§1.1 群的定义与基本性质

动机

对称性是数学中最深刻的概念之一。一个正三角形的旋转对称、一个多项式根的置换、一个几何图形的自同构——这些表面不同的现象共享同一个代数结构：群。群的本质是将"变换的组合"抽象为公理系统。

本节建立群的公理体系，并证明最基本的结构性质：单位元与逆元的唯一性、消去律、对称群与 Cayley 定理。这些结果虽看似简单，却是整个 Galois 理论的基石——从 [定义] 出发，经由 [定义]、[定义]，最终抵达 §8 Galois 对应 中子群与中间域的深刻对偶。

学习目标

通过本节学习，你应该能够：

1. 精确陈述群的三条公理，解释每条公理的作用以及为什么去掉任何一条都会丧失本质。
2. 验证一个给定的代数结构是否为群，包括检查结合律（这是最难验证的公理）。
3. 辨识常见群族：对称群 $S_n$ 、循环群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 、一般线性群 ${\mathrm{GL}}_n(K)$ 、平凡群。
4. 计算具体群中元素的阶、乘积表、生成子群。
5. 应用 Cayley 定理理解"群本质上是对称变换"。
6. 区分群、幺半群、半群之间的层次关系，以及"群"与"仅满足部分公理的代数结构"的关键差异。

阅读路线建议

• 快速路径（有代数基础的读者）：直接阅读定义 → 跳到对称群和 Cayley 定理 → 进入 §1.2。
• 完整路径（初学者）：按顺序阅读，特别注意非例子和常见误区部分——它们往往比正确定义更能揭示概念的本质。

定义 1.1.1 · 群

定义 群 (Group)

设 $G$ 是一个非空集合， $\cdot :G\times G\to G$ 是 $G$ 上的一个二元运算。称 $(G,\cdot )$ 为一个群，如果满足以下三条公理：

(G1) 结合律：对所有 $a,b,c\in G$ ，

$$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$$

(G2) 单位元存在：存在 $e\in G$ ，使得对所有 $a\in G$ ，

$$e\cdot a=a\cdot e=a$$

(G3) 逆元存在：对每个 $a\in G$ ，存在 $a^{-1}\in G$ ，使得

$$a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=e$$

记号

在不引起歧义时，我们通常省略运算符号，将 $a\cdot b$ 简写为 $ab$ 。群 $G$ 的运算常称为乘法（即使 $G$ 不是数的集合）。当群的运算用加号 $+$ 表示时，单位元记为 $0$ ，逆元记为 $-a$ 。

注

仅满足 (G1) 和 (G2) 的代数结构称为幺半群 (monoid)；仅满足 (G1) 的称为半群 (semigroup)。群的特殊之处在于每个元素都可逆——这赋予了群"对称性"的本质特征。

非例子：为什么逆元公理不可省略

理解群的最好方式之一，是看看去掉逆元后会发生什么：

例 整数加法幺半群

$({\mathbb{N}}_0,+)$ （非负整数在加法下）是幺半群但不是群。单位元是 $0$ ，结合律和交换律都成立，但除了 $0$ 以外没有元素有逆元——例如不存在 $n\in {\mathbb{N}}_0$ 使得 $3+n=0$ 。

例 非零矩阵乘法

$n\times n$ 实矩阵全体 $M_n(\mathbb{R})$ 在矩阵乘法下是幺半群（单位元为 $I_n$ ，结合律成立），但不是群——不可逆矩阵（如零矩阵、奇异矩阵）没有逆元。如果限制到可逆矩阵，就得到群 ${\mathrm{GL}}_n(\mathbb{R})$ （见下方例子）。

常见误区

初学者常犯以下错误：

1. 混淆"有左逆"和"有逆"：在半群中，一个元素可能有左逆但没有右逆（或反之）。群的公理要求双边逆元 $a{a}^{-1}=a^{-1}a=e$ 。仅此一条就排除了大量"病态"代数结构。

2. 认为结合律是"显然的"：实际上，矩阵加法是结合的，但矩阵乘法是结合的这一点需要证明。减法 $(a-b)-c\ne a-(b-c)$ 就不满足结合律，因此 $(\mathbb{Z},-)$ 不是群也不是半群。

3. 忽略封闭性：群的定义要求 $\cdot :G\times G\to G$ ，即运算必须在 $G$ 内封闭。例如 $(\mathbb{Z},÷)$ 不是群，因为 $1÷2\notin \mathbb{Z}$ 。

单位元和逆元的唯一性

公理只断言单位元和逆元的存在，但我们马上可以证明它们实际上是唯一的。这是典型的"公理弱但结论强"的例子。

引理 单位元的唯一性

群 $(G,\cdot )$ 的单位元是唯一的。

证明

设 $e$ 和 $e^{\prime }$ 都是 $G$ 的单位元。则：

$$e=e\cdot e^{\prime }=e^{\prime }$$

第一个等号利用 $e^{\prime }$ 是右单位元，第二个等号利用 $e$ 是左单位元。故 $e=e^{\prime }$ 。

引理 逆元的唯一性

设 $G$ 为群， $a\in G$ 。则 $a$ 的逆元唯一。

证明

设 $b$ 和 $c$ 都是 $a$ 的逆元，即 $ab=ba=e$ ， $ac=ca=e$ 。则：

$$b=be=b(ac)=(ba)c=ec=c$$

第一个等号用 $e$ 是单位元，第二个用 $ac=e$ ，第三个用结合律，第四个用 $ba=e$ ，第五个用 $e$ 是单位元。故逆元唯一。

记号

唯一确定的单位元通常记为 $e$ （或 $1_G$ ），元素 $a$ 的唯一逆元记为 $a^{-1}$ 。

交换群

定义 交换群 (Abelian Group)

若群 $(G,\cdot )$ 还满足交换律：对所有 $a,b\in G$ ， $ab=ba$ ，则称 $G$ 为交换群或 Abel 群。

注

Abel 群的运算通常用加号 $+$ 表示，此时交换律变为 $a+b=b+a$ 。我们需要注意区分乘法记号群和加法记号群的约定——在加法记号下， $2a$ 表示 $a+a$ 而非 $a$ 的平方。

记号陷阱

初学者常犯的记号错误：

1. 在乘法群中写 $2a$：这在乘法记号下没有意义（不是群运算），正确写法是 $a^2=a\cdot a$ 或 $a\cdot a$ 。
2. 在加法群中写 $ab$：应写 $a+b$ 。
3. 在加法群中写 $a^{-1}$：应写 $-a$ 。加法群的单位元记为 $0$ 而非 $e$ 。
4. 在加法群中写 $a^n$：应写 $na=\underset{n\text{ 次}}{\underbrace{a+a+\cdots +a}}$ 。

总结：一旦选定记号（乘法或加法），全篇保持一致。本书中，非交换群一律用乘法记号，交换群通常用加法记号（但也有例外，如有限域的乘法群 ${\mathbb{F}}_q^{\times }$ ）。

基本性质

引理 幂运算律

设 $G$ 为群， $a\in G$ ， $m,n\in \mathbb{Z}$ 。则：

1. $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$
2. $(a^m{)}^n=a^{mn}$
3. $(a^{-1}{)}^{-1}=a$

证明

(1) 对 $n\ge 0$ ，对 $n$ 归纳： $a^m\cdot a^0=a^m\cdot e=a^m=a^{m+0}$ ，归纳步骤 $a^m\cdot a^{n+1}=a^m\cdot a^n\cdot a=a^{m+n}\cdot a=a^{m+n+1}$ 。对 $n<0$ ，令 $n=-k$ ， $k>0$ ：

$$a^m\cdot a^{-k}=a^m\cdot (a^k{)}^{-1}=a^{m-k}$$

这是因为 $a^m=a^{m-k}\cdot a^k$ （由正指数情况），从而 $a^m\cdot (a^k{)}^{-1}=a^{m-k}$ 。

(2) 对 $n\ge 0$ 归纳，方法类似。

(3) 由逆元的定义直接得到： $a^{-1}\cdot (a^{-1}{)}^{-1}=e$ 且 $a^{-1}\cdot a=e$ ，由 [引理] 知 $(a^{-1}{)}^{-1}=a$ 。

引理 消去律

设 $G$ 为群， $a,b,c\in G$ 。

1. (左消去) 若 $ab=ac$ ，则 $b=c$ 。
2. (右消去) 若 $ba=ca$ ，则 $b=c$ 。

证明

在 $ab=ac$ 两边左乘 $a^{-1}$ ： $a^{-1}(ab)=a^{-1}(ac)$ ，由结合律 $(a^{-1}a)b=(a^{-1}a)c$ ，即 $eb=ec$ ，故 $b=c$ 。右消去类似。

引理 方程解

设 $G$ 为群， $a,b\in G$ 。则方程 $ax=b$ 和 $ya=b$ 在 $G$ 中各有唯一解，分别为 $x=a^{-1}b$ 和 $y=b{a}^{-1}$ 。

证明

对 $ax=b$ ：若 $x$ 满足方程，则 $a^{-1}(ax)=a^{-1}b$ ，即 $x=a^{-1}b$ 。反过来， $a(a^{-1}b)=(a{a}^{-1})b=eb=b$ 。唯一性和存在性均得证。另一方程类似。

例 在 $S_3$ 中解方程

设 $a=(12)$ ， $b=(123)$ ，解 $ax=b$ 。

$$x=a^{-1}b=(12{)}^{-1}\cdot (123)=(12)(123)=(23)$$

验证： $ax=(12)(23)=(123)=b$ 。✓

同样解 $ya=b$ ：

$$y=b{a}^{-1}=(123)(12)=(13)$$

注意 $ax=b$ 和 $ya=b$ 通常给出不同的解，因为 $S_3$ 非交换。

对称群

定义 置换

设 $X$ 为非空集合。 $X$ 到自身的双射$\sigma :X\to X$ 称为 $X$ 的一个置换。

定理 对称群

设 $X$ 为非空集合。 $X$ 的所有置换在映射复合下构成一个群 $\mathrm{Sym}(X)$ ，称为 $X$ 的对称群。当 $|X|=n$ （有限集）时，记 $S_n=\mathrm{Sym}(X)$ ，其阶为 $|S_n|=n!$ 。

证明

我们验证群公理：

(G1) 结合律：映射的复合天然满足结合律。若 $\sigma ,\tau ,\rho$ 都是 $X$ 的置换，则对任意 $x\in X$ ：

$$((\sigma \circ \tau )\circ \rho )(x)=(\sigma \circ \tau )(\rho (x))=\sigma (\tau (\rho (x)))=\sigma ((\tau \circ \rho )(x))=(\sigma \circ (\tau \circ \rho ))(x)$$

(G2) 单位元：恒等映射 ${\mathrm{id}}_X:x\mapsto x$ 是双射，且 $\sigma \circ \mathrm{id}=\mathrm{id}\circ \sigma =\sigma$ 。

(G3) 逆元：双射 $\sigma$ 的逆映射 ${\sigma }^{-1}$ 也是双射（因为双射的逆仍是双射），且 $\sigma \circ {\sigma }^{-1}={\sigma }^{-1}\circ \sigma =\mathrm{id}$ 。

最后， $|X|=n$ 时，双射的个数恰好是从 $n$ 个元素中选排列的个数，即 $n!$ 。

注

对称群 $S_n$ 是所有有限群的"母体"。下面的 Cayley 定理 ([定理]) 将表明，每一个有限群都可以看作某个 $S_n$ 的子群。

例子

例 $S_3$ 的结构

$S_3$ 是最小的非交换群，它有 $3!=6$ 个元素。用轮换记号表示：

$$S_3=\{e,(12),(13),(23),(123),(132)\}$$

其中 $(123)$ 表示 $1\mapsto 2\mapsto 3\mapsto 1$ 的轮换。注意 $(12)(13)=(132)\ne (123)=(13)(12)$ ，这说明 $S_3$ 非交换。

$S_3$ 的乘法表

以下完整列出 $S_3$ 的乘法表（先做右边的置换，再做左边的）：

$\circ$	$e$	$(12)$	$(13)$	$(23)$	$(123)$	$(132)$
$e$	$e$	$(12)$	$(13)$	$(23)$	$(123)$	$(132)$
$(12)$	$(12)$	$e$	$(132)$	$(123)$	$(23)$	$(13)$
$(13)$	$(13)$	$(123)$	$e$	$(132)$	$(12)$	$(23)$
$(23)$	$(23)$	$(132)$	$(123)$	$e$	$(13)$	$(12)$
$(123)$	$(123)$	$(13)$	$(23)$	$(12)$	$(132)$	$e$
$(132)$	$(132)$	$(23)$	$(12)$	$(13)$	$e$	$(123)$

观察

从乘法表可以看到几个重要特征：

1. 非交换：例如 $(12)(13)=(132)\ne (123)=(13)(12)$ 。
2. 每个元素的阶： $|(12)|=|(13)|=|(23)|=2$ ， $|(123)|=|(132)|=3$ 。
3. 子群： $\{e,(12)\}$ 是 2 阶子群； $\{e,(123),(132)\}$ 是 3 阶子群。
4. 正规子群： $\{e,(123),(132)\}$ 是正规子群（它是唯一的 3 阶子群），而 2 阶子群都不是正规的。这将在 [定义] 中详细讨论。

母群 正规子群 非正规子群 平凡子群

例 循环群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

设 $n\ge 1$ 。整数模 $n$ 的剩余类集合 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\{\bar{0},\bar{1},\dots ,\overline{n-1}\}$ 在模 $n$ 加法下构成交换群。单位元是 $\bar{0}$ ， $\bar{k}$ 的逆元是 $\overline{n-k}$ 。

例 四元数群 $Q_8$

四元数群 $Q_8=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}$ 满足 $i^2=j^2=k^2=ijk=-1$ 。 $Q_8$ 是 8 阶非交换群，与二面体群 $D_4$ 同阶但不同构（ $Q_8$ 中只有 $-1$ 的阶为 2，而 $D_4$ 有多个 2 阶元素）。详见 [例]。

更多例子与非例子

例 $S_2$ ——最简单的非平凡群

$S_2=\{e,(12)\}$ 只有两个元素：恒等映射和对换。乘法表为：

$\cdot$	$e$	$(12)$
$e$	$e$	$(12)$
$(12)$	$(12)$	$e$

这就是 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 的另一个实现。它是最小的非平凡群，也是唯一的 2 阶群（同构意义下）。

例 Klein 四元群 $V_4$

$V_4=\{e,a,b,c\}$ ，其中每个非单位元素的阶都是 2，且 $ab=c$ ， $bc=a$ ， $ca=b$ 。乘法表：

$\cdot$	$e$	$a$	$b$	$c$
$e$	$e$	$a$	$b$	$c$
$a$	$a$	$e$	$c$	$b$
$b$	$b$	$c$	$e$	$a$
$c$	$c$	$b$	$a$	$e$

$V_4$ 是最小的非循环群，也是最小的非交换群 $S_3$ 的正规子群结构的基础（见 [例]）。它同构于 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 。

例 一般线性群 ${\mathrm{GL}}_n(K)$

设 $K$ 为域。 $n\times n$可逆矩阵全体 ${\mathrm{GL}}_n(K)$ 在矩阵乘法下构成群：

• 结合律：矩阵乘法天然结合。
• 单位元： $n\times n$ 单位矩阵 $I_n$ 。
• 逆元：每个可逆矩阵 $A$ 都有逆矩阵 $A^{-1}$ 。

${\mathrm{GL}}_n(K)$ 是无穷群（当 $|K|=\mathrm{\infty }$ ），且非交换（ $n\ge 2$ 时）。例如 $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)\ne \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ 。

特别地， ${\mathrm{GL}}_1(K)=K^{\times }=K\setminus \{0\}$ （域的乘法群），这是 §10 有限域 的核心对象。

例 平凡群

只含一个元素 $e$ 的集合 $\{e\}$ ，运算为 $e\cdot e=e$ ，构成一个群，称为平凡群。它是每个群 $G$ 的子群（因 $e\in G$ ）。虽然无趣，但在证明"存在性"命题时常作为起点。

例 整数加法群 $(\mathbb{Z},+)$

$(\mathbb{Z},+)$ 是无穷循环群，由 $1$ （或 $-1$ ）生成。这是循环群分类定理 ([定理]) 中"无穷循环群"的标准模型。

例 实数加法群 vs 实数乘法

$(\mathbb{R},+)$ 是交换群，但 $(\mathbb{R},\times )$ 不是群（因为 $0$ 没有乘法逆元）。然而 $(\mathbb{R}\setminus \{0\},\times )$ 是交换群。这再次说明：验证群时，必须检查所有元素都有逆元。

Cayley 定理

定理 Cayley 定理

每个群 $G$ 都同构于某个对称群 $\mathrm{Sym}(G)$ 的子群。特别地，每个 $n$ 阶有限群都同构于 $S_n$ 的某个子群。

证明

对每个 $a\in G$ ，定义左平移映射${\lambda }_a:G\to G$ 为 ${\lambda }_a(x)=ax$ 。

断言 1： ${\lambda }_a$ 是 $G$ 上的双射。

• 单射：若 ${\lambda }_a(x)={\lambda }_a(y)$ ，即 $ax=ay$ ，由 [引理]（左消去律）， $x=y$ 。
• 满射：对任意 $y\in G$ ，取 $x=a^{-1}y$ ，则 ${\lambda }_a(x)=a(a^{-1}y)=y$ 。

断言 2：映射 $\phi :G\to \mathrm{Sym}(G)$ ， $\phi (a)={\lambda }_a$ 是群同态。

$$({\lambda }_a\circ {\lambda }_b)(x)={\lambda }_a({\lambda }_b(x))={\lambda }_a(bx)=a(bx)=(ab)x={\lambda }_{ab}(x)$$

故 ${\lambda }_a\circ {\lambda }_b={\lambda }_{ab}$ ，即 $\phi (ab)=\phi (a)\circ \phi (b)$ 。

断言 3： $\phi$ 是单射。

若 $\phi (a)=\phi (b)$ ，即 ${\lambda }_a={\lambda }_b$ ，则 ${\lambda }_a(e)={\lambda }_b(e)$ ，即 $ae=be$ ，故 $a=b$ 。

因此 $\phi$ 将 $G$ 嵌入 $\mathrm{Sym}(G)$ 为子群，即 $G\cong \phi (G)\le \mathrm{Sym}(G)$ 。当 $|G|=n$ 时， $\mathrm{Sym}(G)\cong S_n$ 。

直觉

Cayley 定理的意义在于：群的抽象公理实际上完全刻画了"对称变换"的本质。每个群元素都可以被理解为在某个对象集合上的一个变换——这就是群作用的观点，也是后续 §7 Galois 群 中 Galois 群作为域自同构群的核心思想。

例 Cayley 嵌入的具体实现： $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\hookrightarrow S_3$

让我们实际构造 Cayley 定理中的嵌入。取 $G=\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2}\}$ 。

三个左平移映射为：

• ${\lambda }_{\overline{0}}:\overline{0}\mapsto \overline{0},\overline{1}\mapsto \overline{1},\overline{2}\mapsto \overline{2}$ （恒等）
• ${\lambda }_{\overline{1}}:\overline{0}\mapsto \overline{1},\overline{1}\mapsto \overline{2},\overline{2}\mapsto \overline{0}$ （即轮换 $(012)$ ）
• ${\lambda }_{\overline{2}}:\overline{0}\mapsto \overline{2},\overline{1}\mapsto \overline{0},\overline{2}\mapsto \overline{1}$ （即轮换 $(021)$ ）

验证： ${\lambda }_{\overline{1}}\circ {\lambda }_{\overline{2}}={\lambda }_{\overline{0}}$ ，对应 $(012)(021)=\text{id}$ 。因此嵌入映射 $\phi :\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\to S_3$ 为

$$\overline{0}\mapsto e,\overline{1}\mapsto (012),\overline{2}\mapsto (021)$$

这是一个单同态，其像 $\{e,(012),(021)\}$ 是 $S_3$ 的一个 3 阶子群。这也说明 3 阶循环群在 $S_3$ 中本质上是唯一的。

元素的阶

定义 元素的阶

设 $G$ 为群， $a\in G$ 。若存在最小的正整数 $n$ 使得 $a^n=e$ ，则称 $a$ 的阶为 $n$ ，记为 $|a|=n$ 或 $\mathrm{ord}(a)=n$ 。若不存在这样的正整数，称 $a$ 的阶为无穷。

引理 阶的性质

设 $G$ 为群， $a\in G$ 的阶为 $n<\mathrm{\infty }$ 。

1. $a^m=e$ 当且仅当 $n\mid m$ 。
2. $|a^k|={\displaystyle \frac{n}{gcd(n,k)}}$ 。

证明

(1) 设 $m=qn+r$ ， $0\le r<n$ 。则 $a^m=a^{qn+r}=(a^n{)}^q\cdot a^r=e\cdot a^r=a^r$ 。故 $a^m=e$ 当且仅当 $a^r=e$ 。由 $n$ 的最小性， $r=0$ ，即 $n\mid m$ 。

(2) 令 $d=gcd(n,k)$ ， $n^{\prime }=n/d$ ， $k^{\prime }=k/d$ 。则 $|a^k|$ 是使得 $(a^k{)}^t=e$ 的最小正整数 $t$ ，即 $a^{kt}=e$ 。由 (1)， $n\mid kt$ ，即 $n^{\prime }d\mid k^{\prime }dt$ ，等价于 $n^{\prime }\mid k^{\prime }t$ 。由于 $gcd(n^{\prime },k^{\prime })=1$ ，这等价于 $n^{\prime }\mid t$ 。最小的这样的正整数为 $t=n^{\prime }=n/d$ 。

阶的计算实践

例 在 $S_3$ 中计算阶

回忆 $S_3=\{e,(12),(13),(23),(123),(132)\}$ 。

• $(12)$ ： $(12{)}^2=e$ ，所以 $|(12)|=2$ 。
• $(123)$ ： $(123{)}^2=(132)$ ， $(123{)}^3=e$ ，所以 $|(123)|=3$ 。
• $(132)$ ： $(132{)}^2=(123)$ ， $(132{)}^3=e$ ，所以 $|(132)|=3$ 。

利用引理 [引理] 的公式： $|(123{)}^2|=|(132)|=\frac{3}{gcd(2,3)}=3$ 。

例 在 $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ 中计算阶

在 $(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z},+)$ 中：

元素	$\overline{1}$	$\overline{2}$	$\overline{3}$	$\overline{4}$	$\overline{5}$	$\overline{6}$	$\overline{7}$	$\overline{8}$	$\overline{9}$	$\overline{10}$	$\overline{11}$
阶	12	6	4	3	12	2	12	3	4	6	12

生成元恰好是与 12 互素的元素： $\overline{1},\overline{5},\overline{7},\overline{11}$ 。根据公式 $|\overline{k}|=\frac{12}{gcd(k,12)}$ 。

例 验证拉格朗日定理

$S_3$ 的元素阶分别为 $1,2,2,2,3,3$ 。所有阶都是 $|S_3|=6$ 的因子。这就是 [定理]（§1.2）的直接体现。

子群生成

定义 生成子群

设 $S$ 是群 $G$ 的子集。 $G$ 中包含 $S$ 的最小子群称为由 $S$生成的子群，记为 $⟨S⟩$ 。等价地：

$$⟨S⟩=\bigcap _{H\le G,S\subseteq H}H$$

命题 生成子群的显式描述

设 $S$ 是群 $G$ 的子集。则：

$$⟨S⟩=\{s_1^{{ϵ}_1}{s}_2^{{ϵ}_2}\cdots s_k^{{ϵ}_k}:k\ge 0,s_i\in S,{ϵ}_i\in \{1,-1\}\}$$

特别地，若 $G$ 交换（用加法记号），则：

$$⟨S⟩=\{\sum _{i=1}^k{n}_i{s}_i:k\ge 0,n_i\in \mathbb{Z},s_i\in S\}$$

证明

记右端为 $H$ 。首先 $H\le G$ （直接验证封闭性、包含 $e$ 、对逆元封闭）。其次 $S\subseteq H$ （取 $k=1$ , ${ϵ}_1=1$ ）。最后，若 $K\le G$ 且 $S\subseteq K$ ，则 $K$ 对运算和求逆封闭，从而包含 $H$ 的所有元素。故 $H=⟨S⟩$ 。

定义 循环群

若群 $G=⟨a⟩$ 由单个元素 $a$ 生成，称 $G$ 为循环群， $a$ 为 $G$ 的生成元。

定理 循环群的分类

设 $G=⟨a⟩$ 为循环群。

1. 若 $|a|=\mathrm{\infty }$ ，则 $G\cong (\mathbb{Z},+)$ 。
2. 若 $|a|=n<\mathrm{\infty }$ ，则 $G\cong \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 。

证明

(1) 映射 $\phi :\mathbb{Z}\to G$ ， $\phi (k)=a^k$ 是满射（因 $G=⟨a⟩$ ）。若 $a^m=a^n$ 且 $m\ne n$ ，不妨设 $m>n$ ，则 $a^{m-n}=e$ ，与 $|a|=\mathrm{\infty }$ 矛盾。故 $\phi$ 是单射。又 $\phi (m+n)=a^{m+n}=a^m\cdot a^n=\phi (m)\cdot \phi (n)$ ，故 $\phi$ 是同构。

(2) 映射 $\phi :\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\to G$ ， $\phi (\bar{k})=a^k$ 是良定义的（若 $\bar{m}=\bar{k}$ ，则 $n\mid (m-k)$ ，由 [引理](1)， $a^m=a^k$ ）。同 (1) 证明单满射和同态性。

与其他结构的联系

注

群的概念将贯穿本教程的每一章。以下是关键的下游应用：

• 正规子群与商群 ([定义], [定义])：当子群 $N$ 满足 $gN{g}^{-1}=N$ 对所有 $g\in G$ ，则可构造商群 $G/N$ 。
• 群同态基本定理 ([定理])：同态的核是正规子群，像同构于商群。
• 域扩张的 Galois 群 ([定义])：域扩张 $L/K$ 的 Galois 群 $\mathrm{Gal}(L/K)$ 由保持 $K$ 不变的 $L$ 的自同构构成——这正是 Cayley 定理"群即变换"思想的极致体现。
• 有限域的乘法群 ([定理])：有限域 ${\mathbb{F}}_q$ 的非零元素在乘法下构成交换群，且该群是循环群。

自测题

习题 概念检验

Q1 以下哪些代数结构是群？说明理由。

• (a) $({\mathbb{N}}_0,+)$ （非负整数加法）
• (b) $({\mathbb{R}}^n,+)$ （ $n$ 维实向量加法）
• (c) $(\{1,-1,i,-i\},\times )$ （四次单位根乘法）
• (d) $(\mathbb{Z},-)$ （整数减法）

Q2 证明：在群 $G$ 中， $(ab{)}^{-1}=b^{-1}{a}^{-1}$ 。举一个非交换群的例子说明为什么不能写 $(ab{)}^{-1}=a^{-1}{b}^{-1}$ 。

Q3$S_3$ 中有几个 2 阶元素？几个 3 阶元素？它们分别是什么？

Q4 设 $|a|=6$ 。 $a^2$ , $a^3$ , $a^4$ 的阶分别是多少？

Q5 为什么说 Cayley 定理"将抽象群具体化了"？它对于理解 Galois 群有什么启发？

参考答案

Q1：(a) 不是群（没有逆元）。(b) 是群（加法阿贝尔群）。(c) 是群（封闭、结合、单位元 1、每个元素有逆）。(d) 不是群（减法不满足结合律： $(5-3)-1\ne 5-(3-1)$ ）。

Q2：验证 $(ab)(b^{-1}{a}^{-1})=a(b{b}^{-1})a^{-1}=ae{a}^{-1}=a{a}^{-1}=e$ 。在 $S_3$ 中取 $a=(12)$ ， $b=(13)$ ： $(ab{)}^{-1}=(132{)}^{-1}=(123)$ ，而 $a^{-1}{b}^{-1}=(12)(13)=(132)\ne (123)$ 。

Q3：3 个 2 阶元素： $(12),(13),(23)$ 。2 个 3 阶元素： $(123),(132)$ 。

Q4： $|a^2|=6/gcd(2,6)=3$ ， $|a^3|=6/gcd(3,6)=2$ ， $|a^4|=6/gcd(4,6)=3$ 。

Q5：Cayley 定理说明任何群都是某个对称群的子群，从而"群 = 变换的集合"。Galois 群正是域自同构群——保持基域不变的对称变换群，这是 Cayley 定理思想的直接推广。

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本节要点

1. 群的定义：结合律 (G1) + 单位元 (G2) + 逆元 (G3)，三条缺一不可。
2. 唯一性：单位元和逆元均唯一——公理弱但结论强。
3. 消去律： $ax=ay\Rightarrow x=y$ ，方程 $ax=b$ 有唯一解。
4. 常见群： $S_n$ （置换群）、 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ （循环群）、 ${\mathrm{GL}}_n(K)$ （线性群）。
5. Cayley 定理： $G\hookrightarrow S_{|G|}$ ——每个群本质上都是对称变换群。
6. 元素的阶： $a^n=e$ 的最小 $n$ ，阶的计算公式 $|a^k|=n/gcd(n,k)$ 。
7. 循环群：同构于 $\mathbb{Z}$ 或 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ，结构完全由生成元决定。

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