§2.2 理想与商环

学习目标

1. 理解理想的定义及其与正规子群的类比关系。
2. 掌握商环的构造，理解"为什么需要理想而不是子环"来构造商环。
3. 掌握环同态基本定理及其应用。
4. 了解理想的运算（交、和、积），理解互素理想的概念。
5. 区分极大理想和素理想，理解它们与域和整环的对应关系。

动机

在 第一章 中，[定义] 告诉我们：当子群 $N⊴G$ 与群结构"兼容"时，商集 $G/N$ 自然继承群结构。环的类比是理想——它同时是加法子群，又与乘法兼容。理想是环论中构造商环、研究环同态的关键概念。

为什么需要理想而不是子环？

在群论中，我们可以对正规子群取商 $G/N$ 。在环论中，为什么不能对"子环"取商？

原因：设 $S\subseteq R$ 是子环（包含 1 的乘法子半群和加法子群）。要定义 $(a+S)(b+S)=ab+S$ ，需要对任意 $s\in S$ ， $(a+s)(b+s^{\prime })=ab+\text{something in }S$ 。但 $(a+s)(b+s^{\prime })=ab+a{s}^{\prime }+sb+s{s}^{\prime }$ 。要使 $a{s}^{\prime }+sb+s{s}^{\prime }\in S$ ，我们需要 $R$ 中任意元素乘以 $S$ 中元素仍在 $S$ 中——这正是理想的条件！

所以：子环不足以保证乘法良定义，理想才行。 这就是为什么环论中起作用的是理想而非子环。

理想的定义

定义 理想

环 $R$ 的非空子集 $I$ 称为 $R$ 的一个理想（记为 $I⊴R$ ），如果：

(I1)$(I,+)$ 是 $(R,+)$ 的子群。

(I2) 对所有 $a\in I$ ， $r\in R$ ，有 $ra\in I$ 且 $ar\in I$ 。

注

对于交换环（本教程默认），条件 (I2) 简化为： $a\in I$ ， $r\in R$ 蕴含 $ra\in I$ 。注意理想一般不是子环——它不含单位元（除非 $I=R$ ）。

例 理想的基本例子

1. 平凡理想： $\{0\}$ 和 $R$ 总是 $R$ 的理想。
2. 主理想： $aR=(a)=\{ar:r\in R\}$ 是由元素 $a$ 生成的理想。在 $\mathbb{Z}$ 中，每个理想都是主理想： $(n)=n\mathbb{Z}$ 。
3. $2\mathbb{Z}=\{0,\pm 2,\pm 4,\dots \}$ 是 $\mathbb{Z}$ 的理想，是偶数的集合。
4. $I=\{f\in \mathbb{R}[x]:f(0)=0\}$ 是 $\mathbb{R}[x]$ 的理想（事实上 $I=(x)$ ）。
5. 多项式环的主理想： $(x^2+1)=\{(x^2+1)g(x):g(x)\in \mathbb{R}[x]\}$ 是 $\mathbb{R}[x]$ 的理想，由 $x^2+1$ 生成。
6. 非主理想的例子：在 $\mathbb{Z}[x]$ 中， $I=(2,x)=\{2f(x)+xg(x):f,g\in \mathbb{Z}[x]\}$ 是理想，但不是主理想（因为 2 和 $x$ 没有公因子，但它们生成的理想包含所有常数项为偶数的多项式）。
7. $\mathbb{Z}$ 的理想结构： $\mathbb{Z}$ 的每个理想都是主理想 $(n)$ （ $n\ge 0$ ）。 $\mathbb{Z}$ 的理想格： $(0)\supset (1)=\mathbb{Z}$ ， $(2)\supset (4)\supset (8)\supset \cdots$ ， $(2)\supset (6)\supset (12)\supset \cdots$ 。包含关系 $(a)\subseteq (b)$ 当且仅当 $b\mid a$ 。

定义 主理想

设 $R$ 为环， $a\in R$ 。集合 $aR=(a)=\{ar:r\in R\}$ 是 $R$ 的理想，称为由 $a$ 生成的主理想（principal ideal）。若环的每个理想都是主理想，则称该环为主理想环。

注 理想 vs 子环

理想不是子环。$2\mathbb{Z}$ 是 $\mathbb{Z}$ 的理想但不是子环（不含 1）。 $\mathbb{Z}$ 的子环只有 $\mathbb{Z}$ 本身（因为含 1 的加法子群必含所有整数）。

区分：

• 子环：对加法和乘法封闭，包含 1。
• 理想：对加法封闭，对任意元素的乘法封闭，但一般不含 1。

定义 商环

设 $I$ 是环 $R$ 的理想。商集 $R/I=\{a+I:a\in R\}$ 在自然加法和乘法下构成环，称为 $R$ 模 $I$ 的商环（quotient ring）。详见 [定理]。

商环

定理 商环的存在性

设 $I$ 是环 $R$ 的理想。则商集 $R/I=\{a+I:a\in R\}$ 在以下运算下构成环：

$$(a+I)+(b+I)=(a+b)+I$$$$(a+I)(b+I)=ab+I$$

单位元为 $1+I$ ，零元为 $0+I=I$ 。

证明

加法群： $I$ 是 $(R,+)$ 的子群，故 $R/I$ 是加法商群（[定理] 应用于加法群同态 $R\to R/I$ ）。

乘法良定义：设 $a+I=a^{\prime }+I$ ， $b+I=b^{\prime }+I$ ，即 $a^{\prime }-a\in I$ ， $b^{\prime }-b\in I$ 。则 $a^{\prime }{b}^{\prime }-ab=a^{\prime }(b^{\prime }-b)+(a^{\prime }-a)b\in I$ （因 $I$ 是理想， $b^{\prime }-b\in I$ 推出 $a^{\prime }(b^{\prime }-b)\in I$ ； $a^{\prime }-a\in I$ 推出 $(a^{\prime }-a)b\in I$ ）。故 $a^{\prime }{b}^{\prime }+I=ab+I$ 。✓

结合律：由 $R$ 中乘法结合律继承。✓

分配律：类似地由 $R$ 的分配律继承。✓

单位元： $(1+I)(a+I)=1\cdot a+I=a+I$ 。✓

例 商环的计算

1. $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$： $\mathbb{Z}/(n)=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ，这是最熟悉的商环。 $n=0$ 时 $\mathbb{Z}/(0)\cong \mathbb{Z}$ （不压缩）。 $n$ 是素数时 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 是域（见 [定理]）。

2. $\mathbb{R}[x]/(x^2+1)\cong \mathbb{C}$：在 $\mathbb{R}[x]$ 中模掉 $x^2+1$ 相当于强制 $x^2=-1$ ，即把 $x$ 变成虚数单位 $i$ 。映射 $\phi :\mathbb{R}[x]\to \mathbb{C}$ ， $\phi (f(x))=f(i)$ 是满同态， $\ker \phi =(x^2+1)$ （由 [定理]）。所以 $\mathbb{R}[x]/(x^2+1)\cong \mathbb{C}$ 。

3. $\mathbb{Q}[x]/(x^2-2)\cong \mathbb{Q}(\sqrt{2})$：模掉 $x^2-2$ 相当于强制 $x^2=2$ ，即把 $x$ 变成 $\sqrt{2}$ 。商环中元素形如 $a+bx$ （ $a,b\in \mathbb{Q}$ ），其中 $x^2=2$ 。

4. $\mathbb{Z}[x]/(x)\cong \mathbb{Z}$：模掉 $x$ 相当于令 $x=0$ ，所有多项式被求值为常数项。 $\ker (\text{求值映射 }f\mapsto f(0))=(x)$ 。

5. $\mathbb{Z}[i]/(2+i)\cong \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$： $(2+i)$ 是 $\mathbb{Z}[i]$ 中的极大理想，因为 $N(2+i)=5$ 是 $\mathbb{Z}$ 中的素数。 $\mathbb{Z}[i]/(2+i)\cong \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ （高斯整数模去一个 5 的素因子）。

误区："商环中 $1+I=0+I$ 意味着 $1=0$ "

不是！$1+I=0+I$ 当且仅当 $1\in I$ ，当且仅当 $I=R$ 。在非平凡商环 $R/I$ （ $I\ne R$ ）中， $1+I\ne 0+I$ 。特别地，在 $R/I$ 是域的情况下， $1+I$ 是乘法单位元， $0+I$ 是零元，它们不相等。

环同态

定义 环同态

环 $R$ 到环 $S$ 的映射 $\phi :R\to S$ 称为环同态，如果对所有 $a,b\in R$ ：

1. $\phi (a+b)=\phi (a)+\phi (b)$
2. $\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)$
3. $\phi (1_R)=1_S$

$\phi$ 的核$\ker \phi =\{r\in R:\phi (r)=0_S\}$ 。

例 环同态的典型例子

1. 包含映射$\iota :\mathbb{Z}\hookrightarrow \mathbb{Q}$ 。单同态， $\ker \iota =(0)$ 。

2. 求值映射${\mathrm{ev}}_a:R[x]\to R$ ， $f(x)\mapsto f(a)$ 。 $\ker ({\mathrm{ev}}_a)=(x-a)$ 。由第一同构定理， $R[x]/(x-a)\cong R$ 。

3. 自然投射$\pi :R\to R/I$ ， $r\mapsto r+I$ 。 $\ker \pi =I$ 。这是构造商环的基本方法。

4. 复共轭$\sigma :\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ ， $z\mapsto \bar{z}$ 。自同构， $\ker \sigma =(0)$ 。 $\sigma$ 在 Galois 理论 中扮演核心角色： $\mathrm{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})=\{id,\sigma \}\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 。

5. 模 $n$ 投射$\pi :\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ， $k\mapsto \bar{k}$ 。 $\ker \pi =n\mathbb{Z}$ 。

6. $\mathbb{Z}[x]\to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$， $f(x)\mapsto \overline{f(0)}$ （先模 $p$ 再求值于 0）。 $\ker =(p,x)=p\mathbb{Z}+x\mathbb{Z}[x]$ 。

引理

环同态的核是理想。

证明

$\ker \phi$ 是 $(R,+)$ 的子群（因为 $\phi$ 是加法群同态）。若 $a\in \ker \phi$ ， $r\in R$ ，则 $\phi (ra)=\phi (r)\phi (a)=\phi (r)\cdot 0=0$ ，故 $ra\in \ker \phi$ 。类似地 $ar\in \ker \phi$ 。故 $\ker \phi$ 是理想。

正规子群 ↔ 理想：类比总结

群论	环论
子群 $H\le G$	子环 $S\subseteq R$
正规子群$N⊴G$	理想$I⊴R$
商群 $G/N$	商环 $R/I$
同态的核 $\ker \phi ⊴G$	同态的核 $\ker \phi ⊴R$
第一同构定理： $G/\ker \phi \cong \mathrm{im}\phi$	环第一同构定理： $R/\ker \phi \cong \mathrm{im}\phi$
对应定理	中国剩余定理

关键区别：群的正规子群条件（ $gN{g}^{-1}=N$ ）看起来是"共轭不变"，而环的理想条件（ $rI\subseteq I$ ）是"乘法吸收"。两者都是保证商结构良定义的条件。

定理 环同态基本定理

设 $\phi :R\to S$ 是环同态。则

$$R/\ker \phi \cong \mathrm{im}\phi$$

更精确地， $\bar{\phi }(r+\ker \phi )=\phi (r)$ 是环同构。

证明

$\bar{\phi }$ 是良定义的加法群同构（[定理]）。还需验证乘法： $\bar{\phi }((a+K)(b+K))=\bar{\phi }(ab+K)=\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)=\bar{\phi }(a+K)\bar{\phi }(b+K)$ ，其中 $K=\ker \phi$ 。故 $\bar{\phi }$ 是环同构。

例 应用环同态基本定理

1. $\mathbb{R}[x]/(x^2+1)\cong \mathbb{C}$：求值映射 ${\mathrm{ev}}_i:\mathbb{R}[x]\to \mathbb{C}$ ， $f(x)\mapsto f(i)$ 。 $\ker ({\mathrm{ev}}_i)=(x^2+1)$ （最小多项式）。 ${\mathrm{ev}}_i$ 满射（ $a+bi={\mathrm{ev}}_i(a+bx)$ ）。由 [定理]， $\mathbb{R}[x]/(x^2+1)\cong \mathbb{C}$ 。

2. $\mathbb{Z}[x]/(x-3)\cong \mathbb{Z}$：求值映射 ${\mathrm{ev}}_3:\mathbb{Z}[x]\to \mathbb{Z}$ ， $f(x)\mapsto f(3)$ 。 $\ker ({\mathrm{ev}}_3)=(x-3)$ 。满射（ $n={\mathrm{ev}}_3(n)$ ）。

3. $\mathbb{Z}[i]/(1+i)\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$： $\phi :\mathbb{Z}[i]\to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ ， $\phi (a+bi)=\overline{a+b}(\mathrm{mod}2)$ 。 $\ker \phi =(1+i)$ （因为 $N(1+i)=2$ ）。

4. 这些例子展示了 Galois 理论的核心模式：域扩张 $K(\alpha )\cong K[x]/(f(x))$ ，其中 $f$ 是 $\alpha$ 的最小多项式（不可约）。商环构造给出了域扩张的代数实现。

理想的运算

命题 理想的交与和

设 $I$ ， $J$ 是环 $R$ 的理想。则：

1. $I\cap J$ 是 $R$ 的理想。
2. $I+J=\{a+b:a\in I,b\in J\}$ 是 $R$ 的理想。
3. $IJ=\{\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i:a_i\in I,b_i\in J,n\ge 1\}$ 是 $R$ 的理想。
4. $IJ\subseteq I\cap J\subseteq I+J$ 。

证明

(1) 对 $a,b\in I\cap J$ ， $a-b\in I\cap J$ 。对 $r\in R$ ， $a\in I\cap J$ ， $ra\in I$ （因 $I$ 是理想）且 $ra\in J$ （因 $J$ 是理想），故 $ra\in I\cap J$ 。

(2) 对 $a_1+b_1,a_2+b_2\in I+J$ ， $(a_1+b_1)-(a_2+b_2)=(a_1-a_2)+(b_1-b_2)\in I+J$ 。对 $r\in R$ ， $r(a+b)=ra+rb\in I+J$ 。

(3) 对 $IJ$ 中元素的和与 $r\in R$ 的乘积仍形如有限和 $\sum a_i{b}_i$ （ $a_i\in I$ ， $b_i\in J$ ），属于 $IJ$ 。

(4) 对 $ab\in IJ$ （ $a\in I,b\in J$ ）， $ab\in I$ （因 $I$ 是理想）且 $ab\in J$ （因 $J$ 是理想），故 $ab\in I\cap J$ 。 $I\cap J\subseteq I+J$ ：对 $c\in I\cap J$ ， $c=c+0\in I+J$ 。

例 理想运算的计算

1. $\mathbb{Z}$ 中： $I=2\mathbb{Z}$ ， $J=3\mathbb{Z}$ 。

   • $I\cap J=6\mathbb{Z}$ （同时被 2 和 3 整除 = 被 6 整除）
   • $I+J=\mathbb{Z}$ （因为 $3-2=1\in I+J$ ， $1$ 生成整个 $\mathbb{Z}$ ）
   • $IJ=6\mathbb{Z}$ （因为 $IJ\subseteq I\cap J$ ，且 $6=2\cdot 3\in IJ$ ，故 $6\mathbb{Z}\subseteq IJ$ ）
   • 注意： $I+J=\mathbb{Z}$ ，所以 $I$ 和 $J$ 互素。

2. $\mathbb{Z}$ 中： $I=4\mathbb{Z}$ ， $J=6\mathbb{Z}$ 。

   • $I\cap J=12\mathbb{Z}$ （ $\text{lcm}(4,6)=12$ ）
   • $I+J=2\mathbb{Z}$ （因为 $6-4=2\in I+J$ ， $2\mid 4$ 和 $2\mid 6$ ）
   • $IJ=24\mathbb{Z}$ （ $4\cdot 6=24$ ）
   • 注意： $IJ=24\mathbb{Z}⊊I\cap J=12\mathbb{Z}$ 。严格包含！

3. $\mathbb{Z}$ 中一般公式： $a\mathbb{Z}\cap b\mathbb{Z}=\text{lcm}(a,b)\mathbb{Z}$ ， $a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}=gcd(a,b)\mathbb{Z}$ 。

4. 多项式环中： $I=(x)$ ， $J=(x-1)$ 在 $\mathbb{Q}[x]$ 中。 $I\cap J=(x(x-1))$ ， $I+J=\mathbb{Q}[x]$ （ $gcd(x,x-1)=1$ ）。互素！

误区：" $IJ=I\cap J$ "

不一定！ 一般只有 $IJ\subseteq I\cap J$ ，严格包含可能发生。在 $\mathbb{Z}$ 中， $4\mathbb{Z}\cdot 6\mathbb{Z}=24\mathbb{Z}⊊12\mathbb{Z}=4\mathbb{Z}\cap 6\mathbb{Z}$ 。

$IJ=I\cap J$ 的充分条件是 $I+J=R$ （互素）。这在 §2.4 中国剩余定理 中有精确表述。

注

当 $I+J=R$ 时，称 $I$ 和 $J$互素。互素理想的性质是 §2.4 中国剩余定理 的核心。

极大理想与素理想

定义 极大理想

环 $R$ 的真理想 $\mathfrak{m}$ （即 $\mathfrak{m}\ne R$ ）称为极大理想，如果不存在真理想 $I$ 使得 $\mathfrak{m}⊊I⊊R$ 。

定义 素理想

环 $R$ 的真理想 $\mathfrak{p}$ 称为素理想，如果 $ab\in \mathfrak{p}$ 蕴含 $a\in \mathfrak{p}$ 或 $b\in \mathfrak{p}$ 。

定理 商环是域当且仅当理想极大

设 $R$ 是含幺交换环， $I$ 是 $R$ 的理想。则：

$$R/I\text{ 是域}⟺I\text{ 是极大理想}$$

证明

( $\Rightarrow$ ) 设 $R/I$ 是域。设 $I\subseteq J\subseteq R$ ， $J$ 是理想。若 $I\ne J$ ，取 $a\in J\setminus I$ ，则 $a+I\ne 0$ 在 $R/I$ 中。因 $R/I$ 是域，存在 $b+I$ 使 $(a+I)(b+I)=1+I$ ，即 $ab-1\in I\subseteq J$ 。故 $1=ab-(ab-1)\in J$ （因 $a\in J$ 且 $ab-1\in J$ ），从而 $J=R$ 。

( $\Leftarrow$ ) 设 $I$ 是极大理想。对 $a+I\ne 0$ （ $a\notin I$ ），理想 $(I,a)=I+Ra$ 严格包含 $I$ （因 $a\notin I$ ），由极大性 $I+Ra=R$ 。故存在 $b\in R$ ， $i\in I$ 使得 $ab+i=1$ ，即 $ab\equiv 1(\mathrm{mod}I)$ ， $(a+I)(b+I)=1+I$ 。故 $a+I$ 可逆。

定理 商环是整环当且仅当理想素

设 $R$ 是含幺交换环， $I$ 是 $R$ 的理想。则：

$$R/I\text{ 是整环}⟺I\text{ 是素理想}$$

证明

$R/I$ 是整环 $⟺$$R/I$ 无零因子 $⟺$$(a+I)(b+I)=0+I$ 蕴含 $a+I=0$ 或 $b+I=0$$⟺$$ab\in I$ 蕴含 $a\in I$ 或 $b\in I$$⟺$$I$ 是素理想。

推论

极大理想必是素理想。即：域必是整环。

证明

若 $\mathfrak{m}$ 极大， $R/\mathfrak{m}$ 是域。域中 $ab=0$ 且 $a\ne 0$ 推出 $b=a^{-1}\cdot 0=0$ ，故 $R/\mathfrak{m}$ 无零因子，是整环。由 [定理]， $\mathfrak{m}$ 是素理想。

误区："素理想必是极大理想"

不成立！ [推论] 只有单方向。反例：

1. $(0)$ 在 $\mathbb{Z}$ 中是素理想（ $\mathbb{Z}/(0)\cong \mathbb{Z}$ 是整环），但不是极大理想（ $(0)⊊(2)⊊\mathbb{Z}$ ）。

2. $(x)$ 在 $\mathbb{Z}[x]$ 中是素理想（ $\mathbb{Z}[x]/(x)\cong \mathbb{Z}$ 是整环），但不是极大理想（ $(x)⊊(2,x)$ ，而 $\mathbb{Z}[x]/(2,x)\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 才是域）。

直觉：素理想保证商环"没有零因子"，但可能"不够大"，商环可能还不是域。极大理想保证商环"已经尽可能压缩"，到达域。

例 极大理想与素理想的分类

1. $\mathbb{Z}$ 中：

   • 极大理想： $(p)$ ， $p$ 为素数。
   • 素理想： $(p)$ （ $p$ 为素数）和 $(0)$ 。
   • 既不是： $(6)=2\mathbb{Z}\cap 3\mathbb{Z}$ （因为 $6=2\cdot 3\in (6)$ ，但 $2\notin (6)$ ）。

2. $\mathbb{R}[x]$ 中：

   • 极大理想： $(f(x))$ ， $f$ 不可约。因为 $\mathbb{R}[x]$ 是 PID，不可约元生成极大理想。
   • 素理想： $(f(x))$ ， $f$ 不可约，和 $(0)$ 。
   • $(x^2+1)$ 极大（ $x^2+1$ 在 $\mathbb{R}$ 上不可约）， $\mathbb{R}[x]/(x^2+1)\cong \mathbb{C}$ 。
   • $(x^2-1)=(x-1)(x+1)$ 既不是素理想也不是极大理想（有零因子）。

3. $\mathbb{Q}[x]$ 中：

   • $(x^2-2)$ 极大（ $x^2-2$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约）， $\mathbb{Q}[x]/(x^2-2)\cong \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 。
   • $(x^2-4)=(x-2)(x+2)$ 不是素理想。

4. 一般域 $K$ 上的多项式环 $K[x]$：在 PID $K[x]$ 中，极大理想 = 素理想 = $(f(x))$ ， $f$ 不可约。这就是 §4 不可约多项式 的核心意义。

直觉

[定理] 和 [定理] 的结构是 Galois 理论的基石。在 §5 分裂域与正规扩张 中，域扩张 $K(\alpha )\cong K[x]/(f(x))$ 正是取多项式环模去不可约多项式的理想——不可约性保证极大性，从而商环是域。

更深层地，这个模式是：

• 不可约多项式$\to$极大理想$\to$域$\to$域扩张
• 这是代数数论和代数几何的基础构造。

常见误区

误区一：" $R/I$ 中 $I$ 是零元的"别名"

更准确地说， $I$ 作为 $R/I$ 的元素就是零元 $0+I$ 。 $R/I$ 中的零不是 $R$ 中的 $0$ ，而是等价类 $0+I=I$ 。这是一个集合（理想），在 $R/I$ 中扮演零的角色。

误区二："每个环都有极大理想"

在含幺交换环中，这由 Zorn 引理保证。但不含单位元的环可能没有极大理想（平凡环 $R=\{0\}$ 没有真理想）。本教程中所有环都含幺，所以极大理想总是存在。

误区三："理想一定不含 1"

只有当 $I\ne R$ 时， $I$ 不含 1。 $R$ 自身也是理想（平凡理想），它当然含 1。更精确的表述是：真理想不含 1。

自测问题

习题 自测

1. 理想的判定：以下哪些是 $\mathbb{Z}[x]$ 的理想？

   • (a) $I=\{f\in \mathbb{Z}[x]:f(0)=0\}$
   • (b) $J=\{f\in \mathbb{Z}[x]:f\text{ 的所有系数为偶数}\}$
   • (c) $K=\{f\in \mathbb{Z}[x]:f\text{ 的次数}\le 2\}$

2. 商环的元素： $\mathbb{Z}[x]/(x^2+1,3)$ 有多少个元素？（提示：先模 3，再模 $x^2+1$ 。）

3. 极大理想： $\mathbb{Z}[x]$ 中的理想 $(2,x)$ 是极大理想吗？（提示： $\mathbb{Z}[x]/(2,x)\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 。）

4. 理想运算：在 $\mathbb{Z}$ 中，计算 $12\mathbb{Z}+18\mathbb{Z}$ ， $12\mathbb{Z}\cap 18\mathbb{Z}$ ， $12\mathbb{Z}\cdot 18\mathbb{Z}$ 。

5. 概念辨析：为什么 $2\mathbb{Z}$ 是 $\mathbb{Z}$ 的理想但不是子环？

答案

1. (a) 是理想。(b) 是理想（偶数系数多项式集，在 $\mathbb{Z}[x]$ 中吸收乘法）。(c) 不是理想—— $x\in K$ ，但 $x\cdot x=x^2$ 的次数为 2，还在 $K$ 中；但 $x\cdot x^3=x^4$ 的次数为 4，不在 $K$ 中。更直接地， $1\in \mathbb{Z}[x]$ ， $1\cdot x^3=x^3\notin K$ （ $x^3$ 不在 $K$ 中），但关键是 $x^2\in K$ ， $x\in \mathbb{Z}[x]$ ， $x\cdot x^2=x^3\notin K$ 。

2. $\mathbb{Z}[x]/(2,x)\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 有 2 个元素。 $\mathbb{Z}[x]/(3,x^2+1)$ ：先模 3 得 $(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})[x]$ ，再模 $x^2+1$ 。 $x^2+1$ 在 $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ 上是否不可约？ $0^2+1=1$ ， $1^2+1=2$ ， $2^2+1=5=2$ 。无根，故不可约（二次多项式）。 $\mathbb{Z}[x]/(3,x^2+1)\cong {\mathbb{F}}_9$ ，有 9 个元素。

3. $\mathbb{Z}[x]/(2,x)\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ （将 2 和 $x$ 都设为 0）， $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 是域，所以 $(2,x)$ 是极大理想。✓

4. $12\mathbb{Z}+18\mathbb{Z}=gcd(12,18)\mathbb{Z}=6\mathbb{Z}$ 。 $12\mathbb{Z}\cap 18\mathbb{Z}=\text{lcm}(12,18)\mathbb{Z}=36\mathbb{Z}$ 。 $12\mathbb{Z}\cdot 18\mathbb{Z}=216\mathbb{Z}$ （ $12\cdot 18=216$ ）。注意 $IJ=216\mathbb{Z}⊊I\cap J=36\mathbb{Z}$ 。

5. $2\mathbb{Z}$ 不含 $1$ 。 $2\mathbb{Z}$ 对加法和乘法封闭（ $2a\cdot 2b=4ab\in 2\mathbb{Z}$ ），但不是子环，因为子环要求包含 $1$ ，而 $1\notin 2\mathbb{Z}$ 。

交叉引用

本节概念	关联章节	关联内容
理想	§1.3 正规子群	理想是正规子群的环论类比
商环	§1.3 商群	商环的加法群是商群
环同态基本定理	§1.4 第一同构定理	群同态基本定理的推广
极大理想	§3.1 域的定义	域没有非平凡理想
不可约多项式	§4.2 不可约性	不可约 ↔ 极大理想
域扩张 $K(\alpha )$	§5.1 分裂域	$K(\alpha )\cong K[x]/(f(x))$
中国剩余定理	§2.4 CRT	互素理想的应用

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本节要点

1. 理想是环中"与乘法兼容"的加法子群，对应群论中的正规子群。
2. 商环 $R/I$ 由模掉理想 $I$ 得到；[定理] 给出环同态基本定理。
3. 极大理想 ↔ 商环是域；素理想 ↔ 商环是整环。极大蕴含素。
4. 域扩张 $K(\alpha )\cong K[x]/(f(x))$ 利用的正是不可约多项式生成的极大理想。

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