§5.2 正规扩张

本节学习目标

1. 掌握正规扩张的定义：不可约多项式有一根 ⇒ 所有根都在扩张中。
2. 理解正规性的四种等价刻画（定义 / 嵌入像封闭 / 分裂域 / 极小多项式判据），以及每种刻画的适用场景。
3. 掌握正规性的判定方法：通过极小多项式分裂性来验证。
4. 理解正规性在域塔中的传递规律： $M/K$ 正规 $\Rightarrow$$M/L$ 正规，但反之不成立。
5. 掌握正规闭包的构造：给定非正规扩张，如何"补全"为正规扩张。
6. 理解正规性在 Galois 理论中的核心地位。

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什么是正规扩张？

§5.1 证明了每个多项式都有分裂域。反过来的问题是：给定一个域扩张 $L/K$ ，它是否恰好是某个多项式的分裂域？

这个"反过来的问题"引出了正规扩张的概念。正规扩张在 Galois 理论中扮演核心角色：Galois 对应（第八章）只在正规扩张上完美运作。

直觉 为什么要关心正规性？

正规性是一个扩张是否"对称"的衡量标准。考虑以下对比：

• $\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$ ：极小多项式 $X^2-2$ 的两个根 $\pm \sqrt{2}$ 都在扩张中。"对称性完整"。✓
• $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q}$ ：极小多项式 $X^3-2$ 有三个根，但只有 $\sqrt[3]{2}$ 在扩张中。 $\omega \sqrt[3]{2}$ 和 ${\omega }^2\sqrt[3]{2}$ 缺失。"对称性不完整"。✗

正规性要求所有共轭元素都在扩张中——这正是 Galois 理论能够建立"对称群 ↔ 子域"对应的条件。

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正规扩张的定义

定义 正规扩张

设 $L/K$ 是代数扩张。我们说 $L/K$ 是正规的（normal），如果满足以下条件：

对每个在 $K$ 上不可约的多项式 $f\in K[X]$ ，若 $f$ 在 $L$ 中至少有一个根，则 $f$ 在 $L$ 上完全分裂。

等价地说： $L$ 对 $K$ 上的不可约多项式是"封闭的"——只要一个不可约多项式在 $L$ 中有一根，它的所有根都在 $L$ 中。

正规性是扩张的性质，不是域的性质

正规性是扩张 $L/K$ 的性质，不是域 $L$ 本身的性质。同一个域 $L$ 对不同的基域 $K$ 可能有不同的正规性。

例子： $L=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 。

• $L/\mathbb{Q}$ 是正规扩张 ✓（ $X^2-2$ 的两个根 $\pm \sqrt{2}$ 都在 $L$ 中）。
• $L/\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})$ 不是正规扩张 ✗（因为 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})\subset \mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})$ ，这不是一个扩张……实际上 $L\subset \mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})$ ）。

更准确的例子： $L=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 。

• $L/\mathbb{Q}$ 不是正规扩张 ✗（ $X^3-2$ 有共轭根不在 $L$ 中）。
• $L/L$ 当然是正规扩张 ✓（平凡扩张总是正规的）。

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正规扩张的例子

例 正规扩张

例 1.$\mathbb{C}/\mathbb{R}$ 是正规扩张。 $\mathbb{R}[X]$ 中的不可约多项式要么是一次（根已含于 $\mathbb{R}$ ），要么是二次（ $X^2+bX+c$ ， $\mathrm{\Delta }<0$ ）。 $\mathbb{C}$ 包含所有二次不可约多项式的根（ $(-b\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }})/2$ ），且完全分裂。✓

例 2.$\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})/\mathbb{Q}$ 是正规扩张。极小多项式为 $(X^2-2)(X^2-3)$ ，根为 $\pm \sqrt{2},\pm \sqrt{3}$ ，全在 $L$ 中。✓

例 3.$\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})/\mathbb{Q}$ 也是正规扩张！这是因为 $\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ （可以验证 $\sqrt{2}=\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3}{)}^3-9(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{2}$ ）。虽然生成元不同，但扩域相同。✓

例 4. 分圆扩张$\mathbb{Q}({\zeta }_n)/\mathbb{Q}$ 总是正规扩张，其中 ${\zeta }_n=e^{2\pi i/n}$ 。 ${\zeta }_n$ 的极小多项式是分圆多项式 ${\mathrm{\Phi }}_n(X)$ ，它的所有根是 ${\zeta }_n^k$ （ $k$ 与 $n$ 互素），都在 $\mathbb{Q}({\zeta }_n)$ 中。✓

例 5. 有限域的扩张${\mathbb{F}}_{q^n}/{\mathbb{F}}_q$ 总是正规扩张。 ${\mathbb{F}}_{q^n}$ 是 $X^{q^n}-X$ 的分裂域。✓

例 6. 任意分裂域都是正规扩张（这由定义直接得出）。

例 重要的非正规扩张

例 1.$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q}$不是正规扩张。 $f(X)=X^3-2$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约，且在 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 中有根 $\sqrt[3]{2}$ 。但 $f$ 的另外两个根 $\omega \sqrt[3]{2}$ 和 ${\omega }^2\sqrt[3]{2}$ 不在 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})\subset \mathbb{R}$ 中。所以 $f$ 不在 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 上分裂。✗

例 2.$\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})/\mathbb{Q}$不是正规扩张。 $X^4-2$ 的根 $\pm \sqrt[4]{2},\pm i\sqrt[4]{2}$ 中， $i\sqrt[4]{2}\notin \mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})\subset \mathbb{R}$ 。

$f$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的分裂域是 $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2},i)$ （§5.1 例），维度为 $8$ ，大于 $[\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2}):\mathbb{Q}]=4$ 。

例 3.$\mathbb{Q}(\sqrt{1+\sqrt{2}})/\mathbb{Q}$ 不是正规扩张。 $\alpha =\sqrt{1+\sqrt{2}}$ 的极小多项式是 $X^4-2X^2-1$ （可通过 ${\alpha }^2=1+\sqrt{2}$ 推出 ${\alpha }^2-1=\sqrt{2}$ ，再平方得 $({\alpha }^2-1{)}^2=2$ ）。这个多项式的四个根为 $\pm \sqrt{1\pm \sqrt{2}}$ ，其中 $\sqrt{1-\sqrt{2}}$ 是虚数，不在实扩张中。✗

注 为什么非正规扩张也重要？

非正规扩张在 Galois 理论中不是"废品"，而是有重要角色：

1. 正规闭包：每个非正规扩张 $L/K$ 都有正规闭包 $N/K$ （[定理]）， $N$ 是包含 $L$ 的最小正规扩张。
2. Galois 群的部分信息：即使 $L/K$ 不正规， $\mathrm{Aut}(L/K)$ 仍有意义，只是不能直接使用 Galois 对应。
3. 构造正规扩张的跳板：很多正规扩张是从非正规扩张逐步"补全"得到的。

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正规性的等价刻画

正规性有多种等价表述，每一种都有其用途。

定义 $K$ -嵌入

设 $L/K$ 是代数扩张， $\overline{K}$ 是 $K$ 的一个代数闭包（或任何包含 $L$ 的扩域）。 $K$ -嵌入是指域嵌入 $\sigma :L\hookrightarrow \overline{K}$ ，满足 $\sigma {|}_K={\mathrm{id}}_K$ 。

直觉 为什么需要 $K$ -嵌入？

$K$ -嵌入 $\sigma :L\hookrightarrow \overline{K}$ 是 $L$ 到 $\overline{K}$ 的"对称操作"——它固定 $K$ 的每个元素，但可以"重排" $L$ 中不在 $K$ 里的元素。

例如， $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 到 $\overline{\mathbb{Q}}$ 有两个 $K$ -嵌入：恒等映射和 $\sqrt{2}\mapsto -\sqrt{2}$ 。这两个嵌入的像都是 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ ，反映了 $X^2-2$ 的两个根的对称性。

对于 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ ，有三个 $K$ -嵌入（对应 $X^3-2$ 的三个根），但它们的像各不相同：只有恒等映射的像在 $\mathbb{R}$ 中。这反映了 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q}$ 的非正规性。

定理 正规性的等价条件

设 $L/K$ 是有限代数扩张。则以下条件等价：

(N1)$L/K$ 是正规扩张。

(N2) 对每个 $K$ -嵌入 $\sigma :L\hookrightarrow \overline{K}$ （其中 $\overline{K}$ 是 $K$ 的代数闭包），有 $\sigma (L)=L$ 。

(N3)$L$ 是 $K$ 上某族多项式的分裂域。

(N4) 设 $L=K({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$ ， $f_i$ 是 ${\alpha }_i$ 在 $K$ 上的极小多项式。则 $L$ 是 $f=f_1{f}_2\cdots f_n$ 在 $K$ 上的分裂域。

注 各条件的意义

• (N1) 是定义：从多项式角度出发。
• (N2) 是嵌入判据：从对称性角度出发。" $L$ 对所有 $K$ -嵌入封闭"——这是最便于验证的条件之一。
• (N3) 是分裂域判据：揭示了正规扩张的本质就是分裂域。
• (N4) 是构造性判据：给出了如何找到 $L$ 所分裂的多项式——取所有生成元的极小多项式之积。

证明. 我们依次证明 (N4) $\Rightarrow$ (N3) $\Rightarrow$ (N1) $\Rightarrow$ (N2) $\Rightarrow$ (N4)。

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(N4) $\Rightarrow$ (N3)： 若 $L$ 是 $f=f_1\cdots f_n$ 的分裂域，则 $L$ 是 $K$ 上多项式族 $\{f_1,\dots ,f_n\}$ 的分裂域。取 $\mathcal{F}=\{f\}$ 即得 (N3)。✓

(N3) $\Rightarrow$ (N1)： 设 $L$ 是某族多项式 $\mathcal{F}\subseteq K[X]$ 的分裂域。设 $g\in K[X]$ 不可约且在 $L$ 中有根 $\alpha$ 。我们要证 $g$ 在 $L$ 上完全分裂。

取 ${\mathcal{F}}^{\prime }=\mathcal{F}\cup \{g\}$ 。设 $L^{\prime }$ 是 ${\mathcal{F}}^{\prime }$ 的分裂域。则 $L\subseteq L^{\prime }$ ，且 $\alpha \in L$ 。另一方面， $L^{\prime }$ 由 $L$ 和 $g$ 的所有根生成。

设 $\beta$ 是 $g$ 在 $L^{\prime }$ 中的任意根。因为 $g$ 在 $K$ 上不可约且 $\alpha ,\beta$ 都是 $g$ 的根，由 §3.3，存在 $K$ -同构 $\tau :K(\alpha )\stackrel{\sim }{\to }K(\beta )$ ，满足 $\tau (\alpha )=\beta$ ， $\tau {|}_K={\mathrm{id}}_K$ 。

因为 $L$ 是 $\mathcal{F}$ 的分裂域，可以将 $\tau$ 从 $K(\alpha )$ 扩张到 $L^{\prime }$ 的某个子域（更精确地， $\tau$ 扩张为 $L$ 到 $L^{\prime }$ 的一个 $K$ -嵌入 $\tilde{\tau }:L\hookrightarrow L^{\prime }$ ）。由 [引理] 和 $L$ 是 $\mathcal{F}$ 的分裂域， $\tilde{\tau }(L)\subseteq L^{\prime }$ 。

因为 $\alpha \in L$ ， $\tilde{\tau }(\alpha )=\beta$ ，所以 $\beta \in \tilde{\tau }(L)$ 。我们需要证明 $\beta \in L$ 。

关键观察： $\tilde{\tau }$ 是 $K$ -嵌入 $\sigma :L\hookrightarrow L^{\prime }\subseteq \overline{K}$ 。若我们能证明所有 $K$ -嵌入 $L\hookrightarrow \overline{K}$ 的像等于 $L$ ，则 $\beta \in L$ 。

这正是 (N2) 的内容。但我们可以直接证明 (N1) 如下：

设 ${\beta }_1,\dots ,{\beta }_r$ 是 $g$ 在 $\overline{K}$ 中的所有根。每个 ${\beta }_j$ 都是 $g$ 的根， $g$ 在 $K$ 上不可约。所以对每个 $j$ ，存在 $K$ -同构 ${\tau }_j:K(\alpha )\stackrel{\sim }{\to }K({\beta }_j)$ ，将 $\alpha$ 映射到 ${\beta }_j$ 。每个 ${\tau }_j$ 都可以扩张为某个 $K$ -嵌入 ${\sigma }_j:L\hookrightarrow \overline{K}$ 。

$L$ 作为 $\mathcal{F}$ 的分裂域，是某个多项式 $h\in K[X]$ 的分裂域。设 $h$ 在 $L$ 中的根为 ${\gamma }_1,\dots ,{\gamma }_s$ 。则 $L=K({\gamma }_1,\dots ,{\gamma }_s)$ 。

对每个 $K$ -嵌入 ${\sigma }_j:L\hookrightarrow \overline{K}$ ， ${\sigma }_j({\gamma }_i)$ 是 $h$ 的某个根。所以 ${\sigma }_j$ 将 $h$ 的根集合 $\{{\gamma }_1,\dots ,{\gamma }_s\}$ 置换。因此 ${\sigma }_j(L)=K({\sigma }_j({\gamma }_1),\dots ,{\sigma }_j({\gamma }_s))\subseteq K({\gamma }_1,\dots ,{\gamma }_s)=L$ （因为 $h$ 的所有根在 $L$ 中）。更精确地， ${\sigma }_j$ 在 $h$ 的根集上诱导一个置换，所以 ${\sigma }_j(L)=L$ 。

特别地， ${\beta }_j={\sigma }_j(\alpha )\in {\sigma }_j(L)=L$ 。所以 $g$ 的所有根都在 $L$ 中， $g$ 在 $L$ 上分裂。✓

(N1) $\Rightarrow$ (N2)： 设 $L/K$ 是正规扩张。设 $\sigma :L\hookrightarrow \overline{K}$ 是 $K$ -嵌入。设 $\alpha \in L$ ， $f=m_{\alpha ,K}$ 是 $\alpha$ 在 $K$ 上的极小多项式。则 $\sigma (\alpha )$ 也是 $f$ 的根（因为 $\sigma {|}_K={\mathrm{id}}_K$ 保持 $f$ 的系数不变）。由正规性， $f$ 在 $L$ 上完全分裂， $f$ 的所有根都在 $L$ 中。所以 $\sigma (\alpha )\in L$ 。

这证明了 $\sigma (L)\subseteq L$ 。因为 $L/K$ 是有限扩张， $\sigma$ 是单射， $[L:K]=[\sigma (L):K]$ 。所以 $\sigma (L)\subseteq L$ 且 $[\sigma (L):K]=[L:K]$ 迫使 $\sigma (L)=L$ 。✓

(N2) $\Rightarrow$ (N4)： 设 $L=K({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$ 。设 $f_i$ 是 ${\alpha }_i$ 在 $K$ 上的极小多项式。设 $f=f_1\cdots f_n$ 。设 $L_f$ 是 $f$ 在 $K$ 上的分裂域。则 $L\subseteq L_f$ （因为每个 ${\alpha }_i$ 都是 $f$ 的根）。

我们要证 $L=L_f$ ，即 $f$ 在 $L$ 上已完全分裂。

设 $\beta$ 是某个 $f_i$ 的根。则存在 $K$ -同构 $\tau :K({\alpha }_i)\stackrel{\sim }{\to }K(\beta )$ ，满足 $\tau ({\alpha }_i)=\beta$ 。由 [引理]， $\tau$ 可以扩张为 $K$ -嵌入 $\sigma :L\hookrightarrow \overline{K}$ 。由 (N2)， $\sigma (L)=L$ 。所以 $\beta =\sigma ({\alpha }_i)\in L$ 。

这证明了每个 $f_i$ 的所有根都在 $L$ 中，即 $f$ 在 $L$ 上完全分裂。所以 $L_f\subseteq L$ ，从而 $L_f=L$ 。✓

这完成了 (N4) $\Rightarrow$ (N3) $\Rightarrow$ (N1) $\Rightarrow$ (N2) $\Rightarrow$ (N4) 的循环。 $◼$

证明中的关键洞察

(N3) ⇒ (N1) 的证明是最微妙的一步。关键洞察是：如果 $L$ 是 $\mathcal{F}$ 的分裂域，那么 $L$ 的 $K$ -嵌入只能置换$\mathcal{F}$ 中多项式的根——因此嵌入的像一定包含在 $L$ 中。

这个论证依赖于分裂域的刚性：分裂域由多项式的根生成，而 $K$ -嵌入只能重排这些根（保持它们满足相同的多项式关系）。这种"刚性"正是正规扩张的核心特征。

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正规性的判定

推论 判定正规性

要判定 $L=K({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)/K$ 是否正规：

1. 计算每个 ${\alpha }_i$ 的极小多项式 $f_i\in K[X]$ 。
2. 计算 $f=f_1\cdots f_n$ 。
3. 判定 $f$ 是否在 $L$ 上完全分裂（即 $f$ 的所有根是否都在 $L$ 中）。

若 $f$ 在 $L$ 上分裂，则 $L/K$ 正规；否则不正规。

特别地：若 $L=K(\alpha )$ 是单扩张，则只需检查 $\alpha$ 的极小多项式 $f$ 是否在 $L$ 上分裂。

例 用判定法验证正规性

验证 $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})/\mathbb{Q}$ 是正规扩张。

${\alpha }_1=\sqrt{2}$ ，极小多项式 $f_1=X^2-2$ ，根为 $\pm \sqrt{2}$ 。 ${\alpha }_2=\sqrt{3}$ ，极小多项式 $f_2=X^2-3$ ，根为 $\pm \sqrt{3}$ 。

$f=f_1{f}_2=(X^2-2)(X^2-3)$ 。根为 $\pm \sqrt{2},\pm \sqrt{3}$ 。

$\sqrt{2}\in L$ ✓； $-\sqrt{2}\in L$ ✓； $\sqrt{3}\in L$ ✓； $-\sqrt{3}\in L$ ✓。

所有根都在 $L$ 中，所以 $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})/\mathbb{Q}$ 是正规扩张。✓

事实上， $L$ 是 $f=(X^2-2)(X^2-3)$ 的分裂域。

例 非正规扩张的验证

验证 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q}$ 不是正规扩张。

$\alpha =\sqrt[3]{2}$ ，极小多项式 $f=X^3-2$ ，根为 $\sqrt[3]{2},\omega \sqrt[3]{2},{\omega }^2\sqrt[3]{2}$ 。

$\sqrt[3]{2}\in L$ ✓。但 $\omega \sqrt[3]{2}\notin \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})\subset \mathbb{R}$ 。✗

$f$ 不在 $L$ 上完全分裂，所以 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q}$ 不是正规扩张。

注意： $\mathrm{Aut}(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q})=\{1\}$ （只有恒等自同构），而 $[L:\mathbb{Q}]=3$ 。 $|\mathrm{Aut}|<[L:K]$ ，这是非正规扩张的典型信号。

例 分圆扩张的正规性

验证 $\mathbb{Q}({\zeta }_5)/\mathbb{Q}$ 是正规扩张。

${\zeta }_5=e^{2\pi i/5}$ ，极小多项式是分圆多项式 ${\mathrm{\Phi }}_5(X)=X^4+X^3+X^2+X+1$ 。

${\mathrm{\Phi }}_5$ 的四个根是 ${\zeta }_5,{\zeta }_5^2,{\zeta }_5^3,{\zeta }_5^4$ 。因为 $\mathbb{Q}({\zeta }_5)$ 在乘法下封闭， ${\zeta }_5^k\in \mathbb{Q}({\zeta }_5)$ 对所有 $k$ 。所以 ${\mathrm{\Phi }}_5$ 在 $\mathbb{Q}({\zeta }_5)$ 上完全分裂。✓

$[\mathbb{Q}({\zeta }_5):\mathbb{Q}]=\mathrm{deg}{\mathrm{\Phi }}_5=4=\varphi (5)$ 。

$|\mathrm{Aut}(\mathbb{Q}({\zeta }_5)/\mathbb{Q})|=4$ （由 ${\sigma }_k:{\zeta }_5\mapsto {\zeta }_5^k$ 给出， $k=1,2,3,4$ ）。

$|\mathrm{Aut}|=[L:K]$ ，这是正规扩张的典型信号。

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正规扩张的塔性质

注 正规性在塔中不传递

正规性在一般域塔中不传递： $L/K$ 和 $M/L$ 都正规 $\nRightarrow$$M/K$ 正规。

反例： 取 $K=\mathbb{Q}$ ， $L=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ ， $M=\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})$ 。

• $L/K$ 正规 ✓（ $L$ 是 $X^2-2$ 的分裂域）。
• $M/L$ 正规 ✓（ $M$ 是 $X^2-\sqrt{2}$ 在 $L$ 上的分裂域）。
• $M/K$不正规 ✗（ $X^4-2$ 不在 $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})$ 上分裂）。

为什么会失败？ 因为 $M/L$ 正规性只保证 $L$ 上的不可约多项式在 $M$ 中分裂。但 $M/K$ 正规性需要 $K$ 上的不可约多项式在 $M$ 中分裂。 $X^4-2$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约，但它在 $L$ 上可约（ $X^4-2=(X^2-\sqrt{2})(X^2+\sqrt{2})$ ），所以 $M/L$ 正规性的条件和 $M/K$ 正规性的条件涉及不同的多项式集合。

命题 正规扩张塔的正确判据

设 $K\subseteq L\subseteq M$ 。

(a) 若 $M/K$ 正规，则 $M/L$ 正规。

(b) 若 $L/K$ 和 $M/K$ 都正规，则 $M/L$ 正规。

证明.

(a) 设 $M/K$ 正规， $f\in L[X]$ 不可约且在 $M$ 中有根 $\alpha$ 。设 $g$ 是 $\alpha$ 在 $K$ 上的极小多项式。则 $f\mid g$ （在 $L[X]$ 中，因为 $g(\alpha )=0$ 且 $f$ 是 $L$ 上的极小多项式）。由 $M/K$ 正规， $g$ 在 $M$ 上完全分裂。因为 $f\mid g$ ， $f$ 的每个根也是 $g$ 的根，从而在 $M$ 中。所以 $f$ 在 $M$ 上完全分裂。✓

(b) 这是 (a) 的直接推论（ $M/K$ 正规 $\Rightarrow$$M/L$ 正规），因为 $L/K$ 正规的条件在 (a) 的证明中没有用到。

或者直接证明：设 $f\in L[X]$ 不可约且在 $M$ 中有根 $\alpha$ 。设 $\sigma :M\hookrightarrow \overline{K}$ 是 $L$ -嵌入。则 $\sigma {|}_K={\mathrm{id}}_K$ （因为 $L$ -嵌入自动是 $K$ -嵌入）。由 $M/K$ 正规， $\sigma (M)=M$ 。所以 $M/L$ 是正规的。 $◼$

塔性质的"方向"

正确： $M/K$ 正规 $\Rightarrow$$M/L$ 正规（大扩张正规则子扩张正规）。"正规性向下传递"。

错误： $L/K$ 正规 $\Rightarrow$$M/K$ 正规。"正规性不向上传递"。

也错误： $L/K$ 和 $M/L$ 都正规 $\Rightarrow$$M/K$ 正规。"正规性不逐级传递"。

记忆法：正规性是"分裂"的性质。如果大扩张 $M/K$ 已经分裂了所有 $K$ -多项式，那么它当然也分裂了所有 $L$ -多项式（ $L$ -多项式的根也是 $K$ -多项式的根的子集）。反之不行。

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正规闭包

定义 正规闭包

设 $L/K$ 是有限代数扩张。 $L$ 在 $K$ 上的正规闭包（normal closure）是包含 $L$ 的最小正规扩张 $N/K$ 。即：

1. $N/K$ 是正规扩张；
2. $L\subseteq N$ ；
3. 若 $N^{\prime }/K$ 是正规扩张且 $L\subseteq N^{\prime }$ ，则 $N\subseteq N^{\prime }$ 。

直觉 正规闭包的直觉

正规闭包是把 $L/K$ "补全"为正规扩张的最小操作。它把 $L$ 中所有元素的共轭根都"补进去"。

类比：如果 $L$ 是画了一半的圆，正规闭包就是补全成完整的圆。

定理 正规闭包的存在与构造

设 $L=K({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$ 是有限代数扩张， $f_i$ 是 ${\alpha }_i$ 在 $K$ 上的极小多项式。则 $f=f_1\cdots f_n$ 在 $K$ 上的分裂域是 $L$ 在 $K$ 上的正规闭包。

证明. 设 $N$ 是 $f=f_1\cdots f_n$ 的分裂域。则 $L\subseteq N$ （因为每个 ${\alpha }_i$ 是 $f_i$ 的根，从而是 $f$ 的根）。

$N/K$ 正规： $N$ 是多项式 $f$ 的分裂域，所以 $N/K$ 正规。

最小性：设 $N^{\prime }/K$ 是正规扩张且 $L\subseteq N^{\prime }$ 。对每个 $i$ ， ${\alpha }_i\in N^{\prime }$ ， $f_i$ 不可约且在 $N^{\prime }$ 中有根 ${\alpha }_i$ 。由正规性， $f_i$ 在 $N^{\prime }$ 上完全分裂。所以 $f$ 在 $N^{\prime }$ 上完全分裂， $f$ 的所有根都在 $N^{\prime }$ 中。因此 $N\subseteq N^{\prime }$ 。 $◼$

例 正规闭包的计算

例 1.$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q}$ 的正规闭包是 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega )$ ，它是 $X^3-2$ 的分裂域， $[\cdot :\mathbb{Q}]=6$ 。

例 2.$\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})/\mathbb{Q}$ 的正规闭包是 $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2},i)$ ，它是 $X^4-2$ 的分裂域， $[\cdot :\mathbb{Q}]=8$ 。

例 3.$\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$ 的正规闭包就是 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 自身——它已经是正规扩张。

例 4.$\mathbb{Q}(\sqrt{1+\sqrt{2}})/\mathbb{Q}$ 的正规闭包是 $X^4-2X^2-1$ 的分裂域，包含 $\pm \sqrt{1+\sqrt{2}}$ 和 $\pm \sqrt{1-\sqrt{2}}$ 。

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正规性的 0-K-嵌入计数

命题 正规扩张与 $K$ -嵌入数

设 $L/K$ 是有限扩张。则：

(a)$|{\mathrm{Hom}}_K(L,\overline{K})|\le [L:K]$ （ $K$ -嵌入数不超过扩张次数），等号成立当且仅当 $L/K$ 是可分扩张。

(b) 若 $L/K$ 是正规扩张，则每个 $K$ -嵌入 $\sigma :L\hookrightarrow \overline{K}$ 满足 $\sigma (L)=L$ （即嵌入是 $K$ -自同构）。因此 ${\mathrm{Hom}}_K(L,\overline{K})=\mathrm{Aut}(L/K)$ 。

注 正规 + 可分 = Galois

(a) 和 (b) 结合给出：

$$L/K\text{ 是 Galois 扩张}⟺L/K\text{ 是正规可分扩张}⟺|\mathrm{Aut}(L/K)|=[L:K]$$

这是 Galois 理论的基石：Galois 扩张恰好是那些"自同构数等于扩张次数"的扩张。

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常见误区

误区一：正规性不等于自同构群大

$\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$ 是正规扩张， $|\mathrm{Aut}|=2=[L:K]$ 。✓

但 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega )/\mathbb{Q}$ 也是正规扩张（它是 $X^3-2$ 的分裂域）， $|\mathrm{Aut}|=6=[L:K]$ 。✓

误区：认为正规扩张的自同构群一定"小"或"大"。实际上，正规性只保证 $|\mathrm{Aut}|=[L:K]$ （当也满足可分性时），不指定群的具体结构。

误区二： $L/K$ 正规不意味着 $L$ 中的每个元素的极小多项式都在 $L$ 上分裂

正规性的条件是：$K$ 上的不可约多项式在 $L$ 中有一根 ⇒ 所有根在 $L$ 中。

这和说" $L$ 中每个元素的极小多项式（在 $K$ 上）都在 $L$ 上分裂"是等价的。但要注意基域是 $K$ ，不是 $L$ 。

反例考虑：设 $L=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ 。 $L/\mathbb{Q}$ 正规。取 $\alpha =\sqrt{2}+\sqrt{3}\in L$ ，其极小多项式在 $\mathbb{Q}$ 上为 $X^4-10X^2+1$ ，根为 $\pm \sqrt{2}\pm \sqrt{3}$ ，全在 $L$ 中。✓

但如果考虑 $L/\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ （不正规）， $\sqrt{3}$ 在 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 上的极小多项式 $X^2-3$ 的根 $\pm \sqrt{3}$ 都在 $L$ 中——但这只是因为 $X^2-3$ 是二次多项式，不是因为 $L/\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 正规。

误区三：分裂域的唯一性不意味着正规闭包的唯一性

分裂域在 $K$ -同构意义下唯一，但作为 $\overline{K}$ 的子域不唯一（取决于嵌入选择）。

正规闭包也有同样的情况：在 $K$ -同构意义下唯一，但作为 $\overline{K}$ 的子域可能有不同的实现。

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本节知识检验

自测题：

1. 判断 $\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})/\mathbb{Q}$ 是否是正规扩张。

2. 设 $L=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 。列出 $L$ 到 $\overline{\mathbb{Q}}$ 的所有 $K$ -嵌入。哪些嵌入的像等于 $L$ ？

3. 为什么 $M/K$ 正规 $\Rightarrow$$M/L$ 正规，但 $L/K$ 和 $M/L$ 都正规 $\nRightarrow$$M/K$ 正规？用具体的反例解释。

4. 计算 $\mathbb{Q}(\sqrt{1+\sqrt{2}})/\mathbb{Q}$ 的正规闭包及其扩张次数。

5. 证明：若 $L/K$ 正规且 $L=K(\alpha )$ ，则 $L$ 是 $\alpha$ 的极小多项式的分裂域。

答案要点：

1. 是。 $\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ （可以验证 $\sqrt{2}=\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3}{)}^3-9(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{2}$ ）。 $X^2-2$ 和 $X^2-3$ 的根都在 $L$ 中。

2. 三个嵌入： ${\sigma }_1:\sqrt[3]{2}\mapsto \sqrt[3]{2}$ （像 $=L$ ）， ${\sigma }_2:\sqrt[3]{2}\mapsto \omega \sqrt[3]{2}$ （像 $=\mathbb{Q}(\omega \sqrt[3]{2})\ne L$ ）， ${\sigma }_3:\sqrt[3]{2}\mapsto {\omega }^2\sqrt[3]{2}$ （像 $\ne L$ ）。只有 ${\sigma }_1$ 的像等于 $L$ ，反映非正规性。

3. 反例： $\mathbb{Q}\subset \mathbb{Q}(\sqrt{2})\subset \mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})$ 。 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$ 和 $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})/\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 都正规，但 $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})/\mathbb{Q}$ 不正规。原因： $X^4-2$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约但在 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 上可约为 $(X^2-\sqrt{2})(X^2+\sqrt{2})$ 。

4. 正规闭包是 $X^4-2X^2-1$ 的分裂域。 $X^4-2X^2-1=(X^2-1-\sqrt{2})(X^2-1+\sqrt{2})$ 。根为 $\pm \sqrt{1+\sqrt{2}},\pm \sqrt{1-\sqrt{2}}$ 。正规闭包 $=\mathbb{Q}(\sqrt{1+\sqrt{2}},\sqrt{1-\sqrt{2}})$ ， $[\cdot :\mathbb{Q}]=8$ 。

5. 设 $f$ 是 $\alpha$ 的极小多项式。 $L$ 包含 $\alpha$ ，所以 $L$ 包含 $f$ 的一个根。由正规性， $f$ 在 $L$ 上分裂。所以 $L$ 包含 $f$ 的所有根，即 $L$ 包含 $f$ 的分裂域 $L_f$ 。但 $L=K(\alpha )\subseteq L_f$ （ $L_f$ 由 $\alpha$ 和其他根生成）。所以 $L=L_f$ 。

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与其他章节的联系

概念	连接到	说明
分裂域	§5.1	分裂域 $\iff$ 正规扩张 (N3)
嵌入扩张引理	引理	证明 [定理] 的关键工具
共轭根	§3.3	正规性要求所有共轭根都在场
可分性	§4.3	正规 + 可分 = Galois
代数闭包	§6	正规闭包的极限形式
Galois 群	§7	正规扩张的自同构群
Galois 对应	§8	正规性确保子群 ↔ 中间域一一对应

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