第一章 · 群论基础

群论是 Galois 理论的代数骨架。本章从公理出发，建立群、子群、正规子群、商群和群同态的完整理论。我们的目标不仅是给出定义，更是揭示群论概念如何成为域论乃至整个 Galois 理论的语言基础。

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节	主题	核心概念
§1.1	群的定义与基本性质	群、单位元、逆元、交换群、对称群
§1.2	子群与 Lagrange 定理	子群、子群判据、陪集、Lagrange 定理
§1.3	正规子群与商群	正规子群、商群、单群
§1.4	群同态基本定理	同态、同构、核、像、同态基本定理

知识网络

群 (§1.1)
├── 子群 (§1.2)
│   ├── 正规子群 (§1.3)
│   │   └── 商群 (§1.3)
│   └── Lagrange 定理 (§1.2)
└── 群同态 (§1.4)
    ├── 核与像 (§1.4)
    ├── 同态基本定理 (§1.4)
    └── 同构定理 (§1.4)

前置知识

本章假定读者具备集合论基础（集合、映射、等价关系、商集）。这些在任何抽象代数教科书的第零章都可以找到。