§2.1 环的定义与基本性质

学习目标

1. 理解环作为"双运算"代数结构的公理化定义。
2. 能区分零因子、单位、幂零元等容易混淆的概念。
3. 掌握整环的定义及其在 Galois 理论中的核心作用。
4. 计算常见环的单位群。
5. 理解"含幺交换环"约定的原因和影响。

动机

群是具有一个运算的代数结构。但在数学中，我们经常遇到两个运算的结构：整数有加法和乘法，多项式也有加法和乘法，域的自同构可以做加法和乘法。环（Ring）正是这种"双运算"结构的抽象。

从群到环的思维跳跃

在群论中，我们只关注一个运算。但在域扩张理论中，我们需要同时处理"加法结构"和"乘法结构"。例如， $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 中的元素可以做加法（ $a+b\sqrt{2}$ ）也可以做乘法（ $(a+b\sqrt{2})(c+d\sqrt{2})=(ac+2bd)+(ad+bc)\sqrt{2}$ ）。环论就是为这种"双运算"场景提供的统一语言。

更重要的是，多项式环$F[x]$ 是连接环论和域论的桥梁。域扩张的构造（分裂域、代数闭包）都依赖于多项式环的性质。理解环的基本结构，是理解 Galois 理论代数基础的前提。

环的公理

定义 环

一个环是一个三元组 $(R,+,\cdot )$ ，其中 $R$ 是非空集合， $+$ 和 $\cdot$ 是 $R$ 上的二元运算（分别称为加法和乘法），满足以下公理：

(R1)$(R,+)$ 是交换群（单位元记为 $0$ ，称为零元； $a$ 的加法逆元记为 $-a$ ）。

(R2) 乘法结合律： $(ab)c=a(bc)$ 对所有 $a,b,c\in R$ 。

(R3) 分配律： $a(b+c)=ab+ac$ 和 $(b+c)a=ba+ca$ 对所有 $a,b,c\in R$ 。

直觉

环的公理并不要求乘法有单位元、交换律或消去律。这是一个非常宽松的定义。实际使用中，我们会根据需要施加额外条件。

例 环的基本例子

1. 整数环$(\mathbb{Z},+,\cdot )$ ：最经典的环，单位元为 1。
2. 多项式环$R[x]$ ：系数在环 $R$ 中的多项式的集合，按通常的多项式加法和乘法构成环。这是 Galois 理论中最重要的环之一。
3. 整数模 $n$$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ：陪集集合 $\{\bar{0},\bar{1},\dots ,\overline{n-1}\}$ ，模 $n$ 的加法和乘法。当 $n$ 是素数时，这是一个域。
4. 域上的矩阵环$M_n(F)$ ：非交换的典型例子（当 $n\ge 2$ ），单位元为单位矩阵 $I_n$ 。
5. 连续函数环$C[0,1]$ ：区间 $[0,1]$ 上实值连续函数的逐点加法和乘法。零元是零函数，单位元是常函数 $f(x)\equiv 1$ 。
6. 偶数环$2\mathbb{Z}$ ：不含幺的环。乘法结合律和分配律都满足，但不存在 $e\in 2\mathbb{Z}$ 使得 $e\cdot 2=2$ （因为 $1\notin 2\mathbb{Z}$ ）。这个例子说明，环的公理确实允许不含单位元的结构存在。
7. $n\times n$ 上三角矩阵环：所有上三角矩阵的集合，按矩阵加法和乘法构成非交换环。单位元为 $I_n$ 。

例子 6 的意义

$2\mathbb{Z}$ 是一个不含单位元的环，但它在代数中确实出现（例如在代数数论中，代数整数环的某些子结构可能不含单位元）。这提醒我们：虽然本教程默认使用含幺交换环，但不含幺的环也有其数学意义，不应该被遗忘。

约定

记号

• 若乘法还满足交换律，则称 $R$ 为交换环。
• 若存在元素 $1\in R$ 使得 $1\cdot a=a\cdot 1=a$ 对所有 $a$ 成立，则 $1$ 称为 $R$ 的单位元（或恒等元）， $(R,+,\cdot ,1)$ 称为含幺环。
• 本教程默认所有环都是含幺交换环，除非特别说明。

为什么默认"含幺交换"？

这不是任意的约定。原因有三：

1. Galois 理论的核心对象：域、多项式环、代数整数环都是含幺交换环。默认这个约定可以避免在每句话后面加"假设 $R$ 是含幺交换的"。
2. 范畴论的一致性：含幺环之间的同态要求保持单位元（ $f(1)=1$ ），这使得环的范畴具有更好的性质。
3. "无零因子"才有意义：消去律 $ab=ac\Rightarrow b=c$ 只在无零因子的环中成立，而这与整环的定义紧密相连。

如果你在其它文献中读到"环"，需要注意作者是否假定含幺、交换。

零因子与整环

定义 零因子

设 $R$ 为环。元素 $a\in R$ ， $a\ne 0$ ，称为 $R$ 的一个零因子，如果存在 $b\in R$ ， $b\ne 0$ ，使得 $ab=0$ 。

定义 整环

一个整环是含幺交换环，且没有零因子（即 $ab=0$ 蕴含 $a=0$ 或 $b=0$ ）。

为什么叫"整环"？

"整"来自"整数"（integral），"环"就是 ring。"整环"的字面意思是"像整数一样好的环"——整数环 $\mathbb{Z}$ 中， $ab=0$ 当且仅当 $a=0$ 或 $b=0$ 。整环就是满足这个"好"性质的环。

例 整环与非整环

1. $\mathbb{Z}$ 是整环。
2. $\mathbb{Q}$ ， $\mathbb{R}$ ， $\mathbb{C}$ 都是整环（事实上都是域）。
3. $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 不是整环： $\bar{2}\cdot \bar{3}=\bar{0}$ ， $\bar{2}$ 和 $\bar{3}$ 都是零因子。
4. $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ （ $p$ 素数）是整环（事实上是域）。
5. $R[x]$ 是整环当且仅当 $R$ 是整环。
6. $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ 不是整环： $\bar{2}\cdot \bar{2}=\bar{0}$ ， $\bar{2}$ 是零因子。
7. $M_2(\mathbb{R})$ 不是整环（而且不是交换环）： $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ 。

更多零因子的计算

在 $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ 中，哪些元素是零因子？

• $\bar{2}\cdot \bar{6}=\bar{0}$ ，所以 $\bar{2}$ 和 $\bar{6}$ 是零因子。
• $\bar{3}\cdot \bar{4}=\bar{0}$ ，所以 $\bar{3}$ 和 $\bar{4}$ 是零因子。
• $\bar{8}\cdot \bar{3}=\bar{0}$ ，所以 $\bar{8}$ 是零因子。
• 事实上， $\bar{a}$ 是零因子当且仅当 $gcd(a,12)>1$ 。

一般地，在 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 中， $\bar{a}$ 是零因子当且仅当 $gcd(a,n)>1$ 。 $\bar{a}$ 是单位当且仅当 $gcd(a,n)=1$ 。每个元素要么是零因子，要么是单位，要么是零（因为 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 是主理想环的商）。

定理 整环中的消去律

设 $R$ 是整环， $a,b,c\in R$ ， $a\ne 0$ 。若 $ab=ac$ ，则 $b=c$ 。

证明

$ab=ac$ 蕴含 $a(b-c)=0$ 。因为 $R$ 是整环且 $a\ne 0$ ，所以 $b-c=0$ ，即 $b=c$ 。

消去律的意义

消去律是整环最重要的性质之一。它说明在整环中，我们可以像在 $\mathbb{Z}$ 中一样进行"约分"。在非整环中（如 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ ）， $\bar{2}\cdot \bar{1}=\bar{2}\cdot \bar{4}$ 但 $\bar{1}\ne \bar{4}$ ，消去律失效。

消去律等价于无零因子（对含幺交换环）：若消去律成立且 $ab=0$ ， $a\ne 0$ ，则 $ab=a\cdot 0$ ，由消去律得 $b=0$ 。

单位与可逆元

定义 单位

环 $R$ 中的元素 $u$ 称为单位（或可逆元），如果存在 $v\in R$ 使得 $uv=1$ 。所有单位的集合记为 $R^{\ast }$ 或 $R^{\times }$ 。

命题

对任意含幺环 $R$ ， $(R^{\ast },\cdot )$ 构成一个群，称为 $R$ 的单位群。

证明

• $1\in R^{\ast }$ （因 $1\cdot 1=1$ ）。
• 若 $u,v\in R^{\ast }$ ，则 $(uv)(v^{-1}{u}^{-1})=1$ ，故 $uv\in R^{\ast }$ 。
• 若 $u\in R^{\ast }$ 有逆 $u^{-1}$ ，则 $(u^{-1}{)}^{-1}=u\in R^{\ast }$ 。
• 乘法结合律继承自 $R$ 。

例 单位群

1. ${\mathbb{Z}}^{\ast }=\{-1,1\}\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 。
2. ${\mathbb{Q}}^{\ast }=\mathbb{Q}\setminus \{0\}$ （域中每个非零元素都可逆）。
3. $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}{)}^{\ast }=\{\bar{a}:gcd(a,n)=1\}$ ， $|(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}{)}^{\ast }|=\phi (n)$ （Euler 函数）。
4. $F[x{]}^{\ast }=F^{\ast }$ （多项式环中的单位恰好是常数多项式中的非零常数）。这是因为 $\mathrm{deg}(fg)=\mathrm{deg}f+\mathrm{deg}g$ ，若 $fg=1$ 则 $\mathrm{deg}f=\mathrm{deg}g=0$ 。
5. $M_n(F{)}^{\ast }=G{L}_n(F)$ ：矩阵环的单位群就是一般线性群，即可逆矩阵的集合。

零因子 ≠ 幂零元 ≠ 非单位

这三个概念容易混淆，必须区分：

概念	定义	例子（在 $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ 中）
零因子	$a\ne 0$ ， $\mathrm{\exists }b\ne 0$ ， $ab=0$	$\bar{2},\bar{4},\bar{6}$
幂零元	$\mathrm{\exists }n>0$ ， $a^n=0$	$\bar{2}$ （ $2^3=8\equiv 0$ ）， $\bar{4}$ （ $4^2=16\equiv 0$ ）
非单位	$a$ 没有乘法逆元	$\bar{0},\bar{2},\bar{4},\bar{6}$

关系：幂零元 $\Rightarrow$ 零因子 $\Rightarrow$ 非单位，但反过来都不成立。

• $\bar{6}$ 在 $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ 中是零因子（ $6\cdot 4=24\equiv 0$ ）但不是幂零元（ $6^n\equiv 0(\mathrm{mod}8)$ 无解，因为 $6^2=36\equiv 4$ ， $6^3\equiv 0$ ... 等等， $6^3=216=27\times 8$ ，所以 ${\bar{6}}^3=\bar{0}$ 。实际上 $\bar{6}$ 也是幂零元）。
• 在 $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ 中， $\bar{6}$ 是零因子（ $6\cdot 2=12\equiv 0$ ）但不是幂零元（ $6^2=36\equiv 0(\mathrm{mod}12)$ ... $36=3\times 12$ ，所以 ${\bar{6}}^2=\bar{0}$ 。也是幂零元）。
• 更好的例子：在 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 中， $\bar{2}$ 是零因子但不是幂零元（ $2^n\mathrm{mod}6$ 循环： $2,4,2,4,\dots$ ，永远不为 $0$ ）。

域：零因子数为零的极端情况

域是整环的"极致"：不仅没有零因子，而且每个非零元素都是单位。整环到域的过渡，正是 Galois 理论的核心主题之一。我们将在第三章系统讨论域的结构。

零环与平凡环

定义 零环

只有一个元素的环 $R=\{0\}$ （加法和乘法都平凡）称为零环。零环是含幺环（ $1=0$ ），但不是整环（按本教程的约定，整环要求 $1\ne 0$ ）。

为什么排除零环？

如果允许 $1=0$ ，则 $R=\{0\}$ ，每个元素都是零。这个环太"平凡"了，几乎没有有用的性质。例如，在零环中， $R^{\ast }=\mathrm{\varnothing }$ （因为 $0=1$ 意味着 $0$ 是单位，但 $0$ 的"逆元"也是 $0$ ，这导致 $R^{\ast }=\{0\}$ ，但 $0$ 通常不被视为可逆元）。为了避免这种退化情况，整环要求 $1\ne 0$。

在域的定义中， $1\ne 0$ 也是隐含的假设。

子环

定义 子环

设 $R$ 是环。 $R$ 的非空子集 $S$ 称为 $R$ 的子环，如果 $S$ 对加法、乘法和取负封闭，且包含 $R$ 的单位元 $1$ 。

例 子环

1. $\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}$ ：整数环是 $\mathbb{Q}$ 的子环， $\mathbb{Q}$ 是 $\mathbb{R}$ 的子环，以此类推。
2. $\mathbb{Z}[i]=\{a+bi:a,b\in \mathbb{Z}\}$ （Gauss 整数环）是 $\mathbb{C}$ 的子环。
3. $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]=\{a+b\sqrt{2}:a,b\in \mathbb{Z}\}$ 是 $\mathbb{R}$ 的子环。
4. $2\mathbb{Z}$ 不是 $\mathbb{Z}$ 的子环（按本教程的约定），因为它不含 $1$ 。

子环检验

$S$ 是 $R$ 的子环当且仅当： $1\in S$ ，且对所有 $a,b\in S$ ， $a-b\in S$ 和 $ab\in S$ 。这比验证所有环公理更方便。

从环到域的阶梯

概念层级

理解环的各种"好"性质之间的层级关系，是学习代数的基础：

$$\text{环}\supset \text{含幺环}\supset \text{含幺交换环}\supset \text{整环}\supset \text{唯一分解整环 (UFD)}\supset \text{主理想整环 (PID)}\supset \text{欧几里得整环}\supset \text{域}$$

• 域：每个非零元素都有逆。例如 $\mathbb{Q}$ ， $\mathbb{R}$ ， $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 。
• 欧几里得整环：可以做"带余除法"。例如 $\mathbb{Z}$ ， $F[x]$ 。
• 主理想整环 (PID)：每个理想都是主理想。例如 $\mathbb{Z}$ ， $F[x]$ 。
• 唯一分解整环 (UFD)：元素可以唯一分解为不可约元的乘积。例如 $\mathbb{Z}$ ， $F[x]$ ， $\mathbb{Z}[x]$ （ $\mathbb{Z}[x]$ 是 UFD 但不是 PID）。

在 Galois 理论中，最常用的环是 $F[x]$ （多项式环）和 $\mathbb{Z}$ （整数环）。它们都是欧几里得整环，因此也是 PID 和 UFD。这些性质保证了不可约分解的唯一性和理想的良好结构。

详见：§2.3 多项式环、§4.1 多项式的一般理论。

环同态的初步

预告

环之间的映射（环同态）将在 §2.2 理想与商环 中系统讨论。这里只给出定义，为后续内容做准备。

定义 环同态

设 $R$ ， $S$ 是含幺环。映射 $\phi :R\to S$ 称为环同态，如果对所有 $a,b\in R$ ：

• $\phi (a+b)=\phi (a)+\phi (b)$
• $\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)$
• $\phi (1_R)=1_S$

注意：第三个条件（保持单位元）是本教程的约定。有些文献不要求环同态保持单位元。

例 环同态

1. 包含映射 $\mathbb{Z}\hookrightarrow \mathbb{Q}$ 是环同态。
2. 模 $n$ 投影 $\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ， $a\mapsto \bar{a}$ ，是环同态（核为 $n\mathbb{Z}$ ）。
3. 求值映射 $F[x]\to F$ ， $f(x)\mapsto f(\alpha )$ （对固定 $\alpha \in F$ ）是环同态。
4. 复共轭 $\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ ， $z\mapsto \bar{z}$ ，是环同态。

常见误区

误区一：整环一定有限

错误！$\mathbb{Z}$ ， $\mathbb{Q}$ ， $\mathbb{R}$ ， $\mathbb{Z}[x]$ 都是整环，都是无限的。有限整环一定是域（因为有限整环中每个非零元素都是单位——可通过考虑 $a,a^2,a^3,\dots$ 的有限性来证明），但整环本身不必有限。

误区二：环的乘法必须交换

在一般环中不需要！ 矩阵环 $M_n(F)$ （ $n\ge 2$ ）是典型的非交换环。本教程默认交换，但 Galois 理论中偶尔会遇到非交换的情况（例如，Galois 群本身可以嵌入矩阵群）。

误区三：含幺环中 $0$ 和 $1$ 一定不同

在整环和域中， $0\ne 1$ 是定义的一部分。 但在一般的含幺环中， $1=0$ 是可能的——此时环是零环 $\{0\}$ 。零环虽然"无聊"，但它在技术上满足含幺环的所有公理。

误区四：单位群一定是有限群

错误！${\mathbb{Q}}^{\ast }=\mathbb{Q}\setminus \{0\}$ 是无限群。 $F[x{]}^{\ast }=F^{\ast }$ 是有限的当且仅当 $F$ 是有限域。一般地，域的单位群就是域本身的乘法群，可以是无限的。

自测问题

习题 自测

1. 零因子检验：在 $\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}$ 中，列出所有零因子和所有单位。验证你的答案。

2. 整环判定： $\mathbb{Z}[x]/(x^2+1)$ 是否是整环？（提示： $\mathbb{Z}[x]/(x^2+1)\cong \mathbb{Z}[i]$ 。）

3. 单位群计算：计算 $(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}{)}^{\ast }$ 的阶和结构。它同构于什么群？

4. 消去律应用：在 $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ 中， $\bar{3}\cdot \bar{4}=\bar{3}\cdot \bar{8}$ 。为什么不能消去 $\bar{3}$ 得到 $\bar{4}=\bar{8}$ ？

5. 概念辨析：解释为什么"无零因子"和"每个非零元素可逆"是不同的条件。给出一个是整环但不是域的例子。

答案

1. $\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}$ 中， $gcd(a,15)>1$ 的元素是零因子： $\bar{3},\bar{5},\bar{6},\bar{9},\overline{10},\overline{12}$ 。单位是 $gcd(a,15)=1$ 的元素： $\bar{1},\bar{2},\bar{4},\bar{7},\bar{8},\overline{11},\overline{13},\overline{14}$ 。 $|(\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}{)}^{\ast }|=\phi (15)=8$ 。

2. 是整环。 $\mathbb{Z}[x]/(x^2+1)\cong \mathbb{Z}[i]$ （Gauss 整数环），这是 $\mathbb{C}$ 的子环，因此没有零因子。

3. $|(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}{)}^{\ast }|=\phi (7)=6$ 。因为 $7$ 是素数， $(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}{)}^{\ast }\cong \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ （循环群）。事实上， $\bar{3}$ 是一个生成元： $3^1=3,3^2=2,3^3=6,3^4=4,3^5=5,3^6=1$ 。

4. $\bar{3}$ 是零因子（ $3\cdot 5=15\equiv 0$ ），所以消去律不适用。 $3\cdot 4=12\equiv 0$ ， $3\cdot 8=24\equiv 0$ ，所以 $\bar{3}\cdot \bar{4}=\bar{3}\cdot \bar{8}=\bar{0}$ ，但 $\bar{4}\ne \bar{8}$ 。

5. 整环中每个非零元素可以消去（消去律），但不一定可以求逆。例如 $\mathbb{Z}$ 中， $2\ne 0$ 且 $2$ 不是零因子，但 $2$ 没有乘法逆元（ $\frac{1}{2}\notin \mathbb{Z}$ ）。所以 $\mathbb{Z}$ 是整环但不是域。

交叉引用

本节概念	关联章节	关联内容
环的定义	§2.2 理想与商环	理想是环的"正规子群类比"
整环	§2.3 多项式环	$R[x]$ 是整环当且仅当 $R$ 是整环
零因子	§2.4 中国剩余定理	CRT 通过分解零因子结构简化计算
单位群	§1.1 群的基本定义	单位群是环到群的桥梁
整环	§3.1 域的基本定义	域是整环的极致：每个非零元素都是单位
环同态	§2.2 理想与商环	理想是环同态的核
子环	§3.2 域的基本扩张	子域是域的子环
环的公理	§10.1 有限域的结构	有限域是有有限个元素的域

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本节要点

1. 环是具有加法和乘法的代数结构，加法构成交换群，乘法满足结合律和分配律。
2. 整环是没有零因子的含幺交换环。
3. 单位群 $R^{\ast }$ 由所有可逆元组成。
4. 域是每个非零元素都有逆的整环。
5. 零因子、幂零元、非单位是三个不同的概念，层级关系为：幂零元 $\Rightarrow$ 零因子 $\Rightarrow$ 非单位。

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