§1.4 群同态基本定理

学习目标

理解群同态的定义和基本性质，认识同态如何"保持群结构"。
掌握核（kernel）和像（image）的概念，理解"核是正规子群"和"单射判据"。
掌握第一同构定理（群同态基本定理），能熟练应用于具体群的同态。
了解第二、第三同构定理的陈述和应用场景。
理解子群对应定理，认识它作为 Galois 对应原型的意义。

为什么要研究同态？

动机

在 §1.2 和 §1.3 中，我们研究了群的"内部结构"——子群、正规子群、商群。现在我们转向"群之间的关系"——同态。

同态是"保持群运算的映射"。 它们的重要性在于：

比较群的结构：两个群是否有"相同的结构"？通过同态（特别是同构），我们可以精确地回答这个问题。
简化群：同态的核告诉我们哪些元素被"压缩"到单位元——商群 $G / \ker φ$ 就是简化后的群。
Galois 理论的基础：域扩张的 Galois 群本身就是自同构的集合，而同态定理是分析这些群的基本工具。

群同态

设 $(G, \cdot)$ 和 $(H, *)$ 为群。映射 $φ : G \to H$ 称为群同态，如果对所有 $a, b \in G$ ，

φ (a b) = φ (a) * φ (b)

若 $φ$ 还是双射，则称 $φ$ 为群同构，记为 $G ≅ H$ 。

若群同态 $φ : G \to H$ 还是双射，则称 $φ$ 为群同构（group isomorphism），记为 $G ≅ H$ 。若存在群同构 $G ≅ H$ ，则称 $G$ 和 $H$ 同构。

同态是保持群运算的映射。在范畴论语言中，群同态是群范畴 $Grp$ 中的态射。同构是范畴等价—— $G ≅ H$ 意味着 $G$ 和 $H$ 作为群没有本质区别。

符号同态 $sgn : S_{n} \to {1, - 1} ≅ Z / 2 Z$ 。偶置换映到 $1$ ，奇置换映到 $- 1$ 。验证： $sgn (σ τ) = sgn (σ) sgn (τ)$ 。 $\ker (sgn) = A_{n}$ （交错群）。由第一同构定理， $S_{n} / A_{n} ≅ Z / 2 Z$ 。
行列式 $det : G L_{n} (R) \to R^{*}$ 。 $det (A B) = det (A) det (B)$ 。 $\ker (det) = S L_{n} (R)$ （特殊线性群）。由第一同构定理， $G L_{n} (R) / S L_{n} (R) ≅ R^{*}$ 。
幂同态 $φ : Z \to Z / n Z$ ， $k \mapsto \overset{―}{k}$ 。这是自然投射， $\ker φ = n Z$ 。由第一同构定理， $Z / n Z ≅ Z / n Z$ （平凡但重要！）。更一般地， $Z$ 的每个商群都同构于某个 $Z / n Z$ 或 $Z$ 本身。
交换化映射 $a b : G \to G / [G, G]$ ， $g \mapsto g [G, G]$ 。 $[G, G]$ 是 $G$ 的换位子群。 $G / [G, G]$ 是 $G$ 的最大交换商群（abelianization）。 $S_{n}$ 的换位子群 $[S_{n}, S_{n}] = A_{n}$ （ $n \geq 5$ ），所以 $S_{n}^{ab} ≅ Z / 2 Z$ 。
嵌入 $ι : H ↪ G$ （ $H \leq G$ ）。包含映射总是单同态， $\ker ι = {e}$ 。
平凡同态 $φ : G \to H$ ， $φ (g) = e_{H}$ 对所有 $g$ 。 $\ker φ = G$ ， $im φ = {e_{H}}$ 。

同态的基本性质

设 $φ : G \to H$ 为群同态。则：

$φ (e_{G}) = e_{H}$ 。
$φ (a^{- 1}) = φ (a)^{- 1}$ 。
若 $a \in G$ 的阶为 $n < \infty$ ，则 $| φ (a) |$ 整除 $n$ 。
若 $K \leq G$ ，则 $φ (K) \leq H$ 。
若 $L \leq H$ ，则 $φ^{- 1} (L) \leq G$ 。

(1) $φ (e_{G}) = φ (e_{G} \cdot e_{G}) = φ (e_{G}) * φ (e_{G})$ 。由 [引理]（ $H$ 中的消去律）， $φ (e_{G}) = e_{H}$ 。

(2) $φ (a) * φ (a^{- 1}) = φ (a a^{- 1}) = φ (e_{G}) = e_{H}$ 。由 [引理]， $φ (a^{- 1}) = φ (a)^{- 1}$ 。

(3) $φ (a)^{n} = φ (a^{n}) = φ (e_{G}) = e_{H}$ 。由 [引理](1)， $| φ (a) | ∣ n$ 。

(4) 对 $φ (a), φ (b) \in φ (K)$ ， $φ (a) φ (b)^{- 1} = φ (a b^{- 1}) \in φ (K)$ （因 $a b^{- 1} \in K$ ）。由 [引理](2)， $φ (K) \leq H$ 。

(5) 对 $a, b \in φ^{- 1} (L)$ ， $φ (a b^{- 1}) = φ (a) φ (b)^{- 1} \in L$ （因 $φ (a), φ (b) \in L$ ）。故 $a b^{- 1} \in φ^{- 1} (L)$ 。

误区："同态是满射"

不一定！ 同态不一定满射。例如包含映射 $ι : Z ↪ Q$ （加法群）是同态但不是满射。 $im ι = Z ⊊ Q$ 。

满同态（epimorphism）是满射的同态。只有满同态的第一同构定理形式才是 $G / \ker φ ≅ H$ （而不是 $≅ im φ$ ）。

注意 [引理](3) 说 $| φ (a) |$ 整除 $| a |$ ，而不是等于。例如 $φ : Z / 6 Z \to Z / 3 Z$ ， $φ (\overset{―}{k}) = \overset{―}{k}$ 。 $\overset{―}{2} \in Z / 6 Z$ 的阶是 3，但 $φ (\overset{―}{2}) = \overset{―}{2} \in Z / 3 Z$ 的阶也是 3（整除关系中恰好相等）。 $\overset{―}{3} \in Z / 6 Z$ 的阶是 2，但 $φ (\overset{―}{3}) = \overset{―}{0}$ 的阶是 1（严格整除）。

核与像

设 $φ : G \to H$ 为群同态。

$φ$ 的核 $\ker φ = {g \in G : φ (g) = e_{H}}$ 。
$φ$ 的像 $im φ = φ (G) = {φ (g) : g \in G}$ 。

$sgn : S_{n} \to {\pm 1}$ ： $\ker (sgn) = A_{n}$ ， $im (sgn) = {\pm 1}$ （ $n \geq 2$ ）。
$det : G L_{2} (R) \to R^{*}$ ： $\ker (det) = S L_{2} (R)$ ， $im (det) = R^{*}$ （ $det$ 是满射）。
$φ : Z \to Z / 5 Z$ ， $n \mapsto \overset{―}{n}$ ： $\ker φ = 5 Z$ ， $im φ = Z / 5 Z$ （满射）。
$φ : S_{3} \to S_{3}$ ， $σ \mapsto (1 2 3) σ (1 2 3)^{- 1}$ （共轭作用）。这是一个自同构（内自同构）。 $\ker φ = {e}$ ， $im φ = S_{3}$ 。
$φ : Z \to Z$ ， $n \mapsto 2 n$ 。 $\ker φ = {0}$ ， $im φ = 2 Z$ （不是满射—— $1 \notin 2 Z$ ）。

设 $φ : G \to H$ 为群同态。则 $\ker φ ⊴ G$ 。

由 [引理](5)， $\ker φ = φ^{- 1} ({e_{H}}) \leq G$ 。

正规性：对 $k \in \ker φ$ ， $g \in G$ ，

φ (g k g^{- 1}) = φ (g) φ (k) φ (g)^{- 1} = φ (g) \cdot e_{H} \cdot φ (g)^{- 1} = e_{H}

故 $g k g^{- 1} \in \ker φ$ 。由 [引理](2)， $\ker φ ⊴ G$ 。

核是正规子群——这意味着什么？

这个结论比表面看起来更有力量：它给了我们构造正规子群的系统方法。

反过来，§1.3 告诉我们每个正规子群 $N ⊴ G$ 都是某个同态的核——自然投射 $π : G \to G / N$ 的核就是 $N$ 。

因此：正规子群 = 同态的核。这是群论中一个深刻的基本对应。

群同态 $φ : G \to H$ 是单射当且仅当 $\ker φ = {e_{G}}$ 。

( $\Rightarrow$ ) 若 $φ$ 单射， $φ (k) = e_{H} = φ (e_{G})$ 推出 $k = e_{G}$ 。

( $\Leftarrow$ ) 若 $φ (a) = φ (b)$ ，则 $φ (a b^{- 1}) = φ (a) φ (b)^{- 1} = e_{H}$ ，故 $a b^{- 1} \in \ker φ = {e_{G}}$ ，即 $a = b$ 。

单射判据是验证同态是否为单射的最方便方法：只需计算核。例如，要验证包含映射 $ι : H ↪ G$ 是单射，只需观察 $\ker ι = {e}$ （显然）。

在域论中，域同态 $φ : K \to L$ 总是单射，因为 $\ker φ$ 是 $K$ 的理想，而域的理想只有 $(0)$ 和 $K$ 本身（如果 $φ \neq 0$ ，则 $\ker φ = (0)$ ）。

群同态基本定理

设 $φ : G \to H$ 为群同态。则

G / \ker φ ≅ im φ

具体地，映射 $\overset{―}{φ} : G / \ker φ \to im φ$ ， $\overset{―}{φ} (g \ker φ) = φ (g)$ 是良定义的群同构。

记 $K = \ker φ$ 。

良定义性：设 $g K = g^{'} K$ ，即 $g^{- 1} g^{'} \in K$ 。则 $φ (g^{- 1} g^{'}) = e_{H}$ ，即 $φ (g)^{- 1} φ (g^{'}) = e_{H}$ ，故 $φ (g) = φ (g^{'})$ 。✓

同态性： $\overset{―}{φ} (g K \cdot g^{'} K) = \overset{―}{φ} (g g^{'} K) = φ (g g^{'}) = φ (g) φ (g^{'}) = \overset{―}{φ} (g K) \cdot \overset{―}{φ} (g^{'} K)$ 。✓

满射：对 $h \in im φ$ ，存在 $g \in G$ 使 $φ (g) = h$ ，故 $\overset{―}{φ} (g K) = h$ 。✓

单射：若 $\overset{―}{φ} (g K) = e_{H}$ ，则 $φ (g) = e_{H}$ ， $g \in K$ ， $g K = K$ （ $G / K$ 的单位元）。由 [引理]（应用于 $\overset{―}{φ}$ ）， $\overset{―}{φ}$ 单射。✓

例 1. $sgn : S_{n} \to {\pm 1}$ 。 $\ker (sgn) = A_{n}$ 。由第一同构定理， $S_{n} / A_{n} ≅ {\pm 1} ≅ Z / 2 Z$ 。所以 $[S_{n} : A_{n}] = 2$ ， $| A_{n} | = n! / 2$ 。

例 2. $φ : Z \to Z / n Z$ 。 $\ker φ = n Z$ 。由第一同构定理， $Z / n Z ≅ Z / n Z$ （验证了自然投射的正确性）。更深刻的应用： $Z$ 的每个商群都同构于某个 $Z / n Z$ （ $n \geq 0$ ）。

例 3. 计算 $(Z / 12 Z)^{*}$ （模 12 的单位群）。 $φ : Z / 12 Z \to Z / 2 Z \times Z / 2 Z$ （通过 CRT）。 $\ker φ = {\overset{―}{0}}$ 。 $(Z / 12 Z)^{*} ≅ Z / 2 Z \times Z / 2 Z$ （Klein 四元群）。这不是第一同构定理的直接应用，但展示了同态如何简化群的结构分析。

例 4. 设 $φ : Z / 6 Z \to S_{3}$ ， $φ (\overset{―}{1}) = (1 2 3)$ 。则 $φ (\overset{―}{k}) = (1 2 3)^{k}$ 。 $im φ = ⟨ (1 2 3) ⟩ ≅ Z / 3 Z$ ， $\ker φ = {\overset{―}{0}, \overset{―}{3}} = 2 Z / 6 Z ≅ Z / 2 Z$ 。由第一同构定理， $(Z / 6 Z) / (2 Z / 6 Z) ≅ Z / 3 Z$ 。

这个定理是整个 Galois 理论的原型模式：同态的像同构于定义域模去核。

具体地：

每当我们有一个"信息损失"的映射 $φ : G \to H$ ，核 $\ker φ$ 精确地度量了损失了多少信息。
商群 $G / \ker φ$ "压缩掉"被 $φ$ 破坏的结构，剩余部分和 $im φ$ 完全相同。

在域论中，域同态总是单射（因为域没有非平凡理想），所以群同态基本定理将在环同态基本定理中找到更精确的类比，而 Galois 对应本身就是将群论同态基本定理反复应用于域的自同构群。

第二和第三同构定理

设 $H \leq G$ ， $N ⊴ G$ 。则 $H N = {h n : h \in H, n \in N} \leq G$ ， $H \cap N ⊴ H$ ，且

H / (H \cap N) ≅ H N / N

$H N \leq G$ ：对 $h_{1} n_{1}, h_{2} n_{2} \in H N$ ， $(h_{1} n_{1}) (h_{2} n_{2})^{- 1} = h_{1} n_{1} n_{2}^{- 1} h_{2}^{- 1}$ 。由 $N$ 正规， $h_{2}^{- 1} N = N h_{2}^{- 1}$ ，故 $n_{1} n_{2}^{- 1} h_{2}^{- 1} = h_{2}^{- 1} n^{'}$ 对某 $n^{'} \in N$ 。故原式 $= h_{1} h_{2}^{- 1} n^{'} \in H N$ 。由 [引理](2)， $H N \leq G$ 。

$H \cap N ⊴ H$ ：对 $h \in H$ ， $k \in H \cap N$ ， $h k h^{- 1} \in H$ （因 $h, k \in H$ ）且 $h k h^{- 1} \in N$ （因 $N ⊴ G$ ）。故 $h k h^{- 1} \in H \cap N$ 。

同构：定义 $φ : H \to H N / N$ ， $φ (h) = h N$ 。 $φ$ 是同态（ $φ (h_{1} h_{2}) = h_{1} h_{2} N = (h_{1} N) (h_{2} N)$ ）。 $φ$ 满射（ $H N$ 中元素为 $h n$ ， $h n N = h N = φ (h)$ ）。 $\ker φ = {h \in H : h N = N} = {h \in H : h \in N} = H \cap N$ 。由 [定理]， $H / (H \cap N) ≅ H N / N$ 。

在 $S_{4}$ 中，设 $H = ⟨ (1 2 3 4) ⟩ ≅ Z / 4 Z$ ， $N = V_{4} = {e, (1 2) (3 4), (1 3) (2 4), (1 4) (2 3)}$ （Klein 四元群， $N ⊴ S_{4}$ ）。

$H \cap N = {e, (1 3) (2 4)} = ⟨ (1 3) (2 4) ⟩ ≅ Z / 2 Z$ 。
$H N$ 有 $| H | | N | / | H \cap N | = 4 \cdot 4 / 2 = 8$ 个元素， $H N ≅ D_{4}$ （二面体群）。
由第二同构定理， $H / (H \cap N) ≅ H N / N$ 。 $H / (H \cap N) ≅ Z / 4 Z / (Z / 2 Z) ≅ Z / 2 Z$ 。
所以 $H N / N ≅ Z / 2 Z$ ， $| H N / N | = 2$ 。

设 $N ⊴ G$ ， $K ⊴ G$ ， $N \subseteq K$ 。则 $K / N ⊴ G / N$ ，且

(G / N) / (K / N) ≅ G / K

定义 $φ : G / N \to G / K$ ， $φ (g N) = g K$ 。这是良定义的（ $g N = g^{'} N \Rightarrow g^{- 1} g^{'} \in N \subseteq K \Rightarrow g K = g^{'} K$ ），是满同态， $\ker φ = {g N : g \in K} = K / N$ 。由 [定理]， $(G / N) / (K / N) ≅ G / K$ 。

第三同构定理的直觉

第三同构定理说：商群的商群还是商群。如果你先"压缩"掉 $N$ ，再"压缩"掉 $K / N$ （其中 $N \subseteq K$ ），最终效果等价于一步压缩掉 $K$ 。

这个定理在 Galois 理论中的应用：如果 $K \subseteq L \subseteq M$ 是域扩张塔， $Gal (M / L) ⊴ Gal (M / K)$ ，则 $Gal (L / K) ≅ Gal (M / K) / Gal (M / L)$ 。

设 $G = Z$ ， $N = 12 Z$ ， $K = 4 Z$ 。则 $N \subseteq K$ ， $K / N = 4 Z / 12 Z ≅ Z / 3 Z$ 。

由第三同构定理： $(Z / 12 Z) / (4 Z / 12 Z) ≅ Z / 4 Z$ 。

验证： $Z / 12 Z = {0, 1, \dots, 11}$ ， $4 Z / 12 Z = {0, 4, 8}$ 。商群有 4 个陪集： ${0, 4, 8}, {1, 5, 9}, {2, 6, 10}, {3, 7, 11}$ ，确实同构于 $Z / 4 Z$ 。

对应定理

设 $N ⊴ G$ ， $π : G \to G / N$ 为自然投射。则映射

H \mapsto H / N

建立了 ${H \leq G : N \subseteq H}$ 与 ${H^{'} \leq G / N}$ 之间的一一对应。此对应保持包含关系、正规性，且指数 $[G : H] = [G / N : H / N]$ 。

$π$ 诱导的子群对应（子群的原像和像互为逆映射）是标准的集合论事实。保持包含关系由原像/像的单调性得到。保持正规性： $H ⊴ G$ 当且仅当 $g H g^{- 1} = H$ 对所有 $g$ ，这等价于 $(g N) (H / N) (g N)^{- 1} = H / N$ 对所有 $g N$ 。指数： $[G : H]$ 是 $G$ 到 $H$ 的陪集数，等于 $G / N$ 到 $H / N$ 的陪集数 $[G / N : H / N]$ 。

例 1. $G = S_{4}$ ， $N = V_{4}$ （Klein 四元群）。 $S_{4} / V_{4} ≅ S_{3}$ （ $| S_{4} | / | V_{4} | = 24 / 4 = 6 = | S_{3} |$ ）。 $S_{4}$ 中包含 $V_{4}$ 的子群对应 $S_{3}$ 的子群。 $S_{3}$ 有 6 个子群（ ${e}$ ，三个 2 阶子群，一个 3 阶子群， $S_{3}$ 自身），所以 $S_{4}$ 有 6 个包含 $V_{4}$ 的子群。

例 2. $G = Z$ ， $N = 6 Z$ 。 $Z / 6 Z$ 的子群： ${\overset{―}{0}}$ ， $⟨ \overset{―}{2} ⟩ = {0, 2, 4}$ ， $⟨ \overset{―}{3} ⟩ = {0, 3}$ ， $Z / 6 Z$ 。对应 $Z$ 中包含 $6 Z$ 的子群： $6 Z$ ， $2 Z$ ， $3 Z$ ， $Z$ 。

例 3. 在 Galois 理论中：设 $L / K$ 是 Galois 扩张， $N = Gal (L / L) = {e}$ 。则对应定理给出了 $Gal (L / K)$ 的所有子群与 $L / K$ 的所有中间域之间的一一对应。这就是 §8 Galois 对应的核心内容。

对应定理是 Galois 对应的直接原型。在 §8 Galois 对应中， $G = Gal (L / K)$ ， $N = Gal (L / L)$ = ${e}$ 时，子群对应恰好给出中间域与子群之间的反序一一对应。更一般地，无穷 Galois 理论中的 Krull 拓扑 ([定义]) 将这个对应推广到无穷 Galois 群。

常见误区

误区一："同态基本定理要求 $φ$ 满射"

不需要！ 第一同构定理对任何同态都成立。如果 $φ$ 不满射，定理给出 $G / \ker φ ≅ im φ$ （而不是 $≅ H$ ）。只有当 $φ$ 是满同态时，才有 $G / \ker φ ≅ H$ 。

误区二：" $H N$ 是直积"

不一定！ $H N = {h n : h \in H, n \in N}$ 不一定同构于 $H \times N$ 。 $H N ≅ H \times N$ 当且仅当 $H \cap N = {e}$ 且 $H, N$ 都是正规的。一般情况下 $| H N | = | H | | N | / | H \cap N |$ 。

误区三："第三同构定理中 $N$ 必须是 $K$ 的正规子群"

$N$ 是 $G$ 的正规子群（ $N ⊴ G$ ）， $K$ 也是 $G$ 的正规子群（ $K ⊴ G$ ），并且 $N \subseteq K$ 。条件是关于 $G$ 的正规性，不是关于 $K$ 的。但由 $N ⊴ G$ 可以推出 $N ⊴ K$ 。

误区四："对应定理说 $G$ 的所有子群与 $G / N$ 的所有子群一一对应"

不对！ 只有 $G$ 中包含 $N$ 的子群才与 $G / N$ 的子群一一对应。不包含 $N$ 的子群不出现在对应中。

例如 $G = S_{3}$ ， $N = A_{3}$ 。 $S_{3}$ 中包含 $A_{3}$ 的子群只有 $A_{3}$ 和 $S_{3}$ 自身。 $S_{3} / A_{3} ≅ Z / 2 Z$ 只有两个子群（ ${\overset{―}{0}}$ 和 $Z / 2 Z$ ），一一对应。但 $S_{3}$ 的其他子群（三个 2 阶子群 $⟨ (1 2) ⟩$ 等）不包含 $A_{3}$ ，不出现在对应中。

自测问题

核的计算：计算以下同态的核和像：
- (a) $φ : Z / 8 Z \to Z / 4 Z$ ， $φ (\overset{―}{n}) = \overset{―}{n}$
- (b) $φ : S_{4} \to S_{3}$ （通过 $S_{4} / V_{4} ≅ S_{3}$ 的复合）
- (c) $φ : D_{4} \to Z / 2 Z$ ， $φ (r^{i} s^{j}) = \overset{―}{j}$ （ $r$ 为旋转， $s$ 为反射）
第一同构定理的应用：设 $φ : G \to H$ 是满同态， $| G | = 60$ ， $| H | = 12$ 。 $\ker φ$ 的阶是多少？ $G / \ker φ$ 同构于什么？
第二同构定理：在 $S_{3}$ 中，设 $H = ⟨ (1 2) ⟩$ ， $N = A_{3}$ 。 $H \cap N$ 是什么？ $H N$ 是什么？ $H / (H \cap N) ≅ H N / N$ 同构于什么？
概念辨析：为什么域同态总是单射？用核和理想的语言解释。

答案

(a) $\ker φ = {\overset{―}{0}, \overset{―}{4}} = ⟨ \overset{―}{4} ⟩ ≅ Z / 2 Z$ ， $im φ = Z / 4 Z$ （满射）。验证： $(Z / 8 Z) / ⟨ \overset{―}{4} ⟩ ≅ Z / 4 Z$ 。(b) $\ker = V_{4}$ ， $im = S_{3}$ 。(c) $\ker = ⟨ r ⟩ ≅ Z / 4 Z$ ， $im = Z / 2 Z$ 。
$| \ker φ | = | G | / | H | = 60 / 12 = 5$ 。 $G / \ker φ ≅ H$ （由第一同构定理，因为 $φ$ 满射）。
$H \cap N = {e}$ （ $H = {e, (1 2)}$ ， $A_{3} = {e, (1 2 3), (1 3 2)}$ ，只有 $e$ 在两个集合中）。 $H N = S_{3}$ （ $| H N | = 2 \cdot 3 / 1 = 6$ ）。 $H / {e} ≅ H ≅ Z / 2 Z$ ， $H N / N = S_{3} / A_{3} ≅ Z / 2 Z$ 。✓
域同态 $φ : K \to L$ 的核 $\ker φ$ 是 $K$ 的理想（因为 $φ$ 是环同态）。但域 $K$ 的理想只有 $(0)$ 和 $K$ 本身。如果 $φ \neq 0$ （即 $φ (1) = 1 \neq 0$ ），则 $\ker φ = (0)$ ， $φ$ 单射。

交叉引用

本节概念	关联章节	关联内容
同态的核	§1.3 正规子群	正规子群 = 同态的核
商群	§1.3 商群	$G / \ker φ$ 是商群
第一同构定理	§2.2 理想	环同态基本定理
对应定理	§8.1 基本定理	Galois 对应
域同态的单射性	§3.1 域的定义	域没有非平凡理想
交换化	§9.1 可解群	可解群的交换化序列

本节要点

群同态的核总是正规子群；单射等价于核平凡。
群同态基本定理： $G / \ker φ ≅ im φ$ ——这是同态理论的核心。
第二同构定理： $H / (H \cap N) ≅ H N / N$ ，描述子群和正规子群的"交与积"。
第三同构定理： $(G / N) / (K / N) ≅ G / K$ ，商群的商群仍是商群。
子群对应定理： $G$ 中包含 $N$ 的子群与 $G / N$ 的子群一一对应——这是 Galois 对应的原型。

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§1.4 群同态基本定理 ​

为什么要研究同态？ ​

群同态 ​

同态的基本性质 ​

核与像 ​

群同态基本定理 ​

第二和第三同构定理 ​

对应定理 ​

常见误区 ​

自测问题 ​

交叉引用 ​