§1.2 子群与 Lagrange 定理

学习目标

1. 掌握子群的定义和子群判据（一步判据和二步判据）。
2. 理解陪集的概念和性质，理解"陪集划分"的思想。
3. 掌握 Lagrange 定理及其推论（元素阶整除群阶、素数阶群循环、Fermat 小定理）。
4. 理解指数、正规化子、中心和中心化子的概念及其在群结构分析中的作用。
5. 了解 Lagrange 定理的逆命题不成立（Sylow 定理的动机）。

子群

定义 子群

设 $(G,\cdot )$ 为群， $H\subseteq G$ 。若 $H$ 在 $G$ 的运算下自身也构成一个群，则称 $H$ 为 $G$ 的子群，记为 $H\le G$ 。

注

子群关系 $\le$ 是偏序关系（自反、反对称、传递）。 $G$ 的所有子群在 $\le$ 下构成一个格——称为子群格。对于 $S_3$ ，其子群格见下方交互图。

引理 子群判据

设 $G$ 为群， $H\subseteq G$ 非空。则 $H\le G$ 当且仅当以下任一条件成立：

1. 二步判据：对所有 $a,b\in H$ ， $ab\in H$ （封闭性）；对所有 $a\in H$ ， $a^{-1}\in H$ （逆元封闭）。
2. 一步判据：对所有 $a,b\in H$ ， $a{b}^{-1}\in H$ 。

证明

(1) 的必要性：由群公理直接得到。充分性：封闭性保证运算是 $H$ 上的二元运算，结合律继承自 $G$ 。取 $a\in H$ （ $H\ne \varnothing$ ），则 $e=a{a}^{-1}\in H$ 。单位元和逆元公理满足。

(2) 的充分性：取 $a\in H$ ，则 $e=a{a}^{-1}\in H$ 。再由 $e,a\in H$ ， $a^{-1}=e{a}^{-1}\in H$ 。最后 $a,b\in H$ 则 $b^{-1}\in H$ ， $a(b^{-1}{)}^{-1}=ab\in H$ 。归结为 (1)。

例 子群的例子

1. $\{e\}$ 和 $G$ 自身总是 $G$ 的子群，称为平凡子群。
2. $n\mathbb{Z}=\{nk:k\in \mathbb{Z}\}$ 是 $(\mathbb{Z},+)$ 的子群。
3. $A_n=\{\sigma \in S_n:\mathrm{sgn}(\sigma )=1\}$ （偶置换的集合）是 $S_n$ 的子群，称为 $n$ 次交错群。
4. ${\mathrm{SL}}_n(F)=\{A\in {\mathrm{GL}}_n(F):det(A)=1\}$ 是 ${\mathrm{GL}}_n(F)$ 的子群。
5. 循环子群： $⟨a⟩=\{a^n:n\in \mathbb{Z}\}$ 是 $G$ 中由 $a$ 生成的子群。 $|a|=|⟨a⟩|$ 。
6. $S_3$ 的子群： $\{e\}$ ， $S_3$ ， $⟨(12)⟩=\{e,(12)\}$ ， $⟨(13)⟩=\{e,(13)\}$ ， $⟨(23)⟩=\{e,(23)\}$ ， $⟨(123)⟩=A_3=\{e,(123),(132)\}$ 。

例 用二步判据验证 $n\mathbb{Z}\le \mathbb{Z}$

取 $H=6\mathbb{Z}=\{0,\pm 6,\pm 12,\dots \}$ 。

• $H\ne \varnothing$ （ $0\in H$ ）。
• 封闭性： $6a+6b=6(a+b)\in H$ 。✓
• 逆元： $-(6a)=6(-a)\in H$ 。✓

由 [引理](1)， $6\mathbb{Z}\le \mathbb{Z}$ 。

例 用一步判据验证

取 $G={\mathrm{GL}}_2(\mathbb{R})$ ， $H=\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& d\end{array}\right):a,d\ne 0\}$ （上三角可逆矩阵）。

验证一步判据： $A,B\in H$ ，设 $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& d\end{array}\right)$ ， $B=\left(\begin{array}{cc}{a}^{\prime }& b^{\prime }\\ 0& d^{\prime }\end{array}\right)$ 。则 $B^{-1}=\frac{1}{a^{\prime }{d}^{\prime }}\left(\begin{array}{cc}{d}^{\prime }& -b^{\prime }\\ 0& a^{\prime }\end{array}\right)$ 。 $A{B}^{-1}=\frac{1}{a^{\prime }{d}^{\prime }}\left(\begin{array}{cc}a{d}^{\prime }& -a{b}^{\prime }+b{d}^{\prime }\\ 0& d{a}^{\prime }\end{array}\right)$ ，仍是上三角。✓ 故 $H\le {\mathrm{GL}}_2(\mathbb{R})$ 。

误区："子集对乘法封闭就是子群"

不够！ 还需要逆元封闭。反例： $\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$ 对加法封闭， $(\mathbb{N},+)$ 不是 $(\mathbb{Z},+)$ 的子群——因为负数的逆元不在 $\mathbb{N}$ 中。

同样，在 ${\mathrm{GL}}_2(\mathbb{R})$ 中， $\{\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& d\end{array}\right):a,d>0\}$ 对乘法封闭，但不含逆元（ ${\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1/2& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ ，对角元为正，所以这个例子恰好是子群）。更准确的反例： $\{\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& d\end{array}\right):ad\ne 0,a+d>0\}$ ——迹为正的对角矩阵对乘法封闭但逆元可能有负迹。

$S_3$ 的子群格

下面的交互图展示了 $S_3$ 的所有子群及其包含关系。点击节点可查看子群的详细信息。

母群 正规子群 非正规子群 平凡子群

直觉

子群格是理解群结构的重要工具。从图中可以看到： $S_3$ 有 6 个子群，分三层——顶层是 $S_3$ 自身，底层是平凡子群 $\{e\}$ ，中间是三个 2 阶循环子群和一个 3 阶子群 $A_3$ 。注意 $A_3$ 是唯一的非平凡正规子群（[定义]），这将在 §1.3 中详述。

子群格的结构性质：

• 两个子群的"最大下界"是它们的交 $H\cap K$ 。
• 两个子群的"最小上界"不一定是它们的并 $H\cup K$ （并通常不是子群），而是它们生成的子群 $⟨H,K⟩$ 。

陪集与 Lagrange 定理

定义 左陪集

设 $H\le G$ ， $a\in G$ 。集合

$$aH=\{ah:h\in H\}$$

称为 $H$ 在 $G$ 中含 $a$ 的左陪集。类似定义右陪集 $Ha=\{ha:h\in H\}$ 。

例 陪集的计算

1. $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$： $H=3\mathbb{Z}$ 在 $\mathbb{Z}$ 中的陪集是 $0+3\mathbb{Z}=\{\dots ,-3,0,3,6,\dots \}$ ， $1+3\mathbb{Z}=\{\dots ,-2,1,4,7,\dots \}$ ， $2+3\mathbb{Z}=\{\dots ,-1,2,5,8,\dots \}$ 。共 3 个陪集， $[\mathbb{Z}:3\mathbb{Z}]=3$ 。

2. $S_3$ 中 $H=⟨(12)⟩=\{e,(12)\}$ 的陪集：

   • $eH=(12)H=\{e,(12)\}$
   • $(13)H=\{(13),(132)\}$
   • $(23)H=\{(23),(123)\}$
   • 共 3 个陪集， $[S_3:H]=3$ 。

3. 陪集不是子群： $(13)H=\{(13),(132)\}$ 不含 $e$ ，不是子群。陪集一般不含单位元。

4. 左右陪集可能不同：在 $S_3$ 中， $H(13)=\{(13),(123)\}$ ，但 $(13)H=\{(13),(132)\}$ 。 $H(13)\ne (13)H$ ！这说明 $H$ 不是正规子群（[定义]）。

引理 陪集的性质

设 $H\le G$ ， $a,b\in G$ 。则：

1. $aH=bH$ 当且仅当 $a^{-1}b\in H$ 。
2. 两个左陪集要么相等，要么不交。
3. $|aH|=|H|$ 对所有 $a\in G$ 成立。

证明

(1) ( $\Rightarrow$ ) 若 $aH=bH$ ，则 $b=be\in bH=aH$ ，故 $b=ah$ 对某 $h\in H$ ， $a^{-1}b=h\in H$ 。

( $\Leftarrow$ ) 若 $a^{-1}b=h\in H$ ，则 $b=ah$ 。对任意 $b{h}^{\prime }\in bH$ （ $h^{\prime }\in H$ ）， $b{h}^{\prime }=a(h{h}^{\prime })\in aH$ （因 $h{h}^{\prime }\in H$ ）。故 $bH\subseteq aH$ 。对称地 $aH\subseteq bH$ 。

(2) 设 $aH\cap bH\ne \varnothing$ ，取 $c\in aH\cap bH$ 。则 $c=a{h}_1=b{h}_2$ ， $a^{-1}b=h_1{h}_2^{-1}\in H$ 。由 (1)， $aH=bH$ 。

(3) 映射 $H\to aH$ ， $h\mapsto ah$ 是双射（ $a^{-1}$ 给出其逆映射）。

定义 指数

$H$ 在 $G$ 中的指数$[G:H]$ 定义为 $H$ 在 $G$ 中左陪集的个数。

定理 Lagrange 定理

设 $G$ 为有限群， $H\le G$ 。则

$$|G|=[G:H]\cdot |H|$$

特别地， $|H|$ 整除 $|G|$ ， $[G:H]$ 整除 $|G|$ 。

证明

由 [引理](2)， $G$ 被 $H$ 的左陪集划分为不交并。设不同的左陪集为 $a_{1}H,a_{2}H,\dots ,a_{r}H$ ，其中 $r=[G:H]$ 。则：

$$G=a_{1}H\bigsqcup a_{2}H\bigsqcup \cdots \bigsqcup a_{r}H$$

由 [引理](3)， $|a_{i}H|=|H|$ 。故

$$|G|=\sum _{i=1}^r|a_{i}H|=r\cdot |H|=[G:H]\cdot |H|$$

直觉

Lagrange 定理告诉我们：子群的阶只能"恰好切分"群的阶。这就像一个拼图——子群是基本图案，群由整数个这样的图案（陪集）拼成。这是群论中"除法"的本质。

逆命题不成立： $A_4$ （12 阶）有 6 阶子群的指数为 2，但 $A_4$ 没有 6 阶子群。这说明 Sylow 定理才是研究子群存在性的正确工具。

推论

设 $G$ 为有限群， $a\in G$ 。则 $|a|$ 整除 $|G|$ ，从而 $a^{|G|}=e$ 。

证明

$⟨a⟩$ 是 $G$ 的子群， $|⟨a⟩|=|a|$ 。由 Lagrange 定理， $|a|\mid |G|$ 。设 $|G|=n|a|$ ，则 $a^{|G|}=(a^{|a|}{)}^n=e^n=e$ 。

推论 素数阶群是循环群

设 $|G|=p$ 为素数。则 $G$ 是循环群，且对任何 $a\ne e$ ， $G=⟨a⟩$ 。

证明

取 $a\in G$ ， $a\ne e$ 。则 $|⟨a⟩|>1$ ，且 $|⟨a⟩|$ 整除 $p$ 。由 $p$ 是素数， $|⟨a⟩|=p$ ，故 $⟨a⟩=G$ 。

推论 Fermat 小定理

对素数 $p$ 和所有 $a\not\equiv 0(\mathrm{mod}p)$ ， $a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$ 。

证明

$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}{)}^{\ast }=\{1,2,\dots ,p-1\}$ 在乘法下构成 $p-1$ 阶群。由 [推论]， $a^{p-1}=1$ 。

注

Fermat 小定理是数论中最基本的结果之一。它在 §10 有限域 的理论中有更深层的解释：有限域 ${\mathbb{F}}_p$ 的乘法群是 $p-1$ 阶循环群（[定理]），Fermat 小定理不过是该群中元素阶整除群阶的特例。

例 Lagrange 定理的应用

1. $S_3$ 的子群阶： $|S_3|=6$ ，故子群的阶只能是 $1,2,3,6$ 。不能有 4 阶或 5 阶子群。

2. $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 的子群： $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 有子群 $\{0\}$ （1 阶）， $\{0,3\}$ （2 阶）， $\{0,2,4\}$ （3 阶）， $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ （6 阶）。对应阶数为 6 的因数。

3. $A_4$ 没有 6 阶子群：虽然 6 整除 12 = $|A_4|$ ，但 $A_4$ 没有 6 阶子群（可以验证 $A_4$ 中不存在 6 个元素对乘法封闭且含逆元的子集）。这说明 Lagrange 定理的逆命题不成立！

4. Euler 定理： $gcd(a,n)=1$ 蕴含 $a^{\varphi (n)}\equiv 1(\mathrm{mod}n)$ ，其中 $\varphi (n)=|(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}{)}^{\ast }|$ 。这是 [推论] 应用于群 $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}{)}^{\ast }$ 的结果，是 Fermat 小定理的推广。

误区："如果 $d\mid |G|$ ，则 $G$ 有 $d$ 阶子群"

不成立！ Lagrange 定理只给出 $|H|$ 整除 $|G|$ （子群存在 $\to$ 整除），不给出逆命题（整除 $\to$ 子群存在）。

反例： $A_4$ （12 阶）没有 6 阶子群。

正确的方向由 Sylow 定理给出：如果 $p^k\mid |G|$ （ $p$ 是素数），则 $G$ 有 $p^k$ 阶子群。

正规化子与中心化子

定义 中心与中心化子

设 $G$ 为群。

1. $G$ 的中心$Z(G)=\{z\in G:zg=gz\text{ 对所有 }g\in G\}$ 。
2. 对 $a\in G$ ， $a$ 的中心化子$C_G(a)=\{g\in G:ga=ag\}$ 。
3. 对子集 $S\subseteq G$ ， $S$ 的中心化子$C_G(S)=\{g\in G:gs=sg\text{ 对所有 }s\in S\}$ 。

引理

$Z(G)\le G$ ，且 $Z(G)$ 是交换群。 $C_G(a)\le G$ 。

证明

对 $Z(G)$ ：取 $z_1,z_2\in Z(G)$ 。对任意 $g\in G$ ， $(z_1{z}_2)g=z_1(z_{2}g)=z_1(g{z}_2)=(z_{1}g)z_2=(g{z}_1)z_2=g(z_1{z}_2)$ 。故 $z_1{z}_2\in Z(G)$ 。又 $z^{-1}g=z^{-1}(gz)z^{-1}=(z^{-1}z)(g{z}^{-1})=g{z}^{-1}$ ，故 $z^{-1}\in Z(G)$ 。由 [引理](1)， $Z(G)\le G$ 。交换性由定义直接得到。 $C_G(a)$ 类似。

例 中心的计算

1. 交换群：若 $G$ 是交换群，则 $Z(G)=G$ 。

2. $S_3$ 的中心： $Z(S_3)=\{e\}$ 。验证： $(12)(13)=(132)\ne (123)=(13)(12)$ ，所以 $(12)\notin Z(S_3)$ 。

3. ${\mathrm{GL}}_n(F)$ 的中心： $Z({\mathrm{GL}}_n(F))=\{a{I}_n:a\in F^{\times }\}$ （标量矩阵）。验证：若 $A$ 与所有可逆矩阵交换，取 $A$ 与初等矩阵 $E_{ij}$ 交换，推出 $A$ 是对角矩阵且对角元相等。

4. $D_4$ 的中心： $Z(D_4)=\{e,r^2\}$ （ $r^2$ 是 180° 旋转，与所有元素交换）。

定义 正规化子

设 $H\le G$ 。 $H$ 在 $G$ 中的正规化子定义为

$$N_G(H)=\{g\in G:gH{g}^{-1}=H\}$$

等价地， $N_G(H)=\{g\in G:gH=Hg\}$ 。显然 $H\le N_G(H)\le G$ 。

注

正规化子 $N_G(H)$ 是使 $H$ 成为其正规子群的最大子群： $H⊴N_G(H)$ 。这个概念在 §8 Galois 对应 中将扮演重要角色，因为 Galois 对应的正规扩张条件对应于子群的正规性。

例 正规化子的计算

1. $S_3$ 中 $⟨(12)⟩$ 的正规化子： $N_{S_3}(⟨(12)⟩)=⟨(12)⟩$ （因为 $(13)(12)(13{)}^{-1}=(23)\notin ⟨(12)⟩$ ）。所以 $⟨(12)⟩$ 不是正规子群。

2. $S_3$ 中 $A_3$ 的正规化子： $N_{S_3}(A_3)=S_3$ （ $A_3$ 是正规子群）。

3. 一般规律： $H⊴G$ 当且仅当 $N_G(H)=G$ 。

命题 共轭类方程

设 $G$ 为有限群。则

$$|G|=|Z(G)|+\sum _{i=1}^r[G:C_G(a_i)]$$

其中 $a_1,\dots ,a_r$ 是 $G$ 的非中心共轭类的代表元。

证明

$G$ 上的共轭关系$a\sim b\iff b=ga{g}^{-1}$ 是等价关系。等价类称为共轭类。元素 $a$ 的共轭类大小等于 $[G:C_G(a)]$ （因为共轭类与左陪集 $g{C}_G(a)$ 一一对应）。中心元素的共轭类大小为 1。将所有共轭类的大小求和即得。

例 $S_3$ 的共轭类

在 $S_3$ 中， $Z(S_3)=\{e\}$ 。三个对换 $(12),(13),(23)$ 构成一个共轭类（大小 3 = $[S_3:C_{S_3}((12))]=6/2$ ），两个 3-轮换 $(123),(132)$ 构成另一个共轭类（大小 2 = $[S_3:C_{S_3}((123))]=6/3$ ）。验证： $1+3+2=6=|S_3|$ 。

常见误区

误区一：" $⟨a⟩=\{a,a^2,a^3,\dots \}$ "

对有限阶群， $⟨a⟩=\{e,a,a^2,\dots ,a^{|a|-1}\}$ ，因为 $a^{|a|}=e$ 。不要忘记单位元 $e$ 在其中。

对无限阶群， $⟨a⟩=\{\dots ,a^{-2},a^{-1},e,a,a^2,\dots \}$ ，包含所有 $a$ 的正幂和负幂。

误区二："子群的并也是子群"

一般不是！$H\cup K$ 对运算封闭当且仅当 $H\subseteq K$ 或 $K\subseteq H$ 。反例： $⟨(12)⟩=\{e,(12)\}$ 和 $⟨(13)⟩=\{e,(13)\}$ 的并 $\{e,(12),(13)\}$ 对乘法不封闭（ $(12)(13)=(132)\notin \{e,(12),(13)\}$ ）。

正确的构造是 $H$ 和 $K$ 生成的子群 $⟨H,K⟩$ 。

误区三：" $[G:H]=|G|/|H|$ 只对有限群成立"

对无限群，指数 $[G:H]$ 可能是无穷大。例如 $[\mathbb{Z}:2\mathbb{Z}]=2$ （有限），但 $[\mathbb{Q}:\mathbb{Z}]=\mathrm{\infty }$ （ $\mathbb{Q}$ 关于 $\mathbb{Z}$ 有无穷多个陪集）。Lagrange 定理的乘法公式 $|G|=[G:H]\cdot |H|$ 要求 $|G|$ 有限。

自测问题

习题 自测

1. 子群判定： $\mathbb{Z}$ 中， $S=\{0,3,6,9\}$ 在加法下是 $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ 的子群吗？ $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ 的所有子群有哪些？

2. Lagrange 定理应用： $|G|=35$ 。 $G$ 中可能有哪些阶的元素？ $G$ 是否一定是循环群？

3. 中心：证明 $p$ -群（ $|G|=p^n$ ）的中心 $Z(G)\ne \{e\}$ 。（提示：使用共轭类方程 [命题]。）

4. 正规化子：在 $D_4$ 中，计算 $⟨r⟩$ （旋转子群）的正规化子。

5. Fermat 小定理应用：计算 $2^{100}(\mathrm{mod}11)$ 。

答案

1. $S=\{0,3,6,9\}$ 在 $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ 中： $3+3=6$ ， $3+6=9$ ， $3+9=0$ ， $6+6=0$ ， $9+9=6$ 。✓ 封闭，逆元（ $3^{-1}=9$ ， $6^{-1}=6$ ， $9^{-1}=3$ ）。是子群。 $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ 的子群： $\{0\}$ ， $\{0,6\}$ ， $\{0,4,8\}$ ， $\{0,3,6,9\}$ ， $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ （对应 $12$ 的因数 1, 2, 3, 4, 6, 12）。

2. $35=5\times 7$ 。元素阶整除 35，可能是 1, 5, 7, 35。若 $|a|=35$ ，则 $G=⟨a⟩$ 是循环群。实际上 $|G|=35$ 的群必是循环群（因为 5 不整除 $7-1=6$ ，由 Sylow 定理，5-Sylow 和 7-Sylow 子群都是正规的， $G\cong \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/7\mathbb{Z}\cong \mathbb{Z}/35\mathbb{Z}$ ）。

3. 共轭类方程： $|G|=|Z(G)|+\sum [G:C_G(a_i)]$ 。每个 $[G:C_G(a_i)]$ 整除 $|G|=p^n$ 且 $>1$ ，所以是 $p$ 的倍数。 $|Z(G)|=|G|-\sum [G:C_G(a_i)]\equiv p^n\equiv 0(\mathrm{mod}p)$ 。 $|Z(G)|\ge 1$ （ $e\in Z(G)$ ）， $p\mid |Z(G)|$ ，故 $|Z(G)|\ge p>1$ 。✓

4. $D_4=⟨r,s:r^4=s^2=e,srs=r^{-1}⟩$ ， $⟨r⟩=\{e,r,r^2,r^3\}$ （4 阶）。 $N_{D_4}(⟨r⟩)$ ： $sr{s}^{-1}=r^{-1}\in ⟨r⟩$ ，所以 $s\in N_{D_4}(⟨r⟩)$ 。 $N_{D_4}(⟨r⟩)=D_4$ （ $⟨r⟩$ 是 $D_4$ 的正规子群，指数 2）。

5. $2^{10}\equiv 1(\mathrm{mod}11)$ （Fermat）。 $100=10\times 10$ ， $2^{100}=(2^{10}{)}^{10}\equiv 1^{10}=1(\mathrm{mod}11)$ 。

交叉引用

本节概念	关联章节	关联内容
子群判据	§1.1 群的定义	验证子群公理的快捷方式
正规子群	§1.3 正规子群与商群	陪集良定义的条件
Lagrange 定理	§9.1 可解群	阶与子群结构
Sylow 定理	§10.1 有限域结构	子群存在性
共轭类	§7.1 Galois 群	置换群的共轭类
中心	§11.2 无穷 Galois 对应	中心与可解性
Fermat 小定理	§10.2 Frobenius	有限域乘法群

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本节要点

1. 子群判据提供检验子群的两种高效方法。
2. 陪集将群划分为等大小的"块"，Lagrange 定理是群论最重要的计数工具之一。
3. 元素的阶整除群的阶；素数阶群必循环。
4. Fermat 小定理是 Lagrange 定理的直接应用。
5. 中心和中心化子是分析群结构的基本工具。
6. 正规化子是连接子群与正规性的桥梁。

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