第六章 · 代数闭包

本章学习目标

1. 理解代数闭域的定义及其等价刻画（四种等价条件）。
2. 理解代数闭包为什么存在（Zorn 引理）且在同构意义下唯一（嵌入扩张引理）。
3. 理解代数基本定理的代数证明思路： $[\mathbb{C}:\mathbb{R}]=2$ + 奇数次多项式有实根。
4. 掌握代数闭包与分裂域、正规扩张之间的关系。
5. 理解为什么固定一个代数闭包是 Galois 理论的起点。

直觉

一个域 $K$ 的代数闭包$\overline{K}$ 是一个包含 $K$ 的代数扩张，其中每个非常数多项式都有根。直觉上，代数闭包就是把 $K$ "缺的根" 全部补上之后得到的最小的代数扩张。

代数闭包的存在性需要 Zorn 引理（等价于选择公理），这是整个代数理论中为数不多使用选择公理的地方。一旦有了代数闭包，Galois 理论的核心对象——Galois 群——就可以被精确定义。

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6.1 代数闭域

定义

定义 6.1.1（代数闭域）

设 $K$ 为域。若每个非常数多项式 $f\in K[x]$ 在 $K$ 中至少有一个根（即 $\mathrm{\exists }\alpha \in K,f(\alpha )=0$ ），则称 $K$ 为代数闭域（algebraically closed field）。

直觉 代数闭域是什么意思？

代数闭域是一个"什么都不缺"的域——多项式方程在里面总能找到解。

想象一个域 $K$ ，你不断构造新的扩域来"补根"： $x^2+1$ 在 $\mathbb{R}$ 中没根，补一个 $i$ 得到 $\mathbb{C}$ 。 $\mathbb{C}$ 里还需要再补根吗？不需要——这就是代数闭域的含义。

定理

定理 6.1.2（代数闭域的等价刻画）

设 $K$ 为域。以下条件等价：

(i)$K$ 是代数闭域。

(ii)$K[x]$ 中每个不可约多项式都是 $1$ 次的。

(iii)$K[x]$ 中每个非常数多项式都可以分解为一次因式的乘积。

(iv)$K$ 没有真代数扩张（即 $K$ 的每个代数扩张 $L$ 都满足 $L=K$ ）。

证明.

(i) $\Rightarrow$ (ii): 设 $p(x)\in K[x]$ 不可约且 $\mathrm{deg}p\ge 1$ 。由于 $K$ 代数闭， $p$ 在 $K$ 中有根 $\alpha$ 。由 [引理]， $p(x)=(x-\alpha )q(x)$ 。因为 $p$ 不可约， $q$ 必须是常数，故 $\mathrm{deg}p=1$ 。

(ii) $\Rightarrow$ (iii): 设 $f\in K[x]$ 为非常数多项式。对 $f$ 的次数进行归纳。 $\mathrm{deg}f=1$ 时显然。设 $\mathrm{deg}f=n>1$ 。 $f$ 在 $K[x]$ 中有不可约因式 $p(x)$ 。由条件 (ii)， $\mathrm{deg}p=1$ ，即 $p(x)=x-\alpha$ 对某个 $\alpha \in K$ 。于是 $f(x)=(x-\alpha )g(x)$ ， $\mathrm{deg}g=n-1$ 。由归纳假设 $g$ 可分解为一次因式之积，故 $f$ 亦然。

(iii) $\Rightarrow$ (iv): 设 $L/K$ 为代数扩张。任取 $\alpha \in L$ ，设其极小多项式为 $m_{\alpha }(x)\in K[x]$ 。由条件 (iii)， $m_{\alpha }$ 在 $K[x]$ 中完全分解为一次因式之积。因 $m_{\alpha }$ 不可约（ [定义] ），故 $\mathrm{deg}{m}_{\alpha }=1$ ，即 $\alpha \in K$ 。故 $L=K$ 。

(iv) $\Rightarrow$ (i): 设 $f\in K[x]$ 为非常数多项式。取 $f$ 的分裂域 $L$ （ [定理] ）， $L/K$ 是代数扩张。由条件 (iv)， $L=K$ 。因 $f$ 在分裂域 $L$ 中完全分解，故 $f$ 在 $K$ 中有根。 $◼$ :::

注 条件 (iv) 的深层含义

条件 (iv) 说"代数闭域没有真代数扩张"——这意味着代数闭域是代数扩张的"天花板"。你不可能通过添加代数元来得到比代数闭域更大的域。

这和 §5.2 中正规扩张的概念有深刻联系：正规扩张是那些"包含某个不可约多项式所有根"的扩张，代数闭域则是"包含所有多项式所有根"的扩张——它是正规性的极致。

例 代数闭域与非代数闭域

代数闭域：

• $\mathbb{C}$ 是代数闭域——这正是代数基本定理（ [定理] ）。每个多项式 $a_n{z}^n+\cdots +a_0\in \mathbb{C}[z]$ 都有 $n$ 个根（计重数）。
• $\bar{\mathbb{Q}}$ （代数数的全体）是代数闭域。它是 $\mathbb{Q}$ 的代数闭包。

非代数闭域：

• $\mathbb{R}$ 不是代数闭域： $x^2+1\in \mathbb{R}[x]$ 在 $\mathbb{R}$ 中无根。 $\mathbb{R}$ 的代数闭包是 $\mathbb{C}$ 。
• $\mathbb{Q}$ 不是代数闭域： $x^2-2\in \mathbb{Q}[x]$ 在 $\mathbb{Q}$ 中无根。 $\mathbb{Q}$ 的代数闭包是 $\bar{\mathbb{Q}}$ 。
• 有限域 ${\mathbb{F}}_p$ 不是代数闭域：可证 $x^p-x-1$ 在 ${\mathbb{F}}_p$ 中无根（因为它在 ${\mathbb{F}}_p$ 中不被 $x^p-x$ 整除）。 ${\mathbb{F}}_p$ 的代数闭包是 $\overline{{\mathbb{F}}_p}=\bigcup _{n\ge 1}{\mathbb{F}}_{p^n}$ 。
• $K(x)$ （有理函数域）不是代数闭域： $y^2-x$ 在 $K(x)$ 中无根。

代数闭域 vs 完备域 vs 完美域

这三个概念容易混淆：

概念	含义	例子
代数闭域	每个非常数多项式都有根	$\mathbb{C}$ , $\bar{\mathbb{Q}}$ , $\overline{{\mathbb{F}}_p}$
完备域（complete field）	关于某个绝对值完备	$\mathbb{R}$ , ${\mathbb{Q}}_p$ , $\mathbb{C}$
完美域（perfect field）	每个不可约多项式可分	特征 $0$ 的域, 有限域

$\mathbb{R}$ 是完备域但不是代数闭域。 $\bar{\mathbb{Q}}$ 是代数闭域但不是完备域（关于通常绝对值）。 $\mathbb{C}$ 三者都是。

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6.2 代数闭包的定义与存在性

定义

定义 6.2.1（代数闭包）

域 $K$ 的代数闭包（algebraic closure）是指一个域 $\overline{K}$ ，满足：

(i)$\overline{K}\supseteq K$ （ $\overline{K}$ 包含 $K$ 作为子域）；

(ii)$\overline{K}/K$ 是代数扩张（即 $\overline{K}$ 的每个元素都是 $K$ 上的代数元）；

(iii)$\overline{K}$ 是代数闭域。

直觉 代数闭包 vs 分裂域

分裂域是"刚好够用"的扩张： $K$ 上某族多项式的分裂域只包含这些多项式的根。

代数闭包是"全部都要"的扩张： $\overline{K}$ 包含 $K$ 上所有多项式的所有根。

类比：分裂域像是一间只放了你买的家具的房间；代数闭包像是把全世界的家具都搬进去的仓库。

代数闭包 ≠ 某个特定多项式的分裂域

常见误解：以为代数闭包是某个"万能多项式"的分裂域。不——代数闭包是 $K$ 上所有多项式的分裂域的"并集"。

单个多项式的分裂域是有限扩张，但代数闭包一般是无限扩张（除非 $K$ 本身代数闭）。

定理

定理 6.2.2（代数闭包的存在性）

每个域 $K$ 都存在代数闭包。

证明.

证明分为三步。核心思想是先构造一个极大代数扩张，然后证明它是代数闭的。

步骤 1：构造极大代数扩张。

令 $\mathcal{S}$ 为所有代数扩张 $L/K$ 的等价类构成的集合。对于两个代数扩张 $L_1/K$ 和 $L_2/K$ ，定义 $L_1\le L_2$ 当且仅当存在 $K$ -嵌入 $\sigma :L_1\hookrightarrow L_2$ 。

（更精确地：考虑所有二元组 $(L,\iota )$ ，其中 $L$ 是域， $\iota :K\hookrightarrow L$ 是域嵌入，且 $L$ 在 $\iota (K)$ 上是代数的。两个二元组 $(L_1,{\iota }_1)$ 和 $(L_2,{\iota }_2)$ 等价当且仅当存在域同构 $\varphi :L_1\stackrel{\sim }{\to }{L}_2$ 满足 $\varphi \circ {\iota }_1={\iota }_2$ 。）

我们在 $\mathcal{S}$ 上定义偏序： $(L_1,{\iota }_1)⪯(L_2,{\iota }_2)$ 当且仅当存在 $K$ -嵌入 $\sigma :L_1\hookrightarrow L_2$ （即 $\sigma$ 是域单同态且 $\sigma \circ {\iota }_1={\iota }_2{|}_{{\iota }_1(K)}$ ，更准确地 $\sigma \circ {\iota }_1={\iota }_2$ ）。

设 $\{(L_i,{\iota }_i){\}}_{i\in I}$ 为 $\mathcal{S}$ 中的全序链。构造并集（direct limit）

$$\overline{L}=\underset{i\in I}{\underrightarrow{\lim }}{L}_i$$

确切地说， $\overline{L}$ 是各 $L_i$ 的不交并对等价关系 $x\sim {\sigma }_{ij}(x)$ （ ${\sigma }_{ij}:L_i\hookrightarrow L_j$ 为链中的嵌入）取商。 $\overline{L}$ 自然地成为一个域，且每个 $L_i$ 都 $K$ -嵌入到 $\overline{L}$ 中。

$\overline{L}/K$ 是代数的： $\overline{L}$ 中的每个元素 $\alpha$ 来自某个 $L_i$ ，而 $L_i/K$ 是代数扩张，故 $\alpha$ 是 $K$ -代数元。

因此 $\overline{L}$ 是链的一个上界。由 Zorn 引理， $\mathcal{S}$ 中存在极大元 $(\overline{K},\iota )$ 。

步骤 2：极大元是代数闭的。

设 $\overline{K}$ 为 $\mathcal{S}$ 的极大元。我们要证明 $\overline{K}$ 是代数闭域。

反证法。设 $f(x)\in \overline{K}[x]$ 为非常数多项式，且在 $\overline{K}$ 中无根。设 $p(x)$ 为 $f$ 的一个不可约因式。由 [定理]，存在 $p(x)$ 在 $\overline{K}$ 上的分裂域 $L$ 。

因为 $p$ 不可约且 $\mathrm{deg}p\ge 2$ （否则 $p$ 在 $\overline{K}$ 中有根）， $L/\overline{K}$ 是非平凡的代数扩张（ [定理] ）。从而 $L/K$ 也是代数扩张：

$$K\subseteq \overline{K}\subseteq L,[L:K]=[L:\overline{K}][\overline{K}:K]<\mathrm{\infty }\text{ (或至少是代数的)}$$

具体地： $L/\overline{K}$ 代数且 $\overline{K}/K$ 代数，由 [定理]， $L/K$ 代数。

于是 $(L,{\iota }_L)\in \mathcal{S}$ 且 $(L,{\iota }_L)⊋(\overline{K},\iota )$ ，与 $\overline{K}$ 的极大性矛盾。

步骤 3：结论。

$\overline{K}$ 是 $K$ 的代数扩张（由构造），且是代数闭域（由步骤 2），故 $\overline{K}$ 是 $K$ 的代数闭包。 $◼$ :::

注 证明中的关键策略

证明的策略是**"先找极大，再证封闭"**：

1. Zorn 引理保证极大代数扩张存在。
2. 反证法证明极大元不能接受任何进一步的代数扩张，否则与极大性矛盾。
3. 不能接受进一步代数扩张 $\iff$ 代数闭（由 [定理] 的条件 (iv)）。

这是代数中使用 Zorn 引理的经典模式：先构造"最大的对象"，再证明它满足所需性质。

注

注 6.2.3（Zorn 引理的必要性）

代数闭包的存在性本质上依赖选择公理（Zorn 引理）。事实上，在 ZF（不含选择公理的集合论）中，可以构造模型使得 $\mathbb{R}$ 不存在代数闭包。这说明代数闭包的存在性不是纯粹的构造性结果。

另一方面，如果 $K$ 是可数域（例如 $K=\mathbb{Q}$ ），则可以通过逐步添加多项式的根来显式构造代数闭包，无需选择公理。方法：枚举 $K[x]$ 中的多项式 $f_1,f_2,f_3,\dots$ ，逐步构造 $K=K_0\subseteq K_1\subseteq K_2\subseteq \cdots$ ，其中 $K_{n+1}$ 是 $f_{n+1}$ 在 $K_n$ 上的分裂域。取 $\overline{K}=\bigcup _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{K}_n$ 。

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6.3 代数闭包的唯一性

定理

定理 6.3.1（代数闭包的唯一性）

设 ${\overline{K}}_1$ 和 ${\overline{K}}_2$ 都是域 $K$ 的代数闭包。则存在 $K$ -同构 $\sigma :{\overline{K}}_1\stackrel{\sim }{\to }{\overline{K}}_2$ （即 $\sigma$ 是域同构，且 $\sigma {|}_K={\mathrm{id}}_K$ ）。

证明.

证明使用 [引理] 的核心工具。思路是先在 ${\overline{K}}_1$ 和 ${\overline{K}}_2$ 之间构造一个 $K$ -嵌入，然后利用代数闭性证明它是满射。

步骤 1：构造 $K$ -嵌入。

由 [引理]：因 ${\overline{K}}_1/K$ 是代数扩张且 ${\overline{K}}_2$ 是代数闭域，存在 $K$ -嵌入

$$\sigma :{\overline{K}}_1\hookrightarrow {\overline{K}}_2.$$

步骤 2：证明 $\sigma$ 是满射。

设 $\beta \in {\overline{K}}_2$ 。因 ${\overline{K}}_2/K$ 是代数扩张， $\beta$ 在 $K$ 上的极小多项式 $m_{\beta }(x)\in K[x]$ 满足 $\mathrm{deg}{m}_{\beta }=n\ge 1$ 。

设 $m_{\beta }$ 在 ${\overline{K}}_1$ 中的根为 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ （因 ${\overline{K}}_1$ 代数闭， $m_{\beta }$ 在 ${\overline{K}}_1$ 中完全分解）。则

$$m_{\beta }(x)=\prod _{i=1}^n(x-{\alpha }_i)\text{在 }{\overline{K}}_1[x]\text{ 中}.$$

应用 $\sigma$ （在多项式上逐系数作用）：

$$m_{\beta }(x)=\sigma (m_{\beta }(x))=\prod _{i=1}^n(x-\sigma ({\alpha }_i))\text{在 }{\overline{K}}_2[x]\text{ 中}.$$

注意 $m_{\beta }$ 的系数都在 $K$ 中， $\sigma {|}_K=\mathrm{id}$ ，故 $\sigma (m_{\beta })=m_{\beta }$ 。

因此 $\sigma ({\alpha }_1),\dots ,\sigma ({\alpha }_n)$ 是 $m_{\beta }$ 在 ${\overline{K}}_2$ 中的全部根。但 $\beta$ 也是 $m_{\beta }$ 在 ${\overline{K}}_2$ 中的根，故 $\beta =\sigma ({\alpha }_i)$ 对某个 $i$ 。

故 $\beta \in \sigma ({\overline{K}}_1)$ ，即 $\sigma$ 是满射。 $◼$ :::

注 证明中的关键步骤

为什么 $\sigma$ 是满射？ 因为 ${\overline{K}}_1$ 代数闭，所以每个 $\beta \in {\overline{K}}_2$ 的极小多项式在 ${\overline{K}}_1$ 中完全分解。 $\sigma$ 把这些根映射到 ${\overline{K}}_2$ 中，而 ${\overline{K}}_2$ 中 $m_{\beta }$ 的根恰好就是 $\sigma ({\alpha }_i)$ 。所以 $\beta$ 一定被 $\sigma$ 覆盖。

类比：想象 ${\overline{K}}_1$ 和 ${\overline{K}}_2$ 是两栋"内容相同但布局不同"的大楼。 $\sigma$ 是一个搬家映射，把 ${\overline{K}}_1$ 的每个"家具"（代数元）搬到 ${\overline{K}}_2$ 的对应位置。唯一性说的是：不管你怎么搬，都能搬完（满射），而且不丢东西（单射）。

注

注 6.3.2（唯一性的精确含义）

定理说的"唯一"是指在同构意义下唯一：两个代数闭包之间至少存在一个 $K$ -同构，但一般不止一个。实际上， $K$ -同构的集合构成了一个自然的群——这正是 Galois 群的前身。

当我们固定一个代数闭包 $\overline{K}/K$ 之后，就可以定义 $K$ 的绝对 Galois 群：

$$\mathrm{Gal}(\overline{K}/K)=\{\sigma :\overline{K}\to \overline{K}\mid \sigma \text{ 是 }K\text{-自同构}\}.$$

这将是第七章的核心对象。

具体例子： $\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}$ 的 $K$ -自同构远不止一个。例如， $\sigma :\bar{\mathbb{Q}}\to \bar{\mathbb{Q}}$ 可以由 $\sqrt{2}\mapsto -\sqrt{2}$ 唯一确定（通过 [引理]）。 $\mathrm{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ 是一个不可数 profinite 群，其有限商群对应有限 Galois 扩张的 Galois 群。

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6.4 代数闭包与分裂域的关系

命题 代数闭包包含所有分裂域

设 $\overline{K}$ 是 $K$ 的代数闭包， $f\in K[x]$ 。则 $f$ 的分裂域 $L_f$ 可以（作为 $\overline{K}$ 的子域）实现为 $L_f\subseteq \overline{K}$ 。

特别地， $K$ 的每个有限正规扩张都包含在 $\overline{K}$ 中。

直觉 这为什么重要？

代数闭包是所有有限分裂域的"母空间"。当我们固定 $\overline{K}$ 后， $K$ 上的每个多项式的根都已经"存在"于 $\overline{K}$ 中。我们不需要为每个多项式单独构造分裂域—— $\overline{K}$ 统一包含了所有可能的根。

这为 Galois 理论提供了统一的舞台：所有有限 Galois 扩张都是 $\overline{K}$ 的子域，所有 Galois 群都是 $\mathrm{Gal}(\overline{K}/K)$ 的商群。

推论

设 $\overline{K}$ 是 $K$ 的代数闭包， $\alpha \in \overline{K}$ 。则 $\alpha$ 的极小多项式 $m_{\alpha }\in K[x]$ 在 $\overline{K}$ 中完全分解。因此 $\overline{K}$ 包含 $m_{\alpha }$ 的分裂域。

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6.5 代数基本定理

作为代数闭包理论的一个精彩应用，我们证明代数基本定理—— $\mathbb{C}$ 是代数闭域。

定理 代数基本定理

定理 6.5.1（代数基本定理）

复数域 $\mathbb{C}$ 是代数闭域。等价地，每个非常数多项式 $f(z)\in \mathbb{C}[z]$ 在 $\mathbb{C}$ 中至少有一个根。

注 代数基本定理的多种证明

代数基本定理有多种证明方法，各有特色：

1. 复分析证明（最简洁）：用 Liouville 定理——有界整函数是常数。
2. 拓扑证明：用环绕数或度数理论。
3. 代数证明（我们给出的）：仅需 $\mathbb{R}$ 的序性质和域扩张理论。
4. 构造性证明：对低次多项式有效，但对一般情况不可行。

我们的代数证明展示了域扩张理论的威力：知道 $[\mathbb{C}:\mathbb{R}]=2$ 和奇数次多项式有实根，就能推出 $\mathbb{C}$ 代数闭。

证明.

证明分两步：先利用分析证明每个奇数次实系数多项式在 $\mathbb{R}$ 中有根，然后利用域扩张理论推出 $\mathbb{C}$ 代数闭。

步骤 1： $\mathbb{R}$ 上奇数次多项式必有实根。

设 $f(x)=a_n{x}^n+\cdots +a_0\in \mathbb{R}[x]$ ， $n$ 为奇数， $a_n>0$ 。当 $x\to +\mathrm{\infty }$ 时 $f(x)\to +\mathrm{\infty }$ ，当 $x\to -\mathrm{\infty }$ 时 $f(x)\to -\mathrm{\infty }$ 。因 $f$ 连续（ $\mathbb{R}$ 上多项式的连续性），由中值定理（ $\mathbb{R}$ 的完备性）， $f$ 在 $\mathbb{R}$ 中必有零点。

步骤 2： $[\mathbb{C}:\mathbb{R}]=2$ 蕴含 $\mathbb{C}$ 代数闭。

首先注意 $\mathbb{C}=\mathbb{R}(i)$ ，其中 $i$ 是 $x^2+1$ 的根。故 $[\mathbb{C}:\mathbb{R}]=2$ 。

关键引理：$\mathbb{C}$ 没有 $2$ 次扩张。

证明. 设 $L/\mathbb{C}$ 为二次扩张。取 $\alpha \in L\setminus \mathbb{C}$ ，设其极小多项式为 $x^2+bx+c\in \mathbb{C}[x]$ 。判别式为 $\mathrm{\Delta }=b^2-4c\in \mathbb{C}$ 。

我们断言 $\mathrm{\Delta }$ 在 $\mathbb{C}$ 中有平方根。写 $\mathrm{\Delta }=r{e}^{i\theta }$ （ $r\ge 0$ ），则 $\sqrt{r}{e}^{i\theta /2}$ 就是 $\mathrm{\Delta }$ 的平方根。

故 $x^2+bx+c=(x-{\alpha }_1)(x-{\alpha }_2)$ 其中 ${\alpha }_1,{\alpha }_2=\frac{-b\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2}\in \mathbb{C}$ ，矛盾于 $x^2+bx+c$ 不可约。 $◻$

现在设 $f(z)\in \mathbb{C}[z]$ 为非常数多项式。 $f$ 的分裂域 $L$ 是 $\mathbb{C}$ 的有限扩张。因 $\mathbb{C}=\mathbb{R}(i)$ ， $L/\mathbb{R}$ 也是有限扩张。由本原元定理（在特征 $0$ 上成立）， $L=\mathbb{R}(\alpha )$ 对某个 $\alpha$ 。设 $[\mathbb{R}(\alpha ):\mathbb{R}]=m$ 。

断言： $m$ 必须是 $2$ 的幂。

设 $p$ 是 $m$ 的奇素因子。由 §3.2 塔定律， $L/\mathbb{R}$ 有中间域 $\mathbb{R}\subseteq E\subseteq L$ 满足 $[E:\mathbb{R}]=p$ 。取 $\beta \in E\setminus \mathbb{R}$ ，其极小多项式 $g(x)\in \mathbb{R}[x]$ 的次数为 $p$ （奇数）。由步骤 1， $g$ 在 $\mathbb{R}$ 中有根。但 $g$ 不可约且 $\mathrm{deg}g=p>1$ ，矛盾。所以 $m$ 没有奇素因子，即 $m=2^k$ 。

因 $[\mathbb{C}:\mathbb{R}]=2$ ， $[L:\mathbb{C}]=2^{k-1}$ 。若 $k\ge 2$ ，则 $[L:\mathbb{C}]\ge 2$ ， $L$ 包含 $\mathbb{C}$ 的二次扩张——但由上面的关键引理， $\mathbb{C}$ 没有二次扩张。

故 $k=1$ ， $[L:\mathbb{C}]=1$ ，即 $L=\mathbb{C}$ 。故 $f$ 的所有根都在 $\mathbb{C}$ 中。 $◼$ :::

注 证明的结构

证明的核心是一个双层论证：

1. 分析层（步骤 1）：利用 $\mathbb{R}$ 的序性质和完备性，证明奇数次实多项式有实根。
2. 代数层（步骤 2）：利用 $[\mathbb{C}:\mathbb{R}]=2$ 和域扩张理论，将 $\mathbb{C}$ 的代数闭性归结为"没有偶数次扩张"，进而归结为"没有二次扩张"。

这体现了代数与分析的深刻互动：代数基本定理虽然陈述的是代数事实，但其证明不可避免地使用了分析（ $\mathbb{R}$ 的完备性）。

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6.6 代数闭包的基数

命题

命题 6.6.1

设 $K$ 为无限域。则 $K$ 的代数闭包 $\overline{K}$ 满足 $|\overline{K}|=|K|$ 。

特别地， $|\bar{\mathbb{Q}}|={\mathrm{\aleph }}_0$ （可数）， $|\overline{\mathbb{R}}|=|\mathbb{C}|=2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$ （连续统）。

证明.

$K[x]$ 是可数个多项式的集合。若 $K$ 可数，则 $K[x]$ 也可数， $K[x]$ 中的每个多项式有有限个根，故 $K$ 的代数闭包是可数个有限集的并，仍可数。故 $|\overline{K}|\le {\mathrm{\aleph }}_0=|K|$ 。

若 $K$ 不可数，令 $\kappa =|K|$ 。则 $|K[x]|=\kappa$ （多项式个数等于基数），每个多项式最多 $\mathrm{deg}f$ 个根，故 $|\overline{K}|\le \kappa \cdot {\mathrm{\aleph }}_0=\kappa =|K|$ 。

另一方面 $\overline{K}\supseteq K$ ，故 $|\overline{K}|\ge |K|$ 。 $◼$ :::

注

注 6.6.2（ $\overline{\mathbb{Q}}$ 的特殊地位）

$\bar{\mathbb{Q}}$ 是 $\mathbb{Q}$ 的代数闭包，它是可数的，且是代数数（即 $\mathbb{Q}$ 上代数元）的全体。 $\bar{\mathbb{Q}}\cap \mathbb{R}$ 是实代数数的集合。这两个域在代数数论中有核心地位。

注意 $\bar{\mathbb{Q}}⊊\mathbb{C}$ （因为 $\pi ,e\in \mathbb{C}$ 但 $\pi ,e\notin \bar{\mathbb{Q}}$ ——它们是超越数），但 $\mathbb{C}$ 是 $\bar{\mathbb{Q}}$ 的超越扩张。

具体例子： $\bar{\mathbb{Q}}$ 包含：

• 所有有理数 $\mathbb{Q}$
• $\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5},\dots$ （二次代数数）
• $\sqrt[3]{2}$ （三次代数数）
• 黄金比例 $\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ （二次代数数）
• ${\zeta }_n=e^{2\pi i/n}$ （ $n$ 次单位根，分圆多项式的根）
• $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ （极小多项式 $X^4-10X^2+1$ 的根）

但 $\bar{\mathbb{Q}}$不包含 $\pi ,e,\ln 2,2^{\sqrt{2}}$ 等超越数。

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常见误区

误区一：代数闭包是有限扩张

$\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}$ 是无限代数扩张。 $[\bar{\mathbb{Q}}:\mathbb{Q}]=\mathrm{\infty }$ 。

代数闭包虽然是代数扩张（每个元素都是代数元），但一般不是有限扩张。只有代数闭域自身的代数闭包才是有限扩张（即自身）。

误区二：代数闭包的构造是唯一的

定理 6.3.1 说的是代数闭包在同构意义下唯一，不是作为集合唯一。

例如， $\mathbb{C}$ 和 $\bar{\mathbb{Q}}\cup \{\text{超越数}\}$ 都是 $\mathbb{R}$ 的代数闭包（ $\mathbb{C}$ 是）。但 $\mathbb{Q}$ 的代数闭包 $\bar{\mathbb{Q}}$ 和另一个实现 ${\bar{\mathbb{Q}}}^{\prime }$ 之间可能有多个 $K$ -同构——这些同构构成了 Galois 群。

误区三：代数闭域一定是不可数的

$\overline{{\mathbb{F}}_p}$ （ ${\mathbb{F}}_p$ 的代数闭包）是可数的。它是 $\bigcup _{n\ge 1}{\mathbb{F}}_{p^n}$ ，每个 ${\mathbb{F}}_{p^n}$ 是有限集，可数个有限集的并仍可数。

事实上，无限域的代数闭包的基数等于原域的基数（命题 6.6.1）。

误区四：代数闭包 = 所有多项式的分裂域

严格来说，代数闭包不是某个多项式的分裂域（它是所有多项式的分裂域的"并集"）。

但可以说：代数闭包是 $K$ 上所有多项式分裂域的正向极限（direct limit）。这个极限不是有限扩张。

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本章知识检验

自测题：

1. 用四种等价条件分别说明为什么 $\mathbb{R}$ 不是代数闭域。

2. 设 $\overline{\mathbb{Q}}$ 是 $\mathbb{Q}$ 的代数闭包。证明 $\overline{\mathbb{Q}}\cap \mathbb{R}$ （实代数数的集合）不是代数闭域。

3. 证明：若 $L/K$ 是有限扩张且 $L$ 是代数闭域，则 $K$ 也是代数闭域，且 $L=K$ 。

4. 设 $\overline{K}$ 是 $K$ 的代数闭包， $L/K$ 是有限扩张。证明存在 $K$ -嵌入 $L\hookrightarrow \overline{K}$ 。

5. 解释为什么代数基本定理的证明不能避免使用分析（ $\mathbb{R}$ 的完备性）。

答案要点：

1. (i) $x^2+1$ 在 $\mathbb{R}$ 中无根。(ii) $x^2+1$ 在 $\mathbb{R}[x]$ 中不可约且 $\mathrm{deg}=2>1$ 。(iii) $x^2+1$ 不能分解为一次因式。(iv) $\mathbb{C}/\mathbb{R}$ 是 $\mathbb{R}$ 的真代数扩张。

2. $x^2+1\in (\overline{\mathbb{Q}}\cap \mathbb{R})[x]$ 有根 $i$ ，但 $i\notin \mathbb{R}$ 。

3. $K$ 有真代数扩张 $L$ ，则 $L$ 中有不在 $K$ 中的元素 $\alpha$ 。 $\alpha$ 的极小多项式 $f\in K[x]$ 在 $L$ 中有根 $\alpha$ 。 $f$ 不可约， $\mathrm{deg}f\ge 2$ （否则 $\alpha \in K$ ）。所以 $K$ 有不可约多项式次数 $>1$ ， $K$ 不代数闭。但 $L$ 代数闭， $L/K$ 代数，由条件 (iv) $L=K$ 。

4. 由 [引理]： $L/K$ 代数且 $\overline{K}$ 代数闭，故存在 $K$ -嵌入 $L\hookrightarrow \overline{K}$ 。

5. 纯代数论证只能处理代数扩张。 $[\mathbb{C}:\mathbb{R}]=2$ 是代数事实，但"奇数次实多项式有实根"需要 $\mathbb{R}$ 的完备性（中值定理）。在不完备的有序域（如 $\mathbb{Q}$ ）中，奇数次多项式不一定有根。

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与其他章节的联系

概念	连接到	说明
分裂域	§5.1	代数闭包是所有分裂域的"母空间"
正规扩张	§5.2	代数闭域 = 没有真正规代数扩张
正规闭包	正规闭包	代数闭包是正规闭包的极限
可分性	§4.3	代数闭包中讨论完美域
Galois 群	§7	$\mathrm{Gal}(\overline{K}/K)$ 的定义需要先固定代数闭包
Galois 对应	§8	有限 Galois 扩张都是 $\overline{K}$ 的子域
无限 Galois 理论	§11	$\mathrm{Gal}(\overline{K}/K)$ 是无限 Galois 理论的核心

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