§4.1 多项式的一般理论

直觉 核心思想

多项式环 $K[X]$ 是从域 $K$ 出发，通过引入一个"形式变元" $X$ 构造的新环。它的美妙之处在于： $K[X]$ 继承了 $K$ 的许多好性质（整环、Euclid 整环、PID、UFD），同时引入了代数结构的核心概念——不可约分解。多项式的不可约分解就是"算术基本定理"在任意域上的推广。

4.1.1 多项式环的构造

在§2.3中，我们已经定义了环上的多项式环。现在我们回顾并深化这个构造。

**回顾：多项式环的严格构造**

给定一个交换环 $R$ ，多项式环 $R[X]$ 定义为系数在 $R$ 中、只有有限多项非零的序列的集合：

$$R[X]=\{(a_0,a_1,a_2,\dots )\mid a_i\in R,a_i=0\text{ 对几乎所有 }i\}$$

加法按分量定义：

$$(a_0,a_1,\dots )+(b_0,b_1,\dots )=(a_0+b_0,a_1+b_1,\dots )$$

乘法定义为 Cauchy 乘积：

$$(a_0,a_1,\dots )\cdot (b_0,b_1,\dots )=(c_0,c_1,\dots ),c_n=\sum _{i+j=n}{a}_i{b}_j$$

我们用 $X$ 表示序列 $(0,1,0,0,\dots )$ ，用 $X^n$ 表示 $(0,\dots ,0,1,0,\dots )$ （第 $n$ 位为 $1$ ）。于是每个多项式可唯一地写为：

$$f=a_n{X}^n+a_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_0=\sum _{i=0}^n{a}_i{X}^i$$

其中 $a_i\in R$ 。

记号约定

本书中， $K$ 始终表示一个域。 $K[X]$ 表示 $K$ 上关于单变元 $X$ 的多项式环。对于 $f\in K[X]\setminus \{0\}$ ，我们用以下记号：

• $\mathrm{deg}(f)$ ： $f$ 的次数（最高次非零项的指数）
• $\mathrm{lc}(f)$ ： $f$ 的首项系数（最高次项的系数）
• $f$ 是首一的（monic）：如果 $\mathrm{lc}(f)=1$

4.1.2 次数的基本性质

命题 4.1.1 设 $f,g\in K[X]$ 。则：

(i)$\mathrm{deg}(fg)=\mathrm{deg}(f)+\mathrm{deg}(g)$ 。

(ii)$\mathrm{deg}(f+g)\le max(\mathrm{deg}(f),\mathrm{deg}(g))$ ，等号在 $\mathrm{deg}(f)\ne \mathrm{deg}(g)$ 时成立。

**证明**

(i) 设 $f=a_m{X}^m+\cdots +a_0$ （ $a_m\ne 0$ ， $\mathrm{deg}f=m$ ）， $g=b_n{X}^n+\cdots +b_0$ （ $b_n\ne 0$ ， $\mathrm{deg}g=n$ ）。则 $fg$ 的最高次项为 $a_m{b}_n{X}^{m+n}$ 。由于 $K$ 是域（从而是整环）， $a_m\ne 0$ 且 $b_n\ne 0$ 推出 $a_m{b}_n\ne 0$ 。因此 $\mathrm{deg}(fg)=m+n$ 。

(ii)$f+g$ 的第 $i$ 项系数为 $a_i+b_i$ 。当 $i>max(m,n)$ 时 $a_i+b_i=0$ ，因此 $\mathrm{deg}(f+g)\le max(m,n)$ 。当 $m\ne n$ 时，不妨设 $m>n$ ，则 $f+g$ 的第 $m$ 项系数为 $a_m+0=a_m\ne 0$ ，故 $\mathrm{deg}(f+g)=m=max(m,n)$ 。 $◻$

推论 4.1.2 $K[X]$ 是整环。

**证明**

设 $f,g\in K[X]$ 且 $fg=0$ 。若 $f\ne 0$ 且 $g\ne 0$ ，则由 [命题](i)： $\mathrm{deg}(fg)=\mathrm{deg}(f)+\mathrm{deg}(g)\ge 0$ ，即 $fg\ne 0$ ，矛盾。因此 $f=0$ 或 $g=0$ 。 $◻$

4.1.3 带余除法（Euclid 算法）

定理 4.1.3（带余除法） 设 $K$ 为域， $f,g\in K[X]$ ， $g\ne 0$ 。则存在唯一的$q,r\in K[X]$ 使得：

$$f=qg+r,\mathrm{deg}(r)<\mathrm{deg}(g)\text{ 或 }r=0.$$

**证明（完整）**

存在性. 对 $\mathrm{deg}(f)$ 进行强归纳法。

基始. 若 $\mathrm{deg}(f)<\mathrm{deg}(g)$ ，取 $q=0$ ， $r=f$ 即可。

归纳步. 设 $\mathrm{deg}(f)\ge \mathrm{deg}(g)$ 。令 $\mathrm{deg}(f)=m$ ， $\mathrm{deg}(g)=n$ ， $m\ge n$ 。记 $\mathrm{lc}(f)=a_m$ ， $\mathrm{lc}(g)=b_n$ 。

构造多项式：

$$f_1=f-\frac{a_m}{b_n}{X}^{m-n}\cdot g$$

因为 $\frac{a_m}{b_n}{X}^{m-n}\cdot g$ 的首项为 $\frac{a_m}{b_n}\cdot b_n{X}^m=a_m{X}^m$ ，与 $f$ 的首项抵消，所以 $\mathrm{deg}(f_1)<m$ 。

由归纳假设，存在 $q_1,r\in K[X]$ 使得 $f_1=q_{1}g+r$ ，其中 $\mathrm{deg}(r)<\mathrm{deg}(g)$ 或 $r=0$ 。

于是 $f=f_1+\frac{a_m}{b_n}{X}^{m-n}g=(q_1+\frac{a_m}{b_n}{X}^{m-n})g+r$ ，取 $q=q_1+\frac{a_m}{b_n}{X}^{m-n}$ 即可。

唯一性. 设 $f=q_{1}g+r_1=q_{2}g+r_2$ ，则 $(q_1-q_2)g=r_2-r_1$ 。若 $q_1\ne q_2$ ，则 $\mathrm{deg}((q_1-q_2)g)=\mathrm{deg}(q_1-q_2)+\mathrm{deg}(g)\ge \mathrm{deg}(g)$ ，但 $\mathrm{deg}(r_2-r_1)<\mathrm{deg}(g)$ ，矛盾。故 $q_1=q_2$ ，从而 $r_1=r_2$ 。 $◻$

定义 4.1.4 设 $f,g\in K[X]$ 。

• 称 $g$整除$f$ （记 $g\mid f$ ）：如果存在 $q\in K[X]$ 使得 $f=qg$ 。
• 称 $f$ 是 $g$ 的倍式， $g$ 是 $f$ 的因式（因子）。

推论 4.1.5 设 $f\in K[X]$ ， $\alpha \in K$ 。则 $f(\alpha )=0$ 当且仅当 $(X-\alpha )\mid f$ 。

**证明**

对 $f$ 除以 $(X-\alpha )$ ： $f=q(X-\alpha )+r$ ，其中 $r\in K$ （因为 $\mathrm{deg}(r)<1$ ）。代入 $X=\alpha$ ： $f(\alpha )=q(\alpha )\cdot 0+r=r$ 。因此 $f(\alpha )=0\iff r=0\iff (X-\alpha )\mid f$ 。 $◻$

4.1.4 最大公因子与 Euclid 环

定义 4.1.6 设 $f,g\in K[X]$ 不全为零。 $f$ 与 $g$ 的**最大公因子（GCD）**是一个首一多项式 $d\in K[X]$ ，满足：

1. $d\mid f$ 且 $d\mid g$ ；
2. 若 $e\mid f$ 且 $e\mid g$ ，则 $e\mid d$ 。

定理 4.1.7（GCD 的存在性与 Bézout 恒等式） 设 $f,g\in K[X]$ 不全为零。则： (i) 最大公因子 $gcd(f,g)$ 存在且唯一。 (ii) 存在 $u,v\in K[X]$ 使得：

$$uf+vg=gcd(f,g).$$

**证明（完整）**

存在性. 考虑集合 $S=\{af+bg\mid a,b\in K[X],af+bg\ne 0\}$ 。 $S\ne \mathrm{\varnothing }$ （取 $a=1$ ， $b=0$ 时 $f\in S$ ，或 $a=0$ ， $b=1$ 时 $g\in S$ ）。

在 $S$ 中取一个次数最小的多项式 $d=u_{0}f+v_{0}g$ 。

断言.$d\mid f$ 且 $d\mid g$ 。

对 $f$ 除以 $d$ ： $f=qd+r$ ， $\mathrm{deg}(r)<\mathrm{deg}(d)$ 或 $r=0$ 。则 $r=f-qd=f-q(u_{0}f+v_{0}g)=(1-q{u}_0)f+(-q{v}_0)g$ 。若 $r\ne 0$ ，则 $r\in S$ 且 $\mathrm{deg}(r)<\mathrm{deg}(d)$ ，与 $d$ 是 $S$ 中次数最小者矛盾。因此 $r=0$ ，即 $d\mid f$ 。同理 $d\mid g$ 。

断言.$d$ 满足 GCD 的极大性条件。

设 $e\mid f$ 且 $e\mid g$ 。则 $e\mid (u_{0}f+v_{0}g)=d$ 。

因此 $d$ 就是一个 GCD。令 $c=\mathrm{lc}(d)$ ，则 $gcd(f,g)=c^{-1}d=c^{-1}{u}_{0}f+c^{-1}{v}_{0}g$ ，取 $u=c^{-1}{u}_0$ ， $v=c^{-1}{v}_0$ 。

唯一性. 设 $d_1,d_2$ 都是首一的 GCD。则 $d_1\mid d_2$ 且 $d_2\mid d_1$ ，故 $d_1=\alpha d_2$ （ $\alpha \in K^{\ast }$ ）。因为两者都首一， $\alpha =1$ 。 $◻$

Bézout 恒等式的意义

[定理](ii) 的 Bézout 恒等式 $uf+vg=gcd(f,g)$ 在域论中至关重要：

• 它保证了多项式之间的"线性组合"可以精确表达公因子；
• 它在证明极小多项式的唯一性时起关键作用；
• 它是 $K[X]$ 是 主理想整环（PID） 的核心工具。

定义 4.1.8 称 $f,g\in K[X]$互素（coprime），如果 $gcd(f,g)=1$ 。

推论 4.1.9 $f,g$ 互素当且仅当存在 $u,v\in K[X]$ 使得 $uf+vg=1$ 。

4.1.5 不可约多项式与唯一分解

定义 4.1.10 设 $f\in K[X]$ ， $\mathrm{deg}(f)\ge 1$ 。称 $f$ 在 $K[X]$ 中不可约（irreducible），如果不存在 $g,h\in K[X]$ 使得 $f=gh$ ， $\mathrm{deg}(g)\ge 1$ ， $\mathrm{deg}(h)\ge 1$ 。

等价地： $f$ 不可约当且仅当 $f$ 的因式只有 $K^{\ast }$ 中的元素（ $f$ 的"平凡因式"）和 $f$ 的相伴元。

注意

不可约性是相对于基域 $K$ 而言的。多项式 $X^2+1$ 在 $\mathbb{R}[X]$ 中不可约，但在 $\mathbb{C}[X]$ 中可约： $X^2+1=(X+i)(X-i)$ 。

引理 4.1.11（Euclid 引理） 设 $p\in K[X]$ 不可约， $f,g\in K[X]$ 。若 $p\mid fg$ ，则 $p\mid f$ 或 $p\mid g$ 。

**证明**

假设 $p\nmid f$ 。由于 $p$ 不可约， $gcd(p,f)=1$ 。由 [定理]，存在 $u,v\in K[X]$ 使得 $up+vf=1$ 。

两边乘 $g$ ： $ugp+vfg=g$ 。

由于 $p\mid fg$ ，设 $fg=ph$ ，则 $g=ugp+vph=p(ug+vh)$ ，即 $p\mid g$ 。 $◻$

推论 4.1.12 设 $p\in K[X]$ 不可约， $f_1,\dots ,f_r\in K[X]$ 。若 $p\mid f_1\cdots f_r$ ，则 $p\mid f_i$ 对某个 $i$ 。

**证明**

对 $r$ 归纳。 $r=1$ 时平凡。 $r\ge 2$ 时： $p\mid f_1\cdot (f_2\cdots f_r)$ ，由 [引理]， $p\mid f_1$ 或 $p\mid (f_2\cdots f_r)$ 。后者由归纳假设推出 $p\mid f_i$ （某个 $i\ge 2$ ）。 $◻$

定理 4.1.13（唯一分解定理） 设 $K$ 为域， $f\in K[X]$ ， $\mathrm{deg}(f)\ge 1$ 。则 $f$ 可以写成：

$$f=c\cdot p_1^{e_1}{p}_2^{e_2}\cdots p_r^{e_r}$$

其中 $c\in K^{\ast }$ ， $p_1,\dots ,p_r$ 是互不相伴的首一不可约多项式， $e_i\ge 1$ 。这种分解在以下意义下唯一：若

$$f=d\cdot q_1^{f_1}{q}_2^{f_2}\cdots q_s^{f_s}$$

是另一种这样的分解，则 $c=d$ ， $r=s$ ，且在适当重排后 $p_i=q_i$ ， $e_i=f_i$ 。

**证明（完整）**

存在性. 对 $\mathrm{deg}(f)$ 进行强归纳。

若 $f$ 不可约，则 $f=\mathrm{lc}(f)\cdot (\mathrm{lc}(f{)}^{-1}f)$ 就是分解。

若 $f$ 可约，设 $f=gh$ ， $\mathrm{deg}(g),\mathrm{deg}(h)<\mathrm{deg}(f)$ 。由归纳假设， $g$ 和 $h$ 都有不可约分解。将它们合起来就得到 $f$ 的不可约分解。

唯一性. 设

$$c\cdot p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r}=d\cdot q_1^{f_1}\cdots q_s^{f_s}$$

是两种首一不可约分解。比较首项系数： $c=d$ 。

于是 $p_1\mid q_1^{f_1}\cdots q_s^{f_s}$ 。由 [推论]， $p_1\mid q_j$ 对某个 $j$ 。因为 $q_j$ 不可约且 $p_1$ 不是单位， $p_1$ 与 $q_j$ 相伴。由于两者都首一， $p_1=q_j$ 。重排使 $j=1$ 。

比较 $p_1$ 的指数：设 $e_1\le f_1$ （否则交换），消去 $p_1^{e_1}$ 得：

$$p_2^{e_2}\cdots p_r^{e_r}=p_1^{f_1-e_1}{q}_2^{f_2}\cdots q_s^{f_s}$$

若 $f_1>e_1$ ，则 $p_1\mid p_2^{e_2}\cdots p_r^{e_r}$ ，同理推出 $p_1=p_j$ （某个 $j\ge 2$ ），与 $p_1,\dots ,p_r$ 互不相伴矛盾。因此 $e_1=f_1$ ，消去后得到更短的等式，由归纳完成。 $◻$

推论 4.1.14 $K[X]$ 是主理想整环（PID），从而是唯一分解整环（UFD）。

**证明**

设 $I$ 是 $K[X]$ 的非零理想。在 $I\setminus \{0\}$ 中取一个次数最小的多项式 $d$ 。对任意 $f\in I$ ，由带余除法 $f=qd+r$ ， $\mathrm{deg}(r)<\mathrm{deg}(d)$ 或 $r=0$ 。因为 $r=f-qd\in I$ 且 $\mathrm{deg}(r)<\mathrm{deg}(d)$ ，由 $d$ 的选择必有 $r=0$ 。因此 $I=(d)$ 。

$K[X]$ 是 PID 推出它是 UFD（PID $\Rightarrow$ UFD 是一般环论的结果，参见§2.2）。但此处我们已独立证明了 $K[X]$ 的唯一分解（[定理]），所以实际上两个方向都成立。 $◻$

PID 但不是 Euclid 整环的一般环

虽然 $K[X]$ 是 Euclid 整环（从而是 PID），但反过来不成立：存在是 PID 但不是 Euclid 整环的环，例如 $\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{-19}}{2}\right]$ 。 $K[X]$ 的 Euclid 函数就是 $\mathrm{deg}$ 。

4.1.6 多项式的求值与根

定理 4.1.15（余数定理） 设 $f\in K[X]$ ， $\alpha \in K$ 。则 $f(X)=(X-\alpha )q(X)+f(\alpha )$ ，其中 $q\in K[X]$ 。

**证明**

这不过是 [定理] 的直接应用。对 $f$ 除以 $(X-\alpha )$ ：

$$f(X)=q(X)(X-\alpha )+r$$

其中 $r\in K$ （因为 $\mathrm{deg}(r)<\mathrm{deg}(X-\alpha )=1$ ）。代入 $X=\alpha$ ：

$$f(\alpha )=q(\alpha )\cdot 0+r=r$$

因此 $r=f(\alpha )$ 。 $◻$

定理 4.1.16（根的个数上界） 设 $f\in K[X]$ ， $\mathrm{deg}(f)=n\ge 0$ 。则 $f$ 在 $K$ 中至多有 $n$ 个不同的根。

**证明**

对 $n$ 归纳。 $n=0$ 时 $f$ 是非零常数，没有根。

设 $n\ge 1$ 。若 $f$ 在 $K$ 中没有根，结论成立。否则设 $\alpha \in K$ 是根。由 [推论]：

$$f(X)=(X-\alpha )g(X),\mathrm{deg}(g)=n-1$$

$f$ 的任何不同于 $\alpha$ 的根 $\beta$ 必须满足 $(\beta -\alpha )g(\beta )=0$ 。由于 $\beta \ne \alpha$ ， $\beta -\alpha \ne 0$ （ $K$ 是域），所以 $g(\beta )=0$ 。

由归纳假设， $g$ 至多有 $n-1$ 个根。因此 $f$ 至多有 $1+(n-1)=n$ 个根。 $◻$

应用

[定理] 有深远的应用：

• 它给出了域扩张中 $\mathrm{Aut}(L/K)\le [L:K]$ 的证明关键步骤；
• 它是有限域 ${\mathbb{F}}_q$ 中所有元素都是 $X^q-X$ 的根这一事实的基础（见§4.2）；
• 它暗示了多项式的"对称性"——根的置换——正是 Galois 理论的起点。

"无根" ≠ "不可约"

[定理] 说的是 $f$ 在 $K$ 中至多有 $\mathrm{deg}(f)$ 个根。但没有根并不意味着不可约！例如 $X^4+2X^2+1=(X^2+1{)}^2$ 在 $\mathbb{R}[X]$ 中没有实根，但它是可约的。根的个数上界只排除了"过多的线性因子"，并不能排除非线性因子的分解。

根的个数达到上界的条件

[定理] 是上界而非等式。根的个数恰好为 $n$ （计重数）的充要条件是 $f$ 在 $K[X]$ 中完全分裂为线性因子：

$$f=c\cdot (X-{\alpha }_1)\cdots (X-{\alpha }_n)$$

这正是分裂域理论（§5.1）研究的问题：并非所有多项式在基域中都能达到这个上界，但总存在一个扩域使之成立。

例 4.1.17 根的计数。

(i)$f=X^3-1\in \mathbb{Q}[X]$ 。在 $\mathbb{Q}$ 中只有一个根 $\alpha =1$ （因为 $X^3-1=(X-1)(X^2+X+1)$ ，而 $X^2+X+1$ 在 $\mathbb{Q}$ 中不可约——其判别式 $\mathrm{\Delta }=1-4=-3<0$ ）。在 $\mathbb{C}$ 中， $f$ 有三个根： $1,\omega ,{\omega }^2$ ，其中 $\omega =e^{2\pi i/3}$ 。

(ii)$f=X^p-X\in {\mathbb{F}}_p[X]$ 。由 Fermat 小定理， $a^p=a$ 对所有 $a\in {\mathbb{F}}_p$ 成立，所以 $f$ 有恰好 $p$ 个不同的根（即 ${\mathbb{F}}_p$ 的所有元素）。 $f$ 的根恰好达到上界 $p$ ，因此：

$$X^p-X=\prod _{a\in {\mathbb{F}}_p}(X-a)$$

这是有限域理论的一个基本恒等式，见 §10.1。

(iii)$f=X^q-X\in {\mathbb{F}}_q[X]$ ，其中 $q=p^n$ 是素数的幂。类似地， ${\mathbb{F}}_q$ 的所有 $q$ 个元素都是 $f$ 的根，因此 $X^q-X$ 在 ${\mathbb{F}}_q[X]$ 中完全分裂。这个恒等式是有限域的构造定理的核心（定理 10.1.1）。

---

4.1.7 总结与前后呼应

本节核心结论速览：

结论	陈述	关键用途
带余除法	$\mathrm{deg}(r)<\mathrm{deg}(d)$ 或 $r=0$	Euclid 算法、PID
GCD 存在唯一	$gcd(f,g)$ 存在、首一、唯一	因式分解的基础
Bézout 等式	$gcd(f,g)=uf+vg$	Euclid 引理、互素判据
不可约 $\Rightarrow$ 素元	$p\mid fg\Rightarrow p\mid f$ 或 $p\mid g$	唯一分解定理
唯一分解	$f=c\cdot p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r}$	不可约性判据的动机
$K[X]$ 是 PID	任何理想都是主理想	环论应用
根的上界	$f$ 在 $K$ 中至多有 $\mathrm{deg}(f)$ 个根	Galois 理论的起点

与后续章节的关键联系：

• $K[X]$ 的唯一分解保证了最小多项式的唯一性（§3.3），进而保证代数扩张的良定义性。
• 不可约多项式的分裂域总是存在的（§5.1），这是一个非平凡的存在性定理。
• 根的个数上界引出了自同构的个数上界$\mathrm{Aut}(L/K)\le [L:K]$ （§3.2），这是 Galois 理论的种子。
• 不可约多项式"在更大的域中变得可约"这一现象，是分裂域和正规扩张理论的直接动机。

自测问题：

1. 用 Euclid 算法计算 $gcd(X^3-1,X^2-1)\in \mathbb{Q}[X]$ 。
2. 为什么 $\mathbb{Z}[X]$ 不是 PID？它是否仍然是 UFD？
3. $X^4+4$ 在 $\mathbb{Q}[X]$ 中是否不可约？（提示：Sophie Germain 恒等式。）
4. 设 $f\in {\mathbb{F}}_2[X]$ ， $\mathrm{deg}(f)=3$ 。 $f$ 不可约当且仅当 $f$ 在 ${\mathbb{F}}_2$ 中没有根。这对 $\mathrm{deg}(f)=4$ 还成立吗？

**答案**

1. $X^3-1=(X-1)(X^2+X+1)$ ， $X^2-1=(X-1)(X+1)$ 。 $gcd=X-1$ （首一化）。
2. $\mathbb{Z}[X]$ 中的理想 $(2,X)$ 不是主理想（可以证明不存在 $d\in \mathbb{Z}[X]$ 使得 $(2,X)=(d)$ ）。但 $\mathbb{Z}[X]$ 仍然是 UFD，因为 $\mathbb{Z}$ 是 UFD 且高斯引理成立（§2.3）。
3. $X^4+4=(X^2+2X+2)(X^2-2X+2)$ （Sophie Germain 恒等式： $a^4+4b^4=(a^2+2ab+2b^2)(a^2-2ab+2b^2)$ ），所以可约。
4. 对 $\mathrm{deg}=3$ ：成立，因为三次多项式若可约必有线性因子（ $\mathrm{deg}=1+2$ 或 $1+1+1$ ）。对 $\mathrm{deg}=4$ ：不成立！例如 $f=(X^2+X+1{)}^2=X^4+X^2+1\in {\mathbb{F}}_2[X]$ 在 ${\mathbb{F}}_2$ 中没有根（ $f(0)=1,f(1)=1$ ），但它是可约的。正确的判据需要检查所有次数 $\le 2$ 的不可约因子（§4.2）。

---

← [第四章 · 目录](/chapters/04-polynomials/)[§4.2 不可约性判据 →](/chapters/04-polynomials/4.2-irreducibility)