第六章 · 代数闭包

直觉

代数闭包是将一个域的所有代数元"收集齐全"后的结果。它是 Galois 理论中绝对 Galois 群的基础，也是理解分裂域和 Galois 对应的关键桥梁。

本章概要

本章建立代数闭包的存在性、唯一性及其基本性质。代数闭包的存在性是整个 Galois 理论的基石——有了代数闭包，我们才能精确地定义 Galois 群。

核心内容

• §6.1 代数闭域 — 代数闭域的定义与等价刻画
• §6.2 代数闭包的定义与存在性 — Zorn 引理在代数中的经典应用
• §6.3 代数闭包的唯一性 — 嵌入扩张引理的精彩推论
• §6.4 代数基本定理 — $\mathbb{C}$ 代数闭性的纯代数证明
• §6.5 基数与实例 — $\bar{\mathbb{Q}}$ 的可数性

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§6.1–6.5

代数闭包完整理论

代数闭域、存在性与唯一性、代数基本定理、基数

知识依赖

本章以以下内容为基础：

• 多项式环（第二章）：不可约性、因式分解
• 域的代数扩张（第三章）：代数元、极小多项式、扩张次数、塔公式
• 多项式理论（第四章）：可分性、判别式
• 分裂域（第五章）：分裂域的存在唯一性

核心工具

定理	作用
Zorn 引理	证明极大代数扩张（代数闭包）的存在性
[引理]	证明代数闭包的唯一性
塔公式 [定理]	控制扩张的次数
代数闭域的等价刻画	连接"多项式有根"与"无真代数扩张"

下一步

代数闭包为第七章的 Galois 群提供了舞台。有了代数闭包 $\overline{K}$ ，我们可以对任意多项式 $f\in K[x]$ 定义其 Galois 群 $\mathrm{Gal}(f/K)$ ，并研究其与域扩张的深刻对应关系。

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