现代 Galois 理论从群论到域的对称

一套严格、自包含、交互式的 Galois 理论完整教程

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从零到前沿

从群、环、域的基本定义出发，经过多项式理论、域扩张、分裂域、Galois 群与 Galois 对应，直达可解性判据、尺规作图、有限域、无限 Galois 理论和代数闭包。

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Bourbaki 精神

所有定义明确、定理严格证明、证明自包含。采用现代代数学标准记号，精确到符号。同时在直觉层提供几何与计算动机。

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知识网络

定义、定理、引理、命题、推论、例子之间通过交叉引用形成密集的知识网络。每一个概念都有来自前后文的动机和指向后续发展的线索。

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视觉系统

十二种数学环境各自拥有独立的色彩系统。定理的金色、引理的紫色、定义的蓝色——颜色即语义。

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交互组件

可展开的证明、子群格可视化、域扩张塔图、Galois 对应对照表——将抽象结构变为可探索的交互体验。

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完整参考

包含术语表、记号约定、参考文献。每个核心概念都可以在术语表中找到定义和跨章节链接。

站点导航

群、子群、正规子群、商群、群同态基本定理

环、理想、商环、环同态、中国剩余定理

域、素域、域特征、域的自同构

多项式环、不可约性、Eisenstein 判据、整根定理

分裂域与正规扩张

分裂域的存在唯一性、正规扩张、可分扩张

代数闭包的存在唯一性、Zorn 引理、代数独立

Galois 群的定义、性质与计算

Galois 理论基本定理：子群 ↔ 中间域的反序一一对应

可解性与尺规作图

多项式可解性判据、尺规作图三大不可能问题

有限域的构造、唯一性、Frobenius 自同构

无限 Galois 理论

Krull 拓扑、profinite 群、无限 Galois 对应

代数闭包与超越扩张

代数闭包、代数无关、超越基、超越次数

📌 推荐阅读路线
纯代数路线: 第 1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 6 → 7 → 8 章
应用路线 (尺规作图): 第 1 → 3 → 5 → 6 → 7 → 8 → 9 章
数论路线: 第 1 → 3 → 4 → 5 → 6 → 10 → 11 章
现代观点: 第 1 → 2 → 3 → 5 → 6 → 8 → 11 → 12 章

关于本教程

本教程目标是建立一个可长期迭代的产品级 Galois 理论知识库。如有勘误或建议，欢迎通过 GitHub 提交 issue 或 pull request。