§3.1 域的定义与基本性质

学习目标

1. 掌握域的公理化定义，理解域与整环、除环的关系。
2. 能判断给定的代数结构是否构成域。
3. 理解域的特征（characteristic）的概念及其两种可能取值。
4. 掌握素域（prime field）的概念，理解"每个域都建立在 $\mathbb{Q}$ 或 ${\mathbb{F}}_p$ 之上"。
5. 了解域的自同构群，为后续 Galois 理论做准备。

从环到域

动机

我们在第二章中看到，环是一个配备了加法和乘法的代数结构，但乘法不一定可逆。整环排除了零因子，但仍然不要求乘法可逆（例如 $\mathbb{Z}$ 中 $2$ 没有乘法逆元）。

域是"完美的算术世界"：加法和乘法都是群运算，加上分配律联系它们。域是线性代数、多项式理论和 Galois 理论的基本舞台。

定义 域

设 $K$ 是一个集合，配备两个二元运算 $+$ （加法）和 $\cdot$ （乘法）。称 $(K,+,\cdot )$ 为一个域（field），若以下公理成立：

(F1) 加法群： $(K,+)$ 是一个 Abel 群（见 [定义]），其零元记为 $0$ 。

(F2) 乘法群： $(K\setminus \{0\},\cdot )$ 是一个 Abel 群，其单位元记为 $1$ （ $1\ne 0$ ）。

(F3) 分配律：对所有 $a,b,c\in K$ ，有

$$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$$

注 域 vs. 除环

域要求乘法交换。若只要求 $(K\setminus \{0\},\cdot )$ 是群（不一定交换），则 $(K,+,\cdot )$ 称为除环（division ring）或体（skew field）。最著名的非交换除环是Hamilton 四元数$\mathbb{H}$ 。

Galois 理论完全在交换域的框架内工作。非交换除环虽有独立的理论（如 Brauer 群），但不在本教程的范围内。

$1\ne 0$ 不是多余的！

条件 " $1\ne 0$ " 是域定义的一部分，不是推论。如果允许 $1=0$ ，则对任意 $a\in K$ ，有 $a=a\cdot 1=a\cdot 0=0$ ，所以 $K=\{0\}$ 。这个只有一个元素的"域"是退化的，排除它是为了保证"非零元有逆元"这个条件有意义（ $K\setminus \{0\}$ 非空才能谈"乘法群"）。

注意：整环的定义也要求 $1\ne 0$ （或等价地， $|K|>1$ ），理由相同。

域的基本性质

命题

每个域都是整环（见 [定义]）。

证明. 设 $K$ 是域。由 (F2)， $K\setminus \{0\}$ 关于乘法封闭。设 $a,b\in K$ 且 $ab=0$ 。若 $a\ne 0$ ，则 $a\in K\setminus \{0\}$ ，故 $a$ 有乘法逆元 $a^{-1}$ 。于是

$$b=1\cdot b=(a^{-1}a)b=a^{-1}(ab)=a^{-1}\cdot 0=0$$

因此 $K$ 无零因子，即 $K$ 是整环。 $◼$

反之不成立

整环不一定是域。例如 $\mathbb{Z}$ 是整环但不是域（ $2$ 没有乘法逆元）。整环成为域的条件见 [定理]。

一般地，整环 $R$ 是域当且仅当 $R$ 是域当且仅当 $R$ 作为整环满足"每个非零元可逆"。§2.2 中的定理告诉我们： $R$ 是域当且仅当 $R$ 的理想只有 $(0)$ 和 $R$ 自身。

域的典型例子

例 常见的域

1. 有理数域$\mathbb{Q}$ ：特征 0。这是最小的特征 0 域（即 $\mathbb{Q}$ 是所有特征 0 域的子域）。

2. 实数域$\mathbb{R}$ ：特征 0。 $\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$ ，但 $\mathbb{R}$ 比 $\mathbb{Q}$ 大得多（包含超越数如 $\pi$ 和 $e$ ）。

3. 复数域$\mathbb{C}$ ：特征 0。 $\mathbb{C}=\mathbb{R}(i)$ ，其中 $i=\sqrt{-1}$ 。代数基本定理告诉我们 $\mathbb{C}$ 是代数闭域——每个非常数多项式在 $\mathbb{C}$ 中都有根。

4. 有限域${\mathbb{F}}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ （ $p$ 素数）：特征 $p$ 。例如 ${\mathbb{F}}_5=\{0,1,2,3,4\}$ ，其中 $2^{-1}=3$ （因为 $2\times 3=6\equiv 1(\mathrm{mod}5)$ ）。

5. 有限域的扩张${\mathbb{F}}_{p^n}$ （ $n\ge 1$ ）：特征 $p$ ， $|{\mathbb{F}}_{p^n}|=p^n$ 。例如 ${\mathbb{F}}_4=\{0,1,\alpha ,\alpha +1\}$ ，其中 ${\alpha }^2+\alpha +1=0$ 。详见第十章。

6. 有理函数域$\mathbb{Q}(x)$ ：所有有理函数 $f(x)/g(x)$ （ $f,g\in \mathbb{Q}[x]$ ， $g\ne 0$ ）构成的域。特征 0。

7. $p$ -进数域${\mathbb{Q}}_p$ ：特征 0。这是 $\mathbb{Q}$ 的完备化（关于 $p$ -进范数），在数论中有根本重要性。

例 不是域的例子

1. 整数环$\mathbb{Z}$ ：是整环但不是域。 $2$ 没有乘法逆元（ $1/2\notin \mathbb{Z}$ ）。

2. 多项式环$\mathbb{Q}[x]$ ：是整环但不是域。 $x$ 没有乘法逆元（ $1/x\notin \mathbb{Q}[x]$ ）。但 $\mathbb{Q}[x]$ 的分式域是 $\mathbb{Q}(x)$ 。

3. 矩阵环$M_2(\mathbb{R})$ ：不是域，甚至不是整环。 $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=0$ ，有零因子。

4. $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$：不是域（不是整环）。 $\bar{2}\cdot \bar{3}=\bar{0}$ ，有零因子。一般地， $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 是域当且仅当 $n$ 是素数。

5. Hamilton 四元数$\mathbb{H}$ ：是除环（非零元都有逆）但不是域（乘法不交换： $ij=k\ne -k=ji$ ）。

6. $\mathbb{R}[x]/(x^2+1)$：这实际上是域！ $\cong \mathbb{C}$ ，因为 $x^2+1$ 在 $\mathbb{R}$ 上不可约。但 $\mathbb{R}[x]/(x^2-1)$ 不是域，因为 $x^2-1=(x-1)(x+1)$ 可约。

域的构造方法

域通常不是从公理"凭空"构建的，而是从已有的代数结构构造：

1. 商环法： $R/\mathfrak{m}$ 是域，当 $\mathfrak{m}$ 是整环 $R$ 的极大理想（[定理]）。
2. 分式域法：每个整环 $R$ 都可以嵌入其分式域 $\mathrm{Frac}(R)$ （如 $\mathbb{Z}\to \mathbb{Q}$ ， $\mathbb{Q}[x]\to \mathbb{Q}(x)$ ）。
3. 多项式商法： $K[x]/(f)$ 是域，当 $f$ 在 $K$ 上不可约（见 §4.2 不可约性 和 §3.2 基本扩张）。
4. 分裂域法：给定多项式 $f\in K[x]$ ，存在包含 $f$ 所有根的最小扩张域（见 §5.1 分裂域）。

域的特征

定义 域的特征

设 $K$ 是域。定义单位元的加法阶为最小的正整数 $n$ 使得 $\underset{n}{\underbrace{1+1+\cdots +1}}=0$ 。若这样的 $n$ 不存在，则定义 $K$ 的特征（characteristic）为 $\mathrm{char}(K)=0$ ；否则 $\mathrm{char}(K)=n$ 。

定理 特征的性质

设 $K$ 是域。则：

1. $\mathrm{char}(K)$ 要么是 $0$ ，要么是素数 $p$ 。
2. 若 $\mathrm{char}(K)=p>0$ ，则对所有 $a\in K$ ，有 $\underset{p}{\underbrace{a+a+\cdots +a}}=p\cdot a=0$ 。
3. 若 $\mathrm{char}(K)=0$ ，则 $K$ 包含一个与 $\mathbb{Q}$ 同构的子域。
4. 若 $\mathrm{char}(K)=p$ （ $p$ 素数），则 $K$ 包含一个与 ${\mathbb{F}}_p$ 同构的子域。

证明.

(1) 设 $n=\mathrm{char}(K)>0$ ，我们证明 $n$ 是素数。反设 $n=rs$ ，其中 $1<r,s<n$ 。设 $e=1_K$ 。则

$$0=ne=(rs)e=(re)(se)$$

因为 $K$ 是域（从而是整环），故 $re=0$ 或 $se=0$ 。但 $1<r<n$ 且 $1<s<n$ ，这与 $n$ 是 $e$ 的最小正整数加法阶矛盾。因此 $n$ 必为素数。

(2) 设 $a\in K$ 。则

$$pa=p(ea)=(pe)a=0\cdot a=0$$

这里 $pe=0$ 由特征的定义保证。

(3) 定义 $\phi :\mathbb{Z}\to K$ 为 $\phi (n)=ne$ 。则 $\phi$ 是环同态， $\ker (\phi )=(p)$ （若 $\mathrm{char}(K)=p$ ）或 $\ker (\phi )=\{0\}$ （若 $\mathrm{char}(K)=0$ ）。在后一种情况下， $\phi$ 是单射。因为 $K$ 的非零元可逆， $\phi$ 可以扩展为 $\mathbb{Q}\to K$ ： $\phi (m/n)=(me)(ne{)}^{-1}$ 。这个扩展是单的域同态，因此 $\mathbb{Q}$ 嵌入 $K$ 。

(4) 若 $\mathrm{char}(K)=p$ ，则 $\phi$ 诱导 $\bar{\phi }:\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\to K$ ， $n+p\mathbb{Z}\mapsto ne$ 。因为 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 是域且 $\bar{\phi }$ 非零， $\bar{\phi }$ 是单射。 $◼$

证明中嵌入的关键论证

定理 (3) 和 (4) 的证明中有一个重要的构造：从环同态 $\phi :\mathbb{Z}\to K$ 出发，利用"每个域都是整环"这个事实，推导出 $\phi$ 要么是单射（char 0），要么核为 $(p)$ （char $p$ ），然后利用域的"除法"性质把 $\mathbb{Z}$ 的分式域 $\mathbb{Q}$ 也嵌入 $K$ 。

这个论证的模式是：先用环同态嵌入 $\mathbb{Z}$ ，再用域的性质扩展到 $\mathbb{Q}$ 或 ${\mathbb{F}}_p$。这个模式在 Galois 理论中会反复出现。

推论 特征的判别

设 $K$ 是域。则：

• $\mathrm{char}(K)=0$ 当且仅当 $K$ 包含 $\mathbb{Q}$ 的同构副本。
• $\mathrm{char}(K)=p$ 当且仅当 $K$ 中 $\underset{p}{\underbrace{1+1+\cdots +1}}=0$ 。
• $\mathrm{char}(K)=p$ 当且仅当 $K$ 包含 ${\mathbb{F}}_p$ 的同构副本。

例 特征的计算

1. $\mathrm{char}(\mathbb{Q})=0$ ：无论加多少个 $1$ ，都得不到 $0$ 。
2. $\mathrm{char}(\mathbb{R})=0$ ， $\mathrm{char}(\mathbb{C})=0$ 。
3. $\mathrm{char}({\mathbb{F}}_p)=p$ ： $\underset{p}{\underbrace{1+\cdots +1}}=p\equiv 0(\mathrm{mod}p)$ 。
4. $\mathrm{char}({\mathbb{F}}_{p^n})=p$ ：有限域 ${\mathbb{F}}_{p^n}$ 的特征总是 $p$ （它包含 ${\mathbb{F}}_p$ 作为素域）。
5. $\mathrm{char}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})=?$ ：当 $n$ 是素数 $p$ 时， $\mathrm{char}({\mathbb{F}}_p)=p$ 。当 $n$ 不是素数时， $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 不是域（有零因子），所以"特征"的概念不适用（特征只对域或整环定义）。

误区："特征可以是合数"

在域的范畴中，特征只能是 0 或素数。 这是定理 [定理] 的核心结论。

对于一般的环，特征可以是合数。例如 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 作为环的特征是 6（ $\underset{6}{\underbrace{1+\cdots +1}}=6\equiv 0$ ），但 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 不是域。域的"无零因子"条件排除了特征为合数的可能。

素域

定义 素域

域 $K$ 的素域（prime field）是 $K$ 的最小子域，即 $K$ 中所有子域的交。

命题

设 $K$ 是域。则 $K$ 的素域同构于 $\mathbb{Q}$ （若 $\mathrm{char}(K)=0$ ）或 ${\mathbb{F}}_p$ （若 $\mathrm{char}(K)=p>0$ ）。

证明.$K$ 的素域恰好是 $K$ 中包含 $1$ 的最小子域，即由 $1$ 生成的子域。由 [定理](3)(4)，这个子域同构于 $\mathbb{Q}$ 或 ${\mathbb{F}}_p$ 。 $◼$

直觉 素域的意义

素域是一个域的"算术基底"。在素域之上的所有域结构都建立在相同的算术规则之上。特征 $0$ 的域继承了有理数的算术；特征 $p$ 的域继承了模 $p$ 算术的"唯一性"——这在有限域理论（第十章）中将起到关键作用。

素域的概念也是 Galois 理论的起点：当我们讨论" $K$ -自同构"（即固定 $K$ 中所有元素的自同构）时，自同构总是自动固定素域中的所有元素（见下文 [命题]）。因此 " $\mathbb{Q}$ -自同构"和"自同构"对特征 0 的域来说是同一件事。

子域

定义 子域

设 $K$ 是域， $L\subseteq K$ 。称 $L$ 是 $K$ 的子域（subfield），若 $L$ 关于 $K$ 的加法和乘法自身构成域。

命题 子域判别

设 $K$ 是域， $L\subseteq K$ 满足 $0,1\in L$ 且 $L\ne \{0\}$ 。则 $L$ 是 $K$ 的子域当且仅当：

1. $L$ 关于加法封闭；
2. $L$ 关于乘法封闭；
3. 对每个 $a\in L\setminus \{0\}$ ，有 $a^{-1}\in L$ 。

证明. ( $\Rightarrow$ ) 若 $L$ 是子域，则条件由域的定义直接得到。

( $\Leftarrow$ ) 条件 (1)(2) 保证 $L$ 关于 $K$ 的运算封闭。加法结合律、交换律、分配律等在 $K$ 中成立，自然在 $L$ 中也成立。条件 (3) 保证非零元有逆。零元 $0\in L$ ，单位元 $1\in L$ 。因此 $L$ 是域。 $◼$

例 子域的例子

1. $\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}$ 。每个包含关系都是子域关系。

2. $\mathbb{Q}(\sqrt{2})=\{a+b\sqrt{2}:a,b\in \mathbb{Q}\}$ 是 $\mathbb{R}$ 的子域。验证封闭性： $(a+b\sqrt{2}{)}^{-1}=\frac{a-b\sqrt{2}}{a^2-2b^2}\in \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ （当 $a^2-2b^2\ne 0$ 时）。这里 $\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$ 保证了 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})\ne \mathbb{Q}$ 。

3. ${\mathbb{F}}_p$ 是 ${\mathbb{F}}_{p^n}$ 的子域（也是素域）。更一般地， ${\mathbb{F}}_{p^m}\subseteq {\mathbb{F}}_{p^n}$ 当且仅当 $m\mid n$ 。

4. $\mathbb{Q}(\pi )=\{f(\pi )/g(\pi ):f,g\in \mathbb{Q}[x],g(\pi )\ne 0\}$ 是 $\mathbb{R}$ 的子域。注意 $\pi$ 是超越数（不在任何 $\mathbb{Q}$ 上的代数方程中），所以 $\mathbb{Q}(\pi )\cong \mathbb{Q}(x)$ （有理函数域）。

子域的"生成"

给定域 $K$ 和子集 $S\subseteq K$ ，由 $S$ 生成的子域$K(S)$ 是 $K$ 中包含 $S$ 的最小子域（即所有包含 $S$ 的子域的交）。当 $S=\{\alpha \}$ 时，记 $K(\alpha )$ 。

• 若 $\alpha$ 是 $K$ 上的代数元素（满足某个 $K$ 上的多项式方程），则 $K(\alpha )\cong K[x]/(m_{\alpha })$ ，其中 $m_{\alpha }$ 是 $\alpha$ 在 $K$ 上的极小多项式（见 §3.3 代数元素）。
• 若 $\alpha$ 是超越元素，则 $K(\alpha )\cong K(x)$ （有理函数域）。

域的自同构

定义 域的自同构

域 $K$ 的自同构（automorphism）是双射的域同态 $\sigma :K\to K$ 。 $K$ 的所有自同构在复合运算下构成群，记为 $\mathrm{Aut}(K)$ 。

命题 自同构保持素域

设 $\sigma \in \mathrm{Aut}(K)$ 。则 $\sigma$ 固定 $K$ 的素域中的每个元素，即 $\sigma {|}_{\mathbb{P}}={\mathrm{id}}_{\mathbb{P}}$ ，其中 $\mathbb{P}$ 是 $K$ 的素域。

证明.

• $\sigma (0)=0$ （域同态保持零元）。
• $\sigma (1)=1$ （域同态保持单位元）。
• 由 $\sigma (1)=1$ 和加法保持， $\sigma (n\cdot 1)=n\cdot 1$ 对所有 $n\in \mathbb{Z}$ 成立。
• 若 $\mathrm{char}(K)=0$ ，则 $\sigma (m/n)=\sigma (m\cdot 1)\cdot (\sigma (n\cdot 1){)}^{-1}=(m\cdot 1)(n\cdot 1{)}^{-1}=m/n$ 。
• 若 $\mathrm{char}(K)=p$ ，则素域由 $\{0,1,2\cdot 1,\dots ,(p-1)\cdot 1\}$ 组成， $\sigma$ 固定每个元素。 $◼$

例 自同构的具体计算

1. $\mathrm{Aut}(\mathbb{Q})=\{id\}$ ：因为 $\mathbb{Q}$ 是素域，自同构必须固定素域的每个元素，所以只有恒等映射。

2. $\mathrm{Aut}(\mathbb{R})=\{id\}$ ： $\mathbb{R}$ 的自同构必须固定 $\mathbb{Q}$ （素域），而且必须保持序关系（ $a>0\iff a=b^2$ 对某 $b$ ），从而固定所有实数。但这个证明需要额外的论证。

3. $\mathrm{Aut}(\mathbb{C})$ 包含复共轭 $\sigma :z\mapsto \overline{z}$ 。事实上 $\mathrm{Aut}(\mathbb{C})$ 非常大（不可数），但连续的自同构只有 $id$ 和复共轭。这个微妙之处展示了抽象自同构和"几何自同构"的区别。

4. $\mathrm{Aut}(\mathbb{Q}(\sqrt{2}))=\{id,\sigma \}$ ，其中 $\sigma :a+b\sqrt{2}\mapsto a-b\sqrt{2}$ 。 $\sigma$ 固定 $\mathbb{Q}$ 并将 $\sqrt{2}$ 映射为 $-\sqrt{2}$ 。 $|\mathrm{Aut}(\mathbb{Q}(\sqrt{2}))|=[\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}]=2$ ——这正是 Galois 理论核心定理的特例。

5. $\mathrm{Aut}({\mathbb{F}}_4)=\{id,\varphi \}$ ，其中 $\varphi :x\mapsto x^2$ （Frobenius 自同构）。 $\varphi$ 固定 ${\mathbb{F}}_2$ 并将 $\alpha$ 映射为 ${\alpha }^2=\alpha +1$ 。 $|\mathrm{Aut}({\mathbb{F}}_4)|=[{\mathbb{F}}_4:{\mathbb{F}}_2]=2$ 。详见 §10.2 Frobenius。

$K$ -自同构

设 $K\subseteq L$ 是域扩张。 $L$ 的** $K$ -自同构**是固定 $K$ 中每个元素的自同构 $\sigma \in \mathrm{Aut}(L)$ 。所有 $K$ -自同构构成 $\mathrm{Aut}(L)$ 的子群，记为 ${\mathrm{Aut}}_K(L)$ 或 $\mathrm{Aut}(L/K)$ 。

由 [命题]，自同构总是固定素域。因此：

• 对特征 0 的域，" $\mathbb{Q}$ -自同构" = "自同构"。
• 对特征 $p$ 的域，" ${\mathbb{F}}_p$ -自同构" = "自同构"。

当我们说" $K$ -自同构"时，通常 $K$ 比素域大。例如 " $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ -自同构"要求同时固定 $\sqrt{2}$ 。Galois 群 $\mathrm{Gal}(L/K)={\mathrm{Aut}}_K(L)$ 就是这样的 $K$ -自同构群（见 §7 Galois 群）。

直觉 自同构的直觉

域的自同构是"保持所有域结构的对称变换"。因为自同构必须固定素域，所以对 $\mathbb{Q}$ 上的域来说，自同构是"固定有理数的对称"。Galois 理论的核心洞察是：域扩张的自同构群（Galois 群）编码了多项式根之间的对称关系。

例如， $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 有两个自同构：恒等和 $\sqrt{2}\mapsto -\sqrt{2}$ 。这两个自同构交换了多项式 $x^2-2$ 的两个根 $\sqrt{2}$ 和 $-\sqrt{2}$ 。Galois 群 $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q})\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 精确地记录了这种对称性。

常见误区

误区一："域的特征可以是 6"

错误！ 域的特征只能是 0 或素数。 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 的"加法特征"是 6，但 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 不是域（ $\bar{2}\cdot \bar{3}=\bar{0}$ ）。特征为合数的环一定有零因子，因此不可能是域。

误区二：" $\mathrm{Aut}(\mathbb{R})$ 包含非平凡自同构"

错误（在连续自同构的范畴中）。$\mathrm{Aut}(\mathbb{R})=\{id\}$ 。原因：自同构必须固定 $\mathbb{Q}$ ，且保持非负性（ $a\ge 0\iff a=b^2$ 对某 $b$ ），从而固定所有实数。

但注意：如果不要求连续性，利用选择公理可以构造 $\mathbb{R}$ 的非平凡自同构。不过这种自同构是"病态的"——它们不是可测函数。在代数语境中， $\mathrm{Aut}(\mathbb{R})$ 通常指连续自同构或有序自同构。

误区三："子域判别只需验证加法和乘法封闭"

不完整！ 还需要验证逆元封闭。例如 $\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}$ 关于加法和乘法封闭，但 $\mathbb{Z}$ 不是 $\mathbb{Q}$ 的子域（ $2^{-1}=1/2\notin \mathbb{Z}$ ）。

子域判别 [命题] 的三个条件缺一不可。

误区四："自同构不固定素域"

错误！ 任何域自同构都固定素域的每个元素。这是 [命题] 的结论。特别地，" $\mathbb{Q}$ -自同构"对特征 0 域来说就是"自同构"——没有额外的约束。

自测问题

习题 自测

1. 域的判断：判断以下集合是否构成域，并说明理由：

   • (a) $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]=\{a+b\sqrt{2}:a,b\in \mathbb{Z}\}$
   • (b) $\mathbb{Q}(\sqrt{2})=\{a+b\sqrt{2}:a,b\in \mathbb{Q}\}$
   • (c) $\{0,1,2\}$ 关于模 3 加法和乘法

2. 特征计算： $\mathrm{char}({\mathbb{F}}_9)$ 等于什么？（ ${\mathbb{F}}_9$ 是 9 元有限域。）

3. 子域列举： $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ 的子域有哪些？（提示：这是一个 4 次扩张。）

4. 自同构计算： $\mathrm{Aut}(\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}))$ 同构于什么群？

5. 概念辨析：解释为什么 $\mathbb{Q}[x]/(x^2+1)$ 是域，但 $\mathbb{Q}[x]/(x^2-1)$ 不是域。

答案

1. (a) 不是域。 $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ 关于加法和乘法封闭，但不是每个非零元都有逆元。例如 $2^{-1}=1/2\notin \mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ 。 $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ 是整环但不是域。(b) 是域。 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 是域——它是 $\mathbb{R}$ 的子域。(c) 是域。 $={\mathbb{F}}_3$ ，因为 3 是素数。

2. $\mathrm{char}({\mathbb{F}}_9)=3$ 。所有 ${\mathbb{F}}_{3^n}$ 的特征都是 3。 ${\mathbb{F}}_9={\mathbb{F}}_{3^2}$ ，素域是 ${\mathbb{F}}_3$ 。

3. $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ 的子域（在 $\mathbb{Q}$ 之上）： $\mathbb{Q}$ ， $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ ， $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ ， $\mathbb{Q}(\sqrt{6})$ ， $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ 。共 5 个。

4. $\mathrm{Aut}(\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})/\mathbb{Q})\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ （Klein 四元群）。四个元素： $id$ ， $\sqrt{2}\mapsto -\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}\mapsto -\sqrt{3}$ ，两者同时变号。

5. $x^2+1$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约（无有理根），所以 $\mathbb{Q}[x]/(x^2+1)\cong \mathbb{Q}(i)$ 是域。 $x^2-1=(x-1)(x+1)$ 在 $\mathbb{Q}$ 上可约，所以 $\mathbb{Q}[x]/(x^2-1)\cong \mathbb{Q}\times \mathbb{Q}$ 有零因子（ $(x-1)(x+1)=0$ ），不是域。

交叉引用

本节概念	关联章节	关联内容
域的定义	§2.1 环的基本定义	域是特殊的整环
特征	§10.1 有限域的结构	特征 $p$ 决定有限域的素域
素域	§3.2 基本扩张	素域嵌入与扩张的起点
子域判别	§3.3 代数元素	$K(\alpha )$ 是包含 $\alpha$ 的最小子域
自同构	§7.1 Galois 群的定义	Galois 群是特殊的自同构群
Frobenius 自同构	§10.2 Frobenius	特征 $p$ 域的 Frobenius 映射
分式域	§2.3 多项式环	整环的分式域构造

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本节要点

1. 域是有加法和乘法两个群结构的代数系统，每个非零元都有乘法逆元。
2. 每个域都是整环，但反之不成立。
3. 域的特征只能是 0 或素数 $p$ 。
4. 每个域都包含素域 $\mathbb{Q}$ （char 0）或 ${\mathbb{F}}_p$ （char $p$ ）。
5. 域的自同构自动固定素域；Galois 群是固定基域的自同构群。

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