$

建立了中间域与子群之间的反序双射，称为 Galois 对应（Galois correspondence）。详见 [定理]。

定理 Galois 对应

设 $L/K$ 是有限 Galois 扩张， $G=\mathrm{Gal}(L/K)$ 。定义两个映射：

$$\mathrm{\Phi }:\{\text{中间域 }K\subseteq M\subseteq L\}\to \{\text{子群 }H\le G\},M\mapsto \mathrm{Gal}(L/M),$$$$\mathrm{\Psi }:\{\text{子群 }H\le G\}\to \{\text{中间域 }K\subseteq M\subseteq L\},H\mapsto L^H.$$

则：

(i)$\mathrm{\Phi }$ 和 $\mathrm{\Psi }$ 是互逆的反序双射（Galois 连接）： $\mathrm{\Psi }\circ \mathrm{\Phi }=\mathrm{id}$ ， $\mathrm{\Phi }\circ \mathrm{\Psi }=\mathrm{id}$ 。

(ii) 指数等于扩张次数：$[M:K]=[G:H]$ ， $[L:M]=|H|$ ，其中 $H=\mathrm{Gal}(L/M)$ 。

(iii) 正规子群对应正规扩张：$\mathrm{Gal}(L/M)⊴G$$⟺$$M/K$ 是正规扩张。

(iv) 商群对应限制 Galois 群： 若 $M/K$ 正规，则 $\mathrm{Gal}(M/K)\cong G/\mathrm{Gal}(L/M)$ 。

直觉 定理四部分的层次

• (i) 是对应的存在性：映射确实建立了双射。
• (ii) 是量的匹配：子群的指数恰好等于域扩张的次数。
• (iii) 是结构的匹配：群的正规性对应域的正规性。
• (iv) 是约化：商群给出了"底层"Galois 群，可以从更大的 Galois 群中"除掉"已知部分得到。

(i) 和 (ii) 是基本工具；(iii) 和 (iv) 是结构定理，直接用于分类和计算。

证明. 证明分为几个关键步骤。

步骤 1： $\mathrm{\Psi }\circ \mathrm{\Phi }=\mathrm{id}$ 。

设 $M$ 为中间域， $H=\mathrm{Gal}(L/M)$ 。需证 $L^H=M$ 。

$M\subseteq L^H$ 是显然的（ $H$ 中的元素固定 $M$ ）。

反过来，设 $\alpha \in L\setminus M$ 。 $\alpha$ 在 $M$ 上的极小多项式 $m_{\alpha }^M(x)$ 的次数 $\ge 2$ 。由 [引理]（应用于 $L/M$ 上的嵌入），存在 $\sigma \in \mathrm{Gal}(L/M)$ 使得 $\sigma (\alpha )\ne \alpha$ （因为 $m_{\alpha }^M$ 在 $L$ 中有多个根，而 $L/M$ 是 Galois 的，故 $M$ -自同构可将 $\alpha$ 映到 $m_{\alpha }^M$ 的任何根）。故 $\alpha \notin L^H$ 。故 $L^H=M$ 。

注 步骤 1 的关键洞察

步骤 1 的核心论据是：如果 $\alpha \notin M$ ，则 $\alpha$ 在 $M$ 上的极小多项式有多个不同的根（因为 $L/M$ 是可分的），而 Galois 群可以把 $\alpha$ 移到其他根上。这说明 Galois 群足以区分$M$ 和 $L\setminus M$ 中的元素。

步骤 2： $\mathrm{\Phi }\circ \mathrm{\Psi }=\mathrm{id}$ 。

设 $H\le G$ ， $M=L^H$ 。需证 $\mathrm{Gal}(L/M)=H$ 。

$H\subseteq \mathrm{Gal}(L/M)$ 由定义显然。

反包含由 Artin 引理（[定理]）完成：对有限群 $H\le \mathrm{Aut}(L)$ ， $[L:L^H]=|H|$ 。

应用于 $H\le \mathrm{Gal}(L/M)=\mathrm{Aut}(L/M)$ ： $[L:M]=[L:L^H]=|H|$ 。同时 $[L:M]=|\mathrm{Gal}(L/M)|$ （因为 $L/M$ 是 Galois 的）。故 $|H|=|\mathrm{Gal}(L/M)|$ 。因 $H\subseteq \mathrm{Gal}(L/M)$ ，得 $H=\mathrm{Gal}(L/M)$ 。

Artin 引理的证明：

对有限群 $H\le \mathrm{Aut}(L)$ ，证明 $[L:L^H]=|H|$ 。

（ $[L:L^H]\le |H|$ ）： 设 $H=\{{\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_n\}$ （ ${\sigma }_1=\mathrm{id}$ ）， $n=|H|$ 。设 $[L:L^H]>n$ ，取 $L^H$ -线性无关的 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_{n+1}\in L$ 。考虑方程组 $\sum _{j=1}^{n+1}{\sigma }_i({\alpha }_j)x_j=0$ （ $i=1,\dots ,n$ ）。这是 $n$ 个方程 $n+1$ 个未知数的齐次线性方程组，有非零解 $(c_1,\dots ,c_{n+1})\in L^{n+1}$ 。取满足条件的解使得非零分量个数最少，经置换后可设 $c_1,\dots ,c_{n+1}$ 中前 $r$ 个非零（ $r\ge 1$ ）。

对任意 $\tau \in H$ ，将方程用 $\tau$ 作用得 $\sum _j\tau {\sigma }_i({\alpha }_j)\tau (c_j)=\sum _j{\sigma }_k({\alpha }_j)\tau (c_j)=0$ （重排指标），故 $(\tau (c_1),\dots ,\tau (c_{n+1}))$ 也是解。从而 $(c_1-\tau (c_1),\dots ,c_{n+1}-\tau (c_{n+1}))$ 也是解。但 $c_1\in L^H$ （因为 $c_1\ne 0$ 且可以归一化使 $c_1=1\in L^H$ ），故 $c_1-\tau (c_1)=0$ ，新解的非零分量个数 $<r$ ，与 $r$ 的最小性矛盾。

（ $[L:L^H]\ge |H|$ ）： 由定义 $L^H\subseteq L^{\mathrm{Gal}(L/L^H)}$ ，故 $\mathrm{Gal}(L/L^H)\supseteq H$ 。由上面的不等式， $|\mathrm{Gal}(L/L^H)|\le [L:L^{\mathrm{Gal}(L/L^H)}]\le [L:L^H]$ 。故 $|H|\le |\mathrm{Gal}(L/L^H)|\le [L:L^H]$ 。 $◼$

注 Artin 引理的地位

Artin 引理是整个 Galois 理论的基石。它说的是：如果你有一群自同构作用在域上，那这个域对固定子域的扩张次数恰好等于群的阶。这是"群的大小等于域的大小"这一 Galois 精神的精确数学表述。没有 Artin 引理，基本对应定理就无法证明。

步骤 3：正规子群与正规扩张的对应。

已在 [定理] 中证明。

步骤 4：商群同构。

设 $H=\mathrm{Gal}(L/M)⊴G$ ， $M/K$ 正规。考虑限制映射：

$$\phi :G=\mathrm{Gal}(L/K)\to \mathrm{Gal}(M/K),\sigma \mapsto \sigma {|}_M.$$

因 $M/K$ 正规， $\sigma (M)=M$ ，故 $\sigma {|}_M$ 是良定义的 $\mathrm{Gal}(M/K)$ 的元素。 $\phi$ 是群同态， $\ker \phi =\{\sigma \in G:\sigma {|}_M={\mathrm{id}}_M\}=\mathrm{Gal}(L/M)=H$ 。

$\phi$ 是满射：设 $\tau \in \mathrm{Gal}(M/K)$ 。由嵌入扩张引理（[引理]）， $\tau$ 可提升为 $\tilde{\tau }\in \mathrm{Gal}(L/K)$ ，满足 $\tilde{\tau }{|}_M=\tau$ 。故 $\phi (\tilde{\tau })=\tau$ 。

由第一同构定理： $\mathrm{Gal}(M/K)\cong G/H$ 。 $◼$

注 Galois 对应的范畴论表述

Galois 对应可以视为反变等价：有限 Galois 扩张 $L/K$ 的中间域范畴（态射为域嵌入）与 $\mathrm{Gal}(L/K)$ 的子群范畴（态射为群包含）之间存在反变等价。这个观点在无限 Galois 理论中推广为 profinite 群的闭子群与 Galois 范畴之间的反变等价（第十一章）。

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完整的 Galois 对应示例

示例 1： $V_4$ 情形

例 $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})/\mathbb{Q}$ 的 Galois 对应

$L=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ ， $[L:\mathbb{Q}]=4$ 。 $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})\cong V_4=\{e,\sigma ,\tau ,\sigma \tau \}$ ，其中：

• $\sigma :\sqrt{2}\mapsto -\sqrt{2},\sqrt{3}\mapsto \sqrt{3}$
• $\tau :\sqrt{2}\mapsto \sqrt{2},\sqrt{3}\mapsto -\sqrt{3}$

Galois 对应（反序）：

中间域                           子群                     阶
───────────                    ──────────               ───
L = Q(√2,√3)                    {e}                      1
   |                           ↗  |  ↗
Q(√2)    Q(√3)    Q(√6)     ⟨σ⟩ ⟨στ⟩ ⟨τ⟩             2
   ↘      |      ↗            ↘   |   ↗
       Q                         V₄                      4

注意：

• $V_4$ 有 3 个 2 阶子群，全部是正规子群（因为 $V_4$ 是阿贝尔群），对应 3 个二次扩张——它们都是正规扩张。
• 无 2 阶中间域对应 $V_4$ 的 2 阶子群的商，也是 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 。
• 全部对称： $V_4$ 的子群格与中间域格同构（反序）。

示例 2： $S_3$ 情形——正规与非正规的对比

例 $x^3-2$ 的 Galois 对应

$f(x)=x^3-2$ 的分裂域为 $L=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega )$ （ $\omega =e^{2\pi i/3}$ ）， $[L:\mathbb{Q}]=6$ 。 $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})\cong S_3$ 。

生成元：

$$\sigma :\sqrt[3]{2}\mapsto \omega \sqrt[3]{2}\mapsto {\omega }^2\sqrt[3]{2}\mapsto \sqrt[3]{2},\omega \mapsto \omega$$$$\tau :\sqrt[3]{2}\mapsto \sqrt[3]{2},\omega \mapsto {\omega }^2$$

$S_3=\{e,\sigma ,{\sigma }^2,\tau ,\sigma \tau ,{\sigma }^2\tau \}$ ，阶为 6。

$S_3$ 的子群：

子群	阶	类型	正规？
$\{e\}$	1	平凡	✓
$⟨\tau ⟩=\{e,\tau \}$	2	2 阶	✗
$⟨\sigma \tau ⟩=\{e,\sigma \tau \}$	2	2 阶	✗
$⟨{\sigma }^2\tau ⟩=\{e,{\sigma }^2\tau \}$	2	2 阶	✗
$⟨\sigma ⟩=\{e,\sigma ,{\sigma }^2\}$	3	循环 3 阶	✓（指数 2）
$S_3$	6	全群	✓

Galois 对应：

子群 $H$	固定域 $L^H$	$[L^H:\mathbb{Q}]$	$L^H/\mathbb{Q}$ 正规？
$\{e\}$	$L=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega )$	6	✓
$⟨\tau ⟩$	$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$	3	✗
$⟨\sigma \tau ⟩$	$\mathbb{Q}({\omega }^2\sqrt[3]{2})$	3	✗
$⟨{\sigma }^2\tau ⟩$	$\mathbb{Q}(\omega \sqrt[3]{2})$	3	✗
$⟨\sigma ⟩$	$\mathbb{Q}(\omega )$	2	✓
$S_3$	$\mathbb{Q}$	1	✓

关键观察：

1. $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q}$不是正规扩张（ $x^3-2$ 的其他两个根不在 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 中），对应 $⟨\tau ⟩$不是$S_3$ 的正规子群。
2. $\mathbb{Q}(\omega )/\mathbb{Q}$是正规扩张（ $x^2+x+1$ 在 $\mathbb{Q}(\omega )$ 中完全分裂），对应 $⟨\sigma ⟩⊴S_3$ 。
3. $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\omega )/\mathbb{Q})\cong S_3/⟨\sigma ⟩\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ ——这就是定理 (iv) 的具体体现。
4. 三个 2 阶子群都不是正规的，它们互为共轭——恰好对应 $\sqrt[3]{2}$ 、 $\omega \sqrt[3]{2}$ 、 ${\omega }^2\sqrt[3]{2}$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的"对称地位"。

这个例子完美展示了 Galois 对应如何同时揭示：

• 哪些中间域是"好的"（正规的）
• 哪些中间域有"隐秘的对称性"（Galois 群大 vs. 中间域小）
• 为什么某些方程"找不到根式解的单一表达式"

示例 3： $D_4$ 情形——完整的子群格

例 $x^4-2$ 的 Galois 对应

$f(x)=x^4-2$ 的分裂域 $L=\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2},i)$ ， $[L:\mathbb{Q}]=8$ 。 $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})\cong D_4$ 。

$D_4$ 有 10 个子群（ $\{e\}$ ，5 个 2 阶子群，2 个 4 阶子群， $D_4$ 自身），其中 3 个是正规子群（ $\{e\}$ ， $⟨{\sigma }^2⟩$ （旋转 180°）， $⟨\sigma ⟩\cong \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ ，以及 $D_4$ 自身；更精确地， $D_4$ 的正规子群为 $\{e\}$ ， $⟨{\sigma }^2⟩$ ， $⟨\sigma ⟩$ ， $⟨{\sigma }^2,\tau ⟩$ ， $⟨{\sigma }^2,\sigma \tau ⟩$ ，和 $D_4$ ）。

对应 10 个中间域，其中正规子群对应的中间域在 $\mathbb{Q}$ 上是正规扩张。完整的对应表需要较仔细的计算——这正是 Galois 理论将代数问题转化为群论问题的威力。

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Galois 对应与根式求解

注 为什么 Galois 对应重要

Galois 对应的最深刻应用是多项式的根式可解性判据。其逻辑链如下：

1. 多项式 $f$ 的根式可解 $⟺$ 存在"根式域塔"从 $\mathbb{Q}$ 到 $f$ 的分裂域。
2. 根式域塔 $⟺$ Galois 群有"正规列，每个商都是循环群"。
3. 这个群论条件就是可解群的定义（§9.1）。

因此 Galois 对应将"能否用根号写出解"转化为"Galois 群是否可解"——一个纯粹的群论问题。这就是为什么 Abel 和 Galois 的理论如此强大：它将一个两千年的计算问题变成了一个结构分类问题。

常见误区

误区一：反序双射对任何扩张都成立

基本 Galois 对应要求 $L/K$ 是有限 Galois 扩张。如果 $L/K$ 不是 Galois 的，对应可能失败：

• 不正规的情形： $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q}$ 只有一个中间域（ $\mathbb{Q}$ 和自身），但 $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q})=\{id\}$ 也只有一个子群。碰巧对应，但这是巧合。
• 关键条件是 $|\mathrm{Gal}(L/K)|=[L:K]$ （Galois 扩张），此时对应才是完美的反序双射。

误区二：正规子群 ↔ 正规扩张的对应方向容易混淆

" $\mathrm{Gal}(L/M)⊴\mathrm{Gal}(L/K)$ ⟺ $M/K$ 正规"是正确的。但不能反过来说" $M/K$ 正规 ⟹ $M$ 是某个 Galois 扩张的中间域"。正规扩张本身不一定是 Galois 的（还需要可分性）。

此外， $L/M$ 总是 Galois 的（因为它就是 $\mathrm{Gal}(L/M)$ 的不动域），但 $M/K$ 不一定是。

误区三：共轭子群 ↔ 共轭中间域，但"共轭"的含义不同

$\mathrm{Gal}$ 中的共轭子群 $H$ 和 $\sigma H{\sigma }^{-1}$ 对应域论侧的共轭域$\sigma (M)$ （即对 $M$ 的元素作用 $\sigma$ 得到的像域）。这里"共轭"在两个不同的范畴中有不同的具体含义：

• 群论： $\sigma H{\sigma }^{-1}$
• 域论： $\sigma (M)=\{\sigma (m)\mid m\in M\}$

理解这一点对 §9.1 可解性 至关重要：根式求解对应的是正规列（不是任意子群列），而正规列对应的是正规域塔。

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与前面章节的联系

• 正规扩张的定义在 §5.2 正规扩张。
• 嵌入扩张引理 嵌入扩张引理 是证明的关键。
• Galois 群的定义在 §7.1。
• 本原元定理保证有限可分扩张是单扩张，用于 Galois 群的构造。
• $\mathrm{Gal}(x^3-2/\mathbb{Q})\cong S_3$ 的详细计算在 §7.1。
• $\mathrm{Gal}(x^4-2/\mathbb{Q})\cong D_4$ 的详细计算在 §7.1。
• 可解群与根式可解在 §9.1。
• 无限 Galois 对应在 第十一章 推广。

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本节小结

对应部分	群论侧	域论侧
(i) 反序双射	子群 $H\le G$	中间域 $K\subseteq M\subseteq L$
(ii) 阶数匹配	$[G:H]$	$[M:K]$
(iii) 结构匹配	$H⊴G$	$M/K$ 正规
(iv) 约化	$G/H$	$\mathrm{Gal}(M/K)$

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自测题

1. [基础] 设 $L=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})$ 。 $[L:\mathbb{Q}]$ 是多少？ $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ 同构于什么群？列出所有中间域与子群的对应。
2. [理解] 为什么 $\mathrm{Gal}(L/M)⊴G$ 不一定意味着 $M/K$ 是正规扩张？什么额外假设（即 $L/K$ 是 Galois 扩张）使得这个蕴含成立？
3. [计算] 设 $f(x)=x^3-3x-1$ 。 $f$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约（由有理根定理验证）。 $f$ 的判别式为 $\mathrm{\Delta }=-4(-3{)}^3-27(-1{)}^2=108-27=81=9^2$ ，是完全平方。由此推断 $\mathrm{Gal}(f/\mathbb{Q})$ 同构于 $S_3$ 还是 $A_3\cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ ？
4. [深入] 在 $x^3-2$ 的 Galois 对应中，三个 2 阶子群 $⟨\tau ⟩$ 、 $⟨\sigma \tau ⟩$ 、 $⟨{\sigma }^2\tau ⟩$ 是 $S_3$ 中互相共轭的。在域论侧，这对应于什么现象？（提示：三个域 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 、 $\mathbb{Q}(\omega \sqrt[3]{2})$ 、 $\mathbb{Q}({\omega }^2\sqrt[3]{2})$ 之间有什么关系？）
5. [应用] 利用 Galois 对应，解释为什么"一般的四次方程"的根可以用根式表达（ $\mathrm{Gal}\cong S_4$ 是可解群），但"一般的五次方程"不行（ $\mathrm{Gal}\cong S_5$ 不是可解群）。

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