§3.2 域的基本扩张

本节学习目标

1. 理解域扩张的定义、记号和基本例子。
2. 掌握扩张次数$[L:K]$ 的含义——它是 $L$ 作为 $K$ -向量空间的维数。
3. 掌握塔定律$[L:F]=[L:K][K:F]$ 及其具体计算应用。
4. 理解有限扩张必为代数扩张，反之不成立。
5. 掌握单扩张$K(\alpha )$ 的定义，区分 $K(\alpha )$ 和 $K[\alpha ]$ 。

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3.2.1 域扩张

定义 3.2.1 设 $K$ 和 $L$ 是域。若 $K\subseteq L$ 且 $K$ 的域运算与 $L$ 的限制一致，则称 $L$ 是 $K$ 的一个扩张（extension），记为 $L/K$ 。等价地，存在单的域同态 $\iota :K\hookrightarrow L$ 。

注 记号约定

记号 $L/K$ 不表示"除法"，而是表示 $K$ 是 $L$ 的子域。在 Galois 理论中， $K$ 称为基域（base field）， $L$ 称为扩张域（extension field）。

注意：这个记号 $L/K$ 与群论中的商群 $G/N$ 不同——这里不是商，而是"over"（在……之上）。

直觉 为什么需要域扩张？

多项式方程的根往往不在我们"已有的"域中。例如 $x^2-2=0$ 在 $\mathbb{Q}$ 中无解，但在 $\mathbb{R}$ 中有解。域扩张的理论就是讨论如何系统地"扩大"域以容纳新的元素。

Galois 理论的核心问题可以重新表述为：给定一个多项式 $f\in K[x]$ ，需要多大的域扩张 $L/K$ 才能包含 $f$ 的所有根？ 这个扩张的结构（它的对称群）编码了关于 $f$ 的根的深刻信息。

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3.2.2 基本例子

例 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$

$\mathbb{Q}(\sqrt{2})=\{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in \mathbb{Q}\}$ 是 $\mathbb{Q}$ 的一个扩张。它是通过在 $\mathbb{Q}$ 中添加方程 $x^2-2=0$ 的一个根得到的。

验证它是域：对 $a+b\sqrt{2}\ne 0$ ，有

$$(a+b\sqrt{2}{)}^{-1}=\frac{a-b\sqrt{2}}{a^2-2b^2}$$

分母 $a^2-2b^2\ne 0$ （因为 $\sqrt{2}$ 是无理数， $a^2\ne 2b^2$ 对 $a,b\in \mathbb{Q}$ 不全为零时成立）。

例 有理函数域

设 $K$ 是域， $t$ 是一个未定元。则有理函数域 $K(t)$ 是 $K$ 的扩张。 $t$ 在 $K$ 上是超越的（见 [定义]），因此 $K(t)/K$ 是超越扩张。

例 $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$

实数域 $\mathbb{R}$ 是有理数域 $\mathbb{Q}$ 的扩张。但这个扩张"太大"了—— $\mathbb{R}$ 包含了太多 $\mathbb{Q}$ 上的超越元素（如 $\pi ,e$ ）。Galois 理论主要关注的是有限扩张和代数扩张。

例 有限域的扩张

设 $p$ 是素数， ${\mathbb{F}}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 。则：

• ${\mathbb{F}}_4={\mathbb{F}}_2(\alpha )$ ，其中 $\alpha$ 是 $x^2+x+1\in {\mathbb{F}}_2[x]$ 的根。 $[{\mathbb{F}}_4:{\mathbb{F}}_2]=2$ 。
• ${\mathbb{F}}_{p^n}$ 是 ${\mathbb{F}}_p$ 的 $n$ 次扩张（存在且唯一，见 §10.1）。

有限域的扩张是 Galois 理论最漂亮的应用之一——第 10 章 将深入讨论。

例 分圆域

设 ${\zeta }_n=e^{2\pi i/n}$ 是 $n$ 次本原单位根。则 $\mathbb{Q}({\zeta }_n)/\mathbb{Q}$ 称为分圆域（cyclotomic field）。例如：

• $\mathbb{Q}({\zeta }_3)=\mathbb{Q}(\omega )$ ，其中 $\omega =\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$ 。 $[\mathbb{Q}(\omega ):\mathbb{Q}]=2$ 。
• $\mathbb{Q}({\zeta }_5)$ ： $[\mathbb{Q}({\zeta }_5):\mathbb{Q}]=\varphi (5)=4$ 。
• 一般地， $[\mathbb{Q}({\zeta }_n):\mathbb{Q}]=\varphi (n)$ （Euler 函数）。

分圆域是 Galois 理论的经典例子（见 §7.1），其 Galois 群同构于 $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}{)}^{\times }$ 。

例 $p$ -进数域

对每个素数 $p$ ， $p$ -进数域 ${\mathbb{Q}}_p$ 是 $\mathbb{Q}$ 的完备化（关于 $p$ -进绝对值）。 ${\mathbb{Q}}_p/\mathbb{Q}$ 是无限扩张。 $p$ -进域的 Galois 理论是现代数论的核心工具之一（见 §11 章 和 §12 章）。

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3.2.3 扩张次数

定义 3.2.2 设 $L/K$ 是域扩张。将 $L$ 视为 $K$ 上的向量空间（通过限制 $L$ 的加法和 $K$ 的标量乘法），定义 $L$ 在 $K$ 上的次数（degree）为

$$[L:K]:={\dim }_{K}L$$

若 $[L:K]<\mathrm{\infty }$ ，则称 $L/K$ 是有限扩张（finite extension）；否则称 $L/K$ 是无限扩张。

定义 有限扩张

域扩张 $L/K$ 称为有限扩张（finite extension），若 $[L:K]={\dim }_{K}L<\mathrm{\infty }$ 。等价地， $L$ 作为 $K$ -向量空间是有限维的。

直觉 扩张次数是向量空间维数

扩张次数 $[L:K]$ 就是 $L$ 作为 $K$ -向量空间的维数。这意味着若 $[L:K]=n$ ，则存在 $L$ 中的元素 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ ，使得 $L$ 中的每个元素都可以唯一地写成 $K$ -线性组合：

$$L=K{\alpha }_1\oplus K{\alpha }_2\oplus \cdots \oplus K{\alpha }_n$$

这组 $\{{\alpha }_i\}$ 称为 $L$ 在 $K$ 上的基。

为什么 $L$ 是 $K$ -向量空间？ 因为 $L$ 是域，它有加法； $K\subseteq L$ ，所以 $K$ 的元素可以与 $L$ 的元素相乘。这给出了 $L$ 上的 $K$ -标量乘法，使 $L$ 成为 $K$ -向量空间。

扩张次数依赖于基域

$[L:K]$ 的值依赖于 $K$ 。同一个域 $L$ 对不同的基域 $K$ 有不同的扩张次数。例如：

• $[\mathbb{C}:\mathbb{R}]=2$
• $[\mathbb{C}:\mathbb{Q}]=\mathrm{\infty }$
• $[\mathbb{R}:\mathbb{Q}]=\mathrm{\infty }$

命题 3.2.3

1. $[\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}]=2$ 。
2. $[\mathbb{C}:\mathbb{R}]=2$ 。
3. $[\mathbb{R}:\mathbb{Q}]=\mathrm{\infty }$ 。

证明.

(1)$\mathbb{Q}(\sqrt{2})=\{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in \mathbb{Q}\}$ 。集合 $\{1,\sqrt{2}\}$ 是 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的基：任意 $a+b\sqrt{2}\in \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 可以唯一写成 $a\cdot 1+b\cdot \sqrt{2}$ 。线性无关性：若 $a+b\sqrt{2}=0$ （ $a,b\in \mathbb{Q}$ ），则 $\sqrt{2}=-a/b$ （若 $b\ne 0$ ），矛盾于 $\sqrt{2}$ 是无理数。因此 $a=b=0$ 。

(2)$\mathbb{C}=\{a+bi\mid a,b\in \mathbb{R}\}$ ，基为 $\{1,i\}$ ，故 $[\mathbb{C}:\mathbb{R}]=2$ 。

(3) 因为 $\pi$ 在 $\mathbb{Q}$ 上是超越的（Lindemann-Weierstrass 定理），集合 $\{1,\pi ,{\pi }^2,\dots \}$ 在 $\mathbb{Q}$ 上线性无关，故 $[\mathbb{R}:\mathbb{Q}]=\mathrm{\infty }$ 。 $◼$

注 次数为 1 的情形

$[L:K]=1$ 当且仅当 $L=K$ 。这是因为 $L$ 作为 $K$ -向量空间是一维的， $1$ 是基， $L=K\cdot 1=K$ 。

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3.2.4 塔定律

定理 3.2.4 （塔定律 / Tower Law）设 $F\subseteq K\subseteq L$ 是域的包含链。则

$$[L:F]=[L:K]\cdot [K:F]$$

更精确地说，若 $\{a_i{\}}_{i\in I}$ 是 $K$ 在 $F$ 上的基， $\{b_j{\}}_{j\in J}$ 是 $L$ 在 $K$ 上的基，则 $\{a_i{b}_j{\}}_{(i,j)\in I\times J}$ 是 $L$ 在 $F$ 上的基。

证明. 我们证明 $\{a_i{b}_j\}$ 构成 $L$ 在 $F$ 上的基。

张成性：设 $\ell \in L$ 。因为 $\{b_j\}$ 是 $L$ 在 $K$ 上的基，有 $\ell =\sum _j{k}_j{b}_j$ ，其中 $k_j\in K$ ，只有有限个非零。因为 $\{a_i\}$ 是 $K$ 在 $F$ 上的基，每个 $k_j=\sum _i{f}_{ij}{a}_i$ ，其中 $f_{ij}\in F$ 。代入得

$$\ell =\sum _j\left(\sum _i{f}_{ij}{a}_i\right)b_j=\sum _{i,j}{f}_{ij}(a_i{b}_j)$$

因此 $\{a_i{b}_j\}$ 张成 $L$ 作为 $F$ -向量空间。

线性无关性：设 $\sum _{i,j}{f}_{ij}{a}_i{b}_j=0$ （ $f_{ij}\in F$ ，只有有限个非零）。则

$$\sum _j\left(\sum _i{f}_{ij}{a}_i\right)b_j=0$$

由 $\{b_j\}$ 在 $K$ 上的线性无关性， $\sum _i{f}_{ij}{a}_i=0$ 对所有 $j$ 成立。由 $\{a_i\}$ 在 $F$ 上的线性无关性， $f_{ij}=0$ 对所有 $i,j$ 成立。 $◼$

推论 3.2.5 设 $F\subseteq K\subseteq L$ 。则 $[K:F]$ 整除 $[L:F]$ 。

直觉 塔定律的几何直觉

可以把域扩张想象成"搭积木"。从 $\mathbb{Q}$ 到 $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ 可以走两条路：

• $\mathbb{Q}\to \mathbb{Q}(\sqrt{2})\to \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ ：先添 $\sqrt{2}$ ，再添 $\sqrt{3}$
• $\mathbb{Q}\to \mathbb{Q}(\sqrt{3})\to \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ ：先添 $\sqrt{3}$ ，再添 $\sqrt{2}$

塔定律告诉我们，两条路的"步长乘积"相等： $2\times 2=4$ 。

下面的交互式组件展示了这些域扩张的格结构：

⟡域扩张图

显示 Galois 对应区域

塔定律的计算应用

例 二元根式的扩张次数

计算 $[\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}):\mathbb{Q}]$ 。

方法：利用塔定律。

$$[\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}):\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}):\mathbb{Q}(\sqrt{2})]\cdot [\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}]$$

已知 $[\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}]=2$ 。

需要求 $[\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}):\mathbb{Q}(\sqrt{2})]$ 。因为 $\sqrt{3}$ 在 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 上的极小多项式是 $x^2-3$ （在 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})[x]$ 中不可约——否则 $\sqrt{3}=a+b\sqrt{2}$ 导致矛盾，见 §3.3 的自测题）， $[\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}):\mathbb{Q}(\sqrt{2})]=2$ 。

$$[\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}):\mathbb{Q}]=2\times 2=4$$

$\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的基是 $\{1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6}\}$ 。

例 三次扩张的塔

计算 $[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega ):\mathbb{Q}]$ ，其中 $\omega =e^{2\pi i/3}$ 。

$[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}]=3$ （极小多项式 $x^3-2$ ，Eisenstein 不可约）。

$[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega ):\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})]=2$ （ $\omega$ 在 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})\subset \mathbb{R}$ 上的极小多项式是 $x^2+x+1$ ，因为 $\omega \notin \mathbb{R}$ ）。

$$[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega ):\mathbb{Q}]=3\times 2=6$$

这恰好等于 $x^3-2$ 的分裂域的次数（见 §5.1）。 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega )$ 包含 $x^3-2$ 的所有三个根 $\sqrt[3]{2},\omega \sqrt[3]{2},{\omega }^2\sqrt[3]{2}$ 。

例 更长的塔

计算 $[\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}):\mathbb{Q}]$ 。

逐次添加：

• $[\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}]=2$
• $[\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}):\mathbb{Q}(\sqrt{2})]=2$ （因为 $\sqrt{3}\notin \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ ）
• $[\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}):\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})]=2$ （因为 $\sqrt{5}\notin \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ ）

所以 $[\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}):\mathbb{Q}]=2\times 2\times 2=8$ 。

$\mathbb{Q}$ -基： $\{1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{6},\sqrt{10},\sqrt{15},\sqrt{30}\}$ 。

一般地，对不同的素数 $p_1,\dots ,p_n$ ， $[\mathbb{Q}(\sqrt{p_1},\dots ,\sqrt{p_n}):\mathbb{Q}]=2^n$ 。

塔定律不告诉我们中间域的次数是多少

塔定律说 $[L:F]=[L:K][K:F]$ 。如果我们知道其中两个，可以求第三个。但如果只知道 $[L:F]$ ，不能唯一确定 $[L:K]$ 和 $[K:F]$ ——它们只是需要满足乘积关系。

例如 $[L:\mathbb{Q}]=12$ 的扩张可以有 $[K:\mathbb{Q}]=2,3,4,6$ 的中间域，也可能没有某些次数的中间域。中间域的存在性和结构正是 Galois 对应（§8.1）要解决的问题。

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3.2.5 有限扩张的代数性

定理 3.2.6 设 $L/K$ 是有限扩张。则 $L$ 中的每个元素都在 $K$ 上是代数的。

证明. 设 $[L:K]=n$ ，取 $\alpha \in L$ 。考虑 $n+1$ 个元素 $1,\alpha ,{\alpha }^2,\dots ,{\alpha }^n$ 。它们都在 $L$ 中，而 $L$ 作为 $K$ -向量空间的维数是 $n$ 。因此这 $n+1$ 个元素在 $K$ 上线性相关：存在不全为零的 $a_0,a_1,\dots ,a_n\in K$ 使得

$$a_0+a_1\alpha +a_2{\alpha }^2+\cdots +a_n{\alpha }^n=0$$

这说明 $\alpha$ 是非零多项式 $f(X)=a_0+a_{1}X+\cdots +a_n{X}^n\in K[X]$ 的根，因此 $\alpha$ 在 $K$ 上是代数的。 $◼$

注 证明的直觉

证明的核心思想是鸽笼原理的线性代数版本：在 $n$ 维空间中， $n+1$ 个向量必然线性相关。 $\alpha$ 的幂 $1,\alpha ,{\alpha }^2,\dots ,{\alpha }^n$ 提供了 $n+1$ 个向量，它们的线性关系给出了 $\alpha$ 满足的多项式。

这个证明是非构造性的——它告诉我们存在这样的多项式，但不一定给出最小的那个（极小多项式）。见 §3.3。

反之不成立

代数扩张不一定是有限扩张。例如 $\bar{\mathbb{Q}}:=\{\alpha \in \mathbb{C}\mid \alpha \text{ 在 }\mathbb{Q}\text{ 上代数}\}$ 是 $\mathbb{Q}$ 的代数扩张，但 $[\bar{\mathbb{Q}}:\mathbb{Q}]=\mathrm{\infty }$ 。

直觉： $\bar{\mathbb{Q}}$ 包含了所有代数数—— $\sqrt{2},\sqrt[3]{2},\sqrt{2}+\sqrt{3},\dots$ ——有无穷多个"独立的"代数数，每个都在有限扩张中，但整体是无限的。

代数扩张与有限扩张的关系：

• 有限扩张 $\Rightarrow$ 代数扩张（本定理）
• 代数扩张 $\nRightarrow$ 有限扩张
• 有限生成的代数扩张 $\Rightarrow$ 有限扩张（命题 3.3.8 的推论）

这个区分在无限 Galois 理论（§11 章）中至关重要。

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3.2.6 单扩张

定义 3.2.7 设 $L/K$ 是域扩张， $\alpha \in L$ 。则 $K(\alpha )$ 表示 $L$ 中包含 $K$ 和 $\alpha$ 的最小子域，即由 $K$ 和 $\alpha$ 生成的 $L$ 的子域。 $K(\alpha )/K$ 称为单扩张（simple extension）。

定义 3.2.8 $K[\alpha ]=\{f(\alpha )\mid f(X)\in K[X]\}$ 是由 $K$ 和 $\alpha$ 生成的子环（不是域）。

直觉 $K(\alpha )$ 与 $K[\alpha ]$ 的区别

• $K[\alpha ]$ ：用 $\alpha$ 的多项式能构造出的所有元素。包含加、减、乘，但不一定包含除法。
• $K(\alpha )$ ：用 $K$ 和 $\alpha$ 经过四则运算能构造出的所有元素。包含加、减、乘、除。

关键定理（[定理]，见 §3.3）：

• 当 $\alpha$ 在 $K$ 上代数时， $K(\alpha )=K[\alpha ]$ ——多项式环已经是域。
• 当 $\alpha$ 在 $K$ 上超越时， $K(\alpha )\ne K[\alpha ]$ —— $K[\alpha ]\cong K[x]$ （多项式环，不是域）， $K(\alpha )\cong K(x)$ （有理函数域）。

例 $K(\sqrt{2})$

$\mathbb{Q}(\sqrt{2})=\mathbb{Q}[\sqrt{2}]=\{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in \mathbb{Q}\}$ 。因为 $\sqrt{2}$ 在 $\mathbb{Q}$ 上代数， $K(\alpha )=K[\alpha ]$ 。每个元素都有唯一的表示 $a+b\sqrt{2}$ 。

例 $K(t)$

$\mathbb{Q}(t)\ne \mathbb{Q}[t]$ 。 $\mathbb{Q}[t]$ 是多项式环（不是域）， $\mathbb{Q}(t)$ 是有理函数域。 $1/t\in \mathbb{Q}(t)$ 但 $1/t\notin \mathbb{Q}[t]$ 。

例 多元生成

$K(\alpha ,\beta )$ 表示由 $K$ 、 $\alpha$ 、 $\beta$ 生成的子域。它等于 $(K(\alpha ))(\beta )$ ——先添加 $\alpha$ ，再添加 $\beta$ 。

例如 $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})=\mathbb{Q}(\sqrt{2})(\sqrt{3})$ 。先在 $\mathbb{Q}$ 中添加 $\sqrt{2}$ 得到 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ ，再在 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 中添加 $\sqrt{3}$ 得到 $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ 。

常见误区

误区 1：混淆 $K(\alpha )$ 和 $K[\alpha ]$ 。

• $K(\alpha )$ 是域， $K[\alpha ]$ 是环。
• 当 $\alpha$ 代数时两者相等，当 $\alpha$ 超越时不同。
• 不要在 $\alpha$ 超越时假设 $K(\alpha )=K[\alpha ]$ 。

误区 2：以为 $[K(\alpha ):K]$ 总等于 $\alpha$ 满足的某个多项式的次数。

• 实际上 $[K(\alpha ):K]=\mathrm{deg}{m}_{\alpha }$ （极小多项式的次数，见 §3.3）。
• $\alpha$ 可能满足次数更低的多项式，也可能满足更高的——关键是极小多项式。

误区 3：以为添加顺序影响最终结果。

• $K(\alpha ,\beta )=K(\beta ,\alpha )$ ——最终域与添加顺序无关。
• 但中间域可能不同： $K(\alpha )$ 和 $K(\beta )$ 一般不同。

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本节知识检验

自测题：

1. 计算 $[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}]$ 。提示： $x^3-2$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约。

2. 设 $[L:K]=6$ ， $[M:K]=4$ ， $K\subseteq M\subseteq L$ 。这可能吗？为什么？

3. $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 和 $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ 是否相等？提示： $\sqrt{3}\notin \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 。

4. 计算 $[\mathbb{Q}(\sqrt{2},i):\mathbb{Q}]$ 。

5. 为什么 $[\mathbb{C}:\mathbb{Q}]=\mathrm{\infty }$ 而 $[\mathbb{C}:\mathbb{R}]=2$ ？这说明了什么？

答案要点：

1. $x^3-2$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约（Eisenstein， $p=2$ ）。 $\{1,\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{4}\}$ 是 $\mathbb{Q}$ -基。 $[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}]=3$ 。

2. 不可能。由塔定律 $[L:K]=[L:M][M:K]$ 。 $6=[L:M]\times 4$ ， $[L:M]=6/4=3/2$ ，不是正整数，矛盾。

3. 不相等。 $\sqrt{3}\notin \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ （否则 $\sqrt{3}=a+b\sqrt{2}$ ， $3=a^2+2b^2+2ab\sqrt{2}$ ， $ab=0$ ， $a^2+2b^2=3$ ， $a$ 或 $b$ 不是有理数，矛盾）。 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})\ne \mathbb{Q}(\sqrt{3})$ 。

4. $[\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}]=2$ 。 $i\notin \mathbb{Q}(\sqrt{2})\subset \mathbb{R}$ （ $i$ 是虚数）。 $[\mathbb{Q}(\sqrt{2},i):\mathbb{Q}(\sqrt{2})]=2$ 。 $[\mathbb{Q}(\sqrt{2},i):\mathbb{Q}]=4$ 。

5. $\mathbb{C}$ 中有 $\pi ,e$ 等超越数， $\{1,\pi ,{\pi }^2,\dots \}$ 在 $\mathbb{Q}$ 上线性无关。但 $\{1,i\}$ 就张成 $\mathbb{C}$ 作为 $\mathbb{R}$ -空间。这说明同一个域对不同的基域可以有完全不同的扩张次数。

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与其他章节的联系

概念	连接到	说明
域的定义	§3.1 域的定义	域是扩张的出发点
代数扩张 vs 超越扩张	§3.3 代数元与极小多项式	扩张的分类
塔定律应用	§5.1 分裂域	分裂域次数的计算
有限扩张	§4 多项式	不可约多项式决定扩张结构
代数闭包	§6.1	$\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}$ 是代数但无限的扩张
Galois 群	§7.1	$\mathrm{Gal}(L/K)$ 依赖域扩张
分圆域	§7.1	$\mathbb{Q}({\zeta }_n)/\mathbb{Q}$ 的 Galois 群
有限域	§10.1	${\mathbb{F}}_{p^n}/{\mathbb{F}}_p$

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