§5.1 分裂域的存在与唯一性

本节概要

学习目标

1. 理解分裂域的定义：恰好让多项式完全分裂的最小扩域
2. 掌握分裂域的存在性证明（归纳法构造）和维度上界$[L:K]\le n!$
3. 理解嵌入扩张引理的核心技术：域同构可以"沿着多项式的根"扩张
4. 掌握分裂域唯一性（Krull 定理）及其对 Galois 理论的意义
5. 学会计算具体多项式的分裂域和维度

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为什么需要分裂域？

在 §3.3 中，我们通过添加单个代数元素 $\alpha$ 构造了单扩张 $K(\alpha )\cong K[X]/(m_{\alpha })$ 。这让我们可以"添加一个根"。

但多项式通常有多个根。例如 $f(X)=X^4-2\in \mathbb{Q}[X]$ 有四个根 $\pm \sqrt[4]{2}$ 和 $\pm i\sqrt[4]{2}$ 。我们希望找到一个域，其中 $f$完全分解为一次因子。

更深层的动机来自 Galois 理论的核心思想：多项式的根之间的对称性（Galois 群）只有在根全部存在于同一个域中时才能被完整观察。

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基本定义

定义 分裂

设 $K$ 是域， $f\in K[X]$ 是非常数多项式。我们说 $f$ 在扩域 $L\supseteq K$ 上分裂（splits），如果 $f$ 在 $L[X]$ 中完全分解为一次因子：

$$f=c\cdot (X-{\alpha }_1)(X-{\alpha }_2)\cdots (X-{\alpha }_n),c\in K^{\times },{\alpha }_i\in L$$

其中 $n=\mathrm{deg}f$ 。

注意：分裂不要求 ${\alpha }_i$ 互不相同。 $f$ 有重根时，同一个 ${\alpha }_i$ 会出现多次。

定义 分裂域

设 $K$ 是域， $f\in K[X]$ 是非常数多项式。 $f$ 在 $K$ 上的分裂域（splitting field）是满足以下两个条件的域扩张 $L/K$ ：

1. $f$ 在 $L$ 上分裂；
2. $L=K({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$ ，其中 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ 是 $f$ 在 $L$ 中的全部根。

条件 (2) 等价于说： $L$ 是 $K$ 上由 $f$ 的所有根生成的——没有"多余的"元素。

直觉 分裂域的本质

分裂域是恰好足够大的域：它让 $f$ 的所有根都出现，但不添加任何额外的代数结构。它是包含 $f$ 之所有根的最小域扩张。

例 分裂域的实例

例 1.$f(X)=X^2-2\in \mathbb{Q}[X]$ 。根为 $\pm \sqrt{2}$ 。分裂域为 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ ，因为 $[\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}]=2$ 且 $f$ 在 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 上分裂。

例 2.$f(X)=X^2+1\in \mathbb{R}[X]$ 。根为 $\pm i$ 。分裂域为 $\mathbb{C}=\mathbb{R}(i)$ 。

例 3.$f(X)=X^3-2\in \mathbb{Q}[X]$ 。令 $\alpha =\sqrt[3]{2}\in \mathbb{R}$ ， $\omega =e^{2\pi i/3}$ 。根为 $\alpha ,\omega \alpha ,{\omega }^2\alpha$ 。分裂域为 $\mathbb{Q}(\alpha ,\omega )=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega )$ ，其在 $\mathbb{Q}$ 上的维度为 $6$ 。

例 4.$f(X)=X^p-X\in {\mathbb{F}}_p[X]$ 。在 ${\mathbb{F}}_p$ 中已完全分裂（根恰好是 $0,1,\dots ,p-1$ ），所以分裂域就是 ${\mathbb{F}}_p$ 本身。

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分裂域的存在性

定理 分裂域的存在性

设 $K$ 是域， $f\in K[X]$ 是非常数多项式， $\mathrm{deg}f=n\ge 1$ 。则 $f$ 在 $K$ 上的分裂域 $L$ 存在，且 $[L:K]\le n!$ 。

证明. 对 $n=\mathrm{deg}f$ 进行归纳。

基础步骤 ( $n=1$ )：若 $f=aX+b$ 已是一次多项式，则 $f$ 在 $K$ 上已分裂。取 $L=K$ ， $[L:K]=1=1!$ 。✓

归纳步骤：设对所有次数 $<n$ 的多项式，分裂域存在且满足维度上界。

因为 $K[X]$ 是 UFD，将 $f$ 在 $K[X]$ 中分解为不可约因子的乘积。设 $p(X)$ 是 $f$ 的一个不可约因子， $\mathrm{deg}p\ge 1$ 。

步骤 1：添加一个根。 构造单扩张：

$$K_1:=K[X]/(p(X))$$

由 §3.3 定理， $K_1$ 是域， $[K_1:K]=\mathrm{deg}p$ 。令 $\alpha =\bar{X}\in K_1$ （ $X$ 在商中的像），则 $\alpha$ 是 $p(X)$ 的根，从而也是 $f$ 的根。

步骤 2：分解 $f$ 。 在 $K_1[X]$ 中，由余数定理（参见 [定理]）：

$$f(X)=(X-\alpha )\cdot g(X),g\in K_1[X],\mathrm{deg}g=n-1$$

步骤 3：归纳。 由归纳假设， $g$ 在 $K_1$ 上的分裂域 $L$ 存在，且 $[L:K_1]\le (n-1)!$ 。于是 $f$ 在 $L$ 上分裂（ $g$ 分裂，加上因子 $(X-\alpha )$ ）。且：

$$L=K_1({\beta }_1,\dots ,{\beta }_{n-1})=K(\alpha ,{\beta }_1,\dots ,{\beta }_{n-1})$$

其中 ${\beta }_i$ 是 $g$ 的根。所以 $L$ 也是 $f$ 在 $K$ 上的分裂域。

维度估计。 由塔定律（[定理]）和 [定理]：

$$[L:K]=[L:K_1]\cdot [K_1:K]\le (n-1)!\cdot n=n!◼$$

注 构造的非唯一性

证明中的不可约因子 $p(X)$ 的选择不唯一。但由下面的唯一性定理，无论怎么选，得到的分裂域都同构。

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嵌入扩张定理

分裂域唯一性的证明依赖一个关键的嵌入扩张引理。它说明：域同构可以在保持多项式分解结构的前提下扩张到更大的分裂域。

定义 嵌入

设 $K$ 和 $K^{\prime }$ 是域， $\sigma :K\to K^{\prime }$ 是域同态。若 $\sigma$ 是单射（自动地，因为域的理想只有 $\{0\}$ 和自身），则称 $\sigma$ 为嵌入（embedding）。对多项式 $f\in K[X]$ ，定义 $\sigma (f)\in K^{\prime }[X]$ 为对每个系数施加 $\sigma$ 。

引理 嵌入扩张引理

设 $\sigma :K\stackrel{\sim }{\to }{K}^{\prime }$ 是域同构， $f\in K[X]$ 是非常数多项式， $f^{\prime }=\sigma (f)\in K^{\prime }[X]$ 。设 $L/K$ 是 $f$ 的分裂域， $L^{\prime }/K^{\prime }$ 是 $f^{\prime }$ 的分裂域。则存在域同构 $\tilde{\sigma }:L\stackrel{\sim }{\to }{L}^{\prime }$ 使得 $\tilde{\sigma }{|}_K=\sigma$ ：

$$\begin{array}{ccc}K& \stackrel{\sigma }{\to }& K^{\prime }\\ \downarrow & & \downarrow \\ L& \stackrel{\tilde{\sigma }}{\to }& L^{\prime }\end{array}$$

证明. 对 $n=\mathrm{deg}f$ 进行归纳。

基础步骤 ( $n=1$ )： $f=c(X-a)$ ， $f^{\prime }=\sigma (c)(X-\sigma (a))$ 。 $L=K$ ， $L^{\prime }=K^{\prime }$ 。取 $\tilde{\sigma }=\sigma$ 。✓

归纳步骤：设 $\mathrm{deg}f=n\ge 2$ ，引理对所有次数 $<n$ 的多项式成立。

设 $p$ 是 $f$ 在 $K[X]$ 中的一个不可约因子， $p^{\prime }=\sigma (p)\in K^{\prime }[X]$ 。因为 $\sigma :K[X]\stackrel{\sim }{\to }{K}^{\prime }[X]$ 是环同构， $p^{\prime }$ 在 $K^{\prime }[X]$ 中也不可约（同构保持不可约性：任何 $p^{\prime }$ 的非平凡分解都可通过 ${\sigma }^{-1}$ 拉回为 $p$ 的非平凡分解）。

设 $\alpha \in L$ 是 $p$ 的一个根。因为 $p(\alpha )=0$ ，对 $p=\sum a_i{X}^i$ ，有 $\sum a_i{\alpha }^i=0$ 。施加 $\tilde{\sigma }$ 得 $\sum \sigma (a_i)\tilde{\sigma }(\alpha {)}^i=p^{\prime }(\tilde{\sigma }(\alpha ))=0$ 。所以 $\tilde{\sigma }(\alpha )$ 是 $p^{\prime }$ 的根。

设 $\beta \in L^{\prime }$ 是 $p^{\prime }$ 的一个根。由 §3.3：

$$K(\alpha )\cong K[X]/(p),K^{\prime }(\beta )\cong K^{\prime }[X]/(p^{\prime })$$

映射 $\sigma$ 诱导同构 $K[X]/(p)\stackrel{\sim }{\to }{K}^{\prime }[X]/(p^{\prime })$ ，从而给出扩张 $\tau :K(\alpha )\stackrel{\sim }{\to }{K}^{\prime }(\beta )$ ，满足 $\tau {|}_K=\sigma$ ， $\tau (\alpha )=\beta$ 。

现在在 $K(\alpha )[X]$ 中分解：

$$f(X)=(X-\alpha )\cdot g(X),g\in K(\alpha )[X],\mathrm{deg}g=n-1$$

类似地在 $K^{\prime }(\beta )[X]$ 中分解 $f^{\prime }=(X-\beta )\cdot g^{\prime }$ 。由归纳假设， $g$ 在 $K(\alpha )$ 上的分裂域是 $L$ ， $g^{\prime }$ 在 $K^{\prime }(\beta )$ 上的分裂域是 $L^{\prime }$ 。归纳假设给出扩张 $\tilde{\sigma }:L\stackrel{\sim }{\to }{L}^{\prime }$ ，满足 $\tilde{\sigma }{|}_{K(\alpha )}=\tau$ ，从而 $\tilde{\sigma }{|}_K=\sigma$ 。 $◼$

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分裂域的唯一性

定理 分裂域的唯一性（Krull）

设 $K$ 是域， $f\in K[X]$ 是非常数多项式。设 $L_1$ 和 $L_2$ 是 $f$ 在 $K$ 上的两个分裂域。则存在 $K$ -同构 $\phi :L_1\stackrel{\sim }{\to }{L}_2$ ，即 $\phi$ 是域同构且 $\phi {|}_K={\mathrm{id}}_K$ 。

证明. 在 [引理] 中取 $\sigma ={\mathrm{id}}_K:K\to K$ ， $f^{\prime }=f$ 。则 $L_1$ 和 $L_2$ 都是 $f$ 在 $K$ 上的分裂域，由该引理直接得 $K$ -同构 $L_1\stackrel{\sim }{\to }{L}_2$ 。 $◼$

注 为什么叫"Krull 定理"？

这个结果有时被称为 Krull 嵌入定理的特殊形式。更一般地，Wolfgang Krull 证明了：任意两个代数闭包之间的同构可以被限制为任意子扩张之间的同构。分裂域的唯一性是这一深刻结果的推论。

推论 分裂域的典范性

虽然分裂域作为集合依赖于构造，但其同构类是多项式 $f$ 的不变量。因此我们可以说"f 在 $K$ 上的分裂域"（在同构意义下）。

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分裂域的计算示例

例 二次多项式

$f(X)=X^2+bX+c\in K[X]$ ，判别式 $\mathrm{\Delta }=b^2-4c$ 。

• 若 $\mathrm{\Delta }$ 在 $K$ 中有平方根 $\delta$ ，则 $f=(X-\frac{-b+\delta }{2})(X-\frac{-b-\delta }{2})$ 已分裂，分裂域为 $K$ 。
• 若 $\mathrm{\Delta }$ 在 $K$ 中无平方根，则分裂域为 $K(\sqrt{\mathrm{\Delta }})$ ， $[K(\sqrt{\mathrm{\Delta }}):K]=2$ 。

例 $X^3-2$ 在 $\mathbb{Q}$ 上

$f(X)=X^3-2\in \mathbb{Q}[X]$ 。由 Eisenstein 判据（[定理]，取 $p=2$ ）， $f$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约。

设 $\alpha =\sqrt[3]{2}\in \mathbb{R}$ ， $\omega =\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\in \mathbb{C}$ （本原三次单位根）。 $f$ 的三个根为 $\alpha ,\omega \alpha ,{\omega }^2\alpha$ 。

Step 1.$K_1=\mathbb{Q}(\alpha )$ ， $[K_1:\mathbb{Q}]=3$ 。在 $K_1$ 上 $f=(X-\alpha )(X^2+\alpha X+{\alpha }^2)$ 。

Step 2. 在 $K_1$ 上， $X^2+\alpha X+{\alpha }^2$ 是否可约？判别式 $\mathrm{\Delta }={\alpha }^2-4{\alpha }^2=-3{\alpha }^2$ 。在 $K_1\subset \mathbb{R}$ 中， $\mathrm{\Delta }<0$ ，无实根。所以 $X^2+\alpha X+{\alpha }^2$ 在 $K_1$ 上不可约。

Step 3. 分裂域 $L=K_1(\omega )=\mathbb{Q}(\alpha ,\omega )$ 。由 §3.3：

$$[L:\mathbb{Q}]=[L:K_1]\cdot [K_1:\mathbb{Q}]=2\times 3=6$$

注意 $\omega$ 满足 $X^2+X+1=0$ （分圆多项式${\mathrm{\Phi }}_3$ ），所以 $[K_1(\omega ):K_1]\le 2$ 。由上面的不可约性， $[K_1(\omega ):K_1]=2$ 。

例 $X^4-2$ 在 $\mathbb{Q}$ 上

$f(X)=X^4-2\in \mathbb{Q}[X]$ 。Eisenstein（ $p=2$ ）给出不可约性。

令 $\alpha =\sqrt[4]{2}$ 。根为 $\pm \alpha ,\pm i\alpha$ 。分裂域为 $L=\mathbb{Q}(\alpha ,i)$ 。

维度计算：

• $[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]=4$ （ $m_{\alpha }=X^4-2$ ）
• $i\notin \mathbb{Q}(\alpha )\subset \mathbb{R}$ ，所以 $X^2+1$ 在 $\mathbb{Q}(\alpha )$ 上不可约
• $[\mathbb{Q}(\alpha ,i):\mathbb{Q}(\alpha )]=2$
• $[L:\mathbb{Q}]=2\times 4=8$

注意 $8<4!=24$ ，说明上界 $n!$ 通常远非紧。

例 特征 $p$ 的现象

$f(X)=X^p-a\in {\mathbb{F}}_p(t)[X]$ ，其中 $t$ 是超越元。

• 若 $a=t$ ，则 $f(X)=X^p-t$ 。由 §4.3， $f$ 不可约（在 ${\mathbb{F}}_p(t)$ 中 $t$ 无 $p$ 次根）。设 $\alpha$ 是 $f$ 的一个根。则 ${\alpha }^p=t$ ，从而在 ${\mathbb{F}}_p(t)(\alpha )$ 中： $f(X)=X^p-{\alpha }^p=(X-\alpha {)}^p$ （因为 $\mathrm{char}{\mathbb{F}}_p(t)=p$ ）。所以 $f$ 在 ${\mathbb{F}}_p(t)(\alpha )$ 上已分裂，分裂域为 ${\mathbb{F}}_p(t)(\alpha )$ ，维度为 $p$ 。

这个例子展示了一个不可分多项式在添加一个根后就完全分裂的现象——这在特征零中不可能发生。

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一般分裂域

定义 一般分裂域

设 $K$ 是域， $\mathcal{F}\subseteq K[X]$ 是一族非常数多项式。 $\mathcal{F}$ 在 $K$ 上的分裂域是满足以下条件的域扩张 $L/K$ ：

1. 每个 $f\in \mathcal{F}$ 在 $L$ 上分裂；
2. $L$ 由 $K$ 和 $\mathcal{F}$ 中所有多项式的所有根生成。

当 $\mathcal{F}$ 有限时（ $\mathcal{F}=\{f_1,\dots ,f_r\}$ ），分裂域可以通过迭代构造：先取 $f_1$ 的分裂域 $L_1$ ，再取 $f_2$ 在 $L_1$ 上的分裂域 $L_2$ ，依此类推。由上面的存在性和唯一性，每一步都成功，最终得到 $\mathcal{F}$ 的分裂域。

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分裂域与 Galois 理论

直觉 分裂域为何重要

分裂域是 Galois 理论中第一个关键构造。它确保了：

1. 多项式的根全部可见：在分裂域内， $f$ 完全分解，所有根都可以被"看到"。
2. 最小性：没有"多余"的元素，Galois 群 $\mathrm{Gal}(L/K)$ 的作用完全由根之间的置换决定。
3. 唯一性：同构意义下不依赖于构造路径。

Galois 群的定义需要分裂域： $\mathrm{Gal}(f/K):=\mathrm{Gal}(L/K)$ ，其中 $L$ 是 $f$ 的分裂域。分裂域的唯一性保证了这个定义不依赖于 $L$ 的具体选择。

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与其他章节的联系

• 分裂域的构造使用了 §3.3 单扩张（ $K[X]/(p)$ 的结构）。
• 不可约因子的存在依赖 §2.3 多项式环的 UFD 性质。
• 维度计算使用了 §3.3 塔定律。
• 正规扩张（下一节 §5.2）是分裂域概念的推广。
• §6 代数闭包 是将所有多项式"同时分裂"的极限构造。

常见误区

"分裂域" ≠ "添加所有根"

一个常见误解是：只要把多项式的所有根都添加到基域中就得到分裂域。不完全对！ 分裂域的定义要求两件事：(1) $f$ 在 $L$ 上分裂，(2) $L=K({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$ 。如果你添加了"多余的"元素（比如 $L=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega ,\pi )$ ），那不是分裂域，只是一个包含分裂域的更大域。

另一个微妙之处：分裂域依赖于基域。 $X^2+1$ 在 $\mathbb{R}$ 上的分裂域是 $\mathbb{C}$ ，但在 $\mathbb{Q}$ 上的分裂域是 $\mathbb{Q}(i)⊊\mathbb{C}$ 。

维度上界 $n!$ 几乎从不紧

存在性定理给出 $[L:K]\le n!$ ，但实际维度通常远小于此。例如：

• $X^4-2$ 的分裂域维度为 $8<24=4!$
• $X^3-2$ 的分裂域维度为 $6=3!$ （这里是紧的！）
• $X^2-2$ 的分裂域维度为 $2=2!$ （也是紧的）

一般规律：当多项式的 Galois 群是 $S_n$ （ $n$ 次对称群）时维度达到上界 $n!$ 。但这不是常见的——大多数多项式的 Galois 群是 $S_n$ 的真子群（§7.1）。

4.3.7 总结与自测

本节核心结论速览：

结论	陈述	关键用途
分裂域存在性	$f$ 在 $K$ 上的分裂域 $L$ 存在	Galois 群定义的前提
维度上界	$[L:K]\le n!$	分裂域构造的有限性保证
嵌入扩张引理	域同构可沿根扩张到分裂域	唯一性证明的关键技术
唯一性（Krull）	分裂域在同构意义下唯一	" $f$ 的分裂域"是良定义的

自测问题：

1. $f(X)=X^2+X+1\in \mathbb{Q}[X]$ 的分裂域是什么？维度是多少？
2. $f(X)=X^4-1\in \mathbb{Q}[X]$ 的分裂域是什么？（提示：注意 ${\mathrm{\Phi }}_4(X)=X^2+1$ 和 ${\mathrm{\Phi }}_2(X)=X+1$ 。）
3. 为什么 $X^4-2$ 的分裂域维度是 $8$ 而不是 $24$ ？上界 $4!=24$ 的差距来自哪里？
4. 设 $f\in {\mathbb{F}}_2[X]$ ， $f(X)=X^2+X+1$ 。 $f$ 在 ${\mathbb{F}}_2$ 上的分裂域是什么？（提示： ${\mathbb{F}}_4$ 的构造。）

**答案**

1. $f$ 的判别式 $\mathrm{\Delta }=1-4=-3<0$ ，所以 $f$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约。根为 $\omega =\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$ 和 $\overline{\omega }$ 。分裂域为 $\mathbb{Q}(\omega )=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ ，维度为 $2$ 。

2. $X^4-1=(X-1)(X+1)(X^2+1)$ 。分裂域只需添加 $X^2+1$ 的根 $i$ 。分裂域为 $\mathbb{Q}(i)$ ，维度为 $2$ 。注意 $X^4-1$ 不是不可约多项式！

3. $X^4-2$ 的 Galois 群同构于 $D_4$ （二面体群，阶为 $8$ ），而不是 $S_4$ （阶为 $24$ ）。差距来自根之间的代数关系： $\alpha \cdot i\alpha =i{\alpha }^2$ 不是独立的，它被 $i$ 和 $\alpha$ 决定。

4. $f(X)=X^2+X+1$ 在 ${\mathbb{F}}_2$ 上不可约（ $f(0)=1,f(1)=1$ ，无根， $\mathrm{deg}=2$ ）。分裂域为 ${\mathbb{F}}_2[X]/(X^2+X+1)\cong {\mathbb{F}}_4$ ，维度为 $2$ 。这是有限域构造的基本例子（§10.1）。

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