第五章 · 分裂域与正规扩张

定理 章节概述

分裂域是将多项式的根"完全展开"的最小扩张。正规扩张是恰好是一族多项式之分裂域的扩张。这两个概念是 Galois 理论的基石：Galois 对应只在正规扩张上完美运作。

§5 分裂域与正规扩张

本章是 Galois 理论的预备核心。我们将：

1. 构造分裂域：证明每个多项式都存在唯一的（在同构意义下）分裂域。
2. 定义正规扩张：正规扩张 = 某族多项式的分裂域。
3. 证明正规扩张的基本性质：嵌入定理、塔的正规性判定。
4. 连接 Galois 理论：正规扩张 + 可分扩张 = Galois 扩张。

内容结构

小节	主题	核心结果
§5.1	分裂域的存在与唯一性	Krull 定理：分裂域在同构下唯一
§5.2	正规扩张	正规 ⇔ 嵌入不变

前置知识

• §3.1 域的定义与基本性质 — 域同构、域扩张
• §3.2 域的基本扩张 — 单扩张、维度
• §3.3 代数元素与极小多项式 — 极小多项式、代数扩张
• §4.1 多项式的一般理论 — 不可约多项式
• §4.3 可分性 — 可分多项式、形式导数

后续应用

• §6 代数闭包 — 分裂域的极限
• §7 Galois 理论基本定理 — 正规扩张上的 Galois 对应

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核心概念速览

分裂域

设 $f\in K[X]$ 是非常数多项式。 $f$ 在 $K$ 上的分裂域是满足以下条件的最小域扩张 $L/K$ ：

1. $f$ 在 $L[X]$ 中完全分解为一次因子： $f=c(X-{\alpha }_1)(X-{\alpha }_2)\cdots (X-{\alpha }_n)$
2. $L=K({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$

正规扩张

代数扩张 $L/K$ 是正规的，如果：每个在 $K$ 上不可约且在 $L$ 中有一个根的多项式，在 $L$ 中完全分裂。

等价地： $L$ 是 $K$ 上某族多项式的分裂域。

正规性的等价条件

设 $L/K$ 是有限代数扩张。则以下等价：

1. $L/K$ 是正规扩张。
2. 若 $f\in K[X]$ 不可约且在 $L$ 中有根，则 $f$ 在 $L[X]$ 中完全分裂。
3. 对每个 $K$ -嵌入 $\sigma :L\hookrightarrow \overline{K}$ ，有 $\sigma (L)=L$ 。
4. $L$ 是 $K$ 上某族多项式的分裂域。

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阅读路径

快速路径（30 分钟）：§5.1（分裂域的存在性 + 唯一性）→ §5.2（正规性的定义 + 嵌入判据）

完整路径（2 小时）：§5.1 全部 → §5.2 全部，包括所有证明

直觉优先路径：§5.1 的例子 → §5.2 的例子与反例 → 正规性的等价刻画 → 证明

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与其他章节的联系

• 分裂域依赖多项式理论（不可约多项式、根的存在性）。
• 正规扩张是代数闭包的核心输入。
• 正规性 + 可分性 = Galois 扩张。
• 有限域的结构定理依赖分裂域理论。

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本章定理索引

编号	名称	类型
[定理]	分裂域的存在性	定理
[定理]	分裂域的唯一性（Krull）	定理
[定理]	正规性 ⇔ 嵌入不变	定理
[命题]	正规扩张的塔性质	命题

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