§8.2 Galois 扩张的刻画

📖 学习目标

完成本节后，你应该能够：

1. 陈述并解释 Galois 扩张的五种等价刻画 (G1)–(G5)，并说明每种刻画的"视角"
2. 对给定的具体扩张（如 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$ 或 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q}$ ），逐一验证 (G1)–(G5)
3. 运用 Artin 定理构造 Galois 扩张（从自同构群出发，而非从多项式出发）
4. 证明 Galois 扩张在复合、交、塔等操作下保持 Galois 性质
5. 区分特征零与特征 $p$ 的关键差异，解释"可分"假设的不可或缺性

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为什么需要 Galois 扩张？

在 §8.1 中，我们看到基本 Galois 对应的核心定理需要假设 $L/K$ 是 Galois 扩张。现在自然要问：

1. 什么是 Galois 扩张？——这个问题有多种等价回答，每一种从不同角度看问题。
2. 哪些扩张是 Galois 的？——能否给出实用的判据？
3. Galois 扩张有什么"好的性质"？——它们在复合、交、塔等操作下是否封闭？

本节回答这三个问题。五种等价刻画 (G1)–(G5) 分别从结构性（正规+可分）、计数性（阶=次数）、构造性（分裂域）、对偶性（不动域）和元素级（极小多项式完全分裂）的角度刻画 Galois 扩张。理解这五种视角的转换，是掌握 Galois 理论的关键。

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定义 Galois 扩张

域扩张 $L/K$ 称为 Galois 扩张（Galois extension），若 $L/K$ 既是正规扩张（[定义]）又是可分扩张（[定义]）。等价条件见 [定理]。

五重等价刻画

定理 Galois 扩张的等价条件

设 $L/K$ 是有限扩张。以下条件等价：

(G1)$L/K$ 是正规且可分的。

(G2)$|\mathrm{Gal}(L/K)|=[L:K]$ 。

(G3)$L$ 是 $K$ 上某个可分多项式的分裂域。

(G4)$L^{\mathrm{Gal}(L/K)}=K$ （ $K$ 恰好是 Galois 群的不动域）。

(G5)$L$ 中每个元素的极小多项式在 $L$ 中完全分裂为互异的线性因子。

直觉 五种视角

每个条件提供一种"看到 Galois 性"的方式：

• (G1) 是教科书定义：正规性确保根不逃逸，可分性确保根不重合。
• (G2) 是计数判据：Galois 群"够大"—— $L$ 的每一个维度都对应一个独立的对称性。
• (G3) 是构造性判据： $L$ 可以由"让某个多项式完全分裂"而得到。
• (G4) 是对偶性判据： $K$ 恰好被 Galois 群"筛出来"——没有比 $K$ 更大的域被全部固定。这等价于说 Galois 群足以区分$K$ 和 $L$ 。
• (G5) 是元素级判据： $L$ 对极小多项式是"封闭的"——每个元素的所有共轭都在 $L$ 中。

证明. 我们证明循环 (G1) $\Rightarrow$ (G3) $\Rightarrow$ (G5) $\Rightarrow$ (G1) 以及 (G2) $\iff$ (G4)。

(G1) $\Rightarrow$ (G3): 设 $L/K$ 正规且可分。由本原元定理（可分有限扩张必为单扩张）， $L=K(\alpha )$ 。设 $f$ 为 $\alpha$ 在 $K$ 上的极小多项式。因 $\alpha$ 可分， $f$ 无重根。因 $L/K$ 正规， $f$ 的所有根都在 $L$ 中。故 $L$ 是 $f$ 的分裂域， $f$ 是可分多项式。

本原元定理的作用

(G1) $\Rightarrow$ (G3) 的证明中，本原元定理是关键一步：它将"正规且可分"转化为"单扩张"，从而将问题归结为单个极小多项式。如果没有可分性假设，本原元定理不成立，这个推理就无法进行。

(G3) $\Rightarrow$ (G5): 设 $L$ 是可分多项式 $f\in K[x]$ 的分裂域。设 $\alpha \in L$ ， $g$ 为 $\alpha$ 在 $K$ 上的极小多项式。则 $g\mid f$ （因为 $g(\alpha )=0$ 且 $g$ 是极小的）， $g$ 也是可分的（因为 $f$ 的因子可分）。 $g$ 的根都是 $f$ 的根的 $\mathrm{Gal}(L/K)$ -轨道（因为 Galois 群传递地作用在不可约多项式的根上——见 §7.1 命题 [命题]），故 $g$ 的所有根都在 $L$ 中，且互不相同。

(G5) $\Rightarrow$ (G1):$L/K$ 正规（因为每个 $\alpha \in L$ 的极小多项式在 $L$ 中完全分裂）。 $L/K$ 可分（因为极小多项式无重根）。

(G2) $\iff$ (G4): 设 $G=\mathrm{Gal}(L/K)$ ， $F=L^G$ 。则 $K\subseteq F\subseteq L$ 。由 Artin 引理（§8.1 [定理]）， $[L:F]=|G|$ 。因此 $[L:K]=[L:F]\cdot [F:K]=|G|\cdot [F:K]$ 。

$|G|=[L:K]$$⟺$$[F:K]=1$$⟺$$F=K$ 。

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逐条验证：Galois 的例子

例 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$ ——逐一检查 (G1)–(G5)

设 $L=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ ， $K=\mathbb{Q}$ 。 $[L:K]=2$ 。

条件	验证	结果
(G1) 正规+可分	$\sqrt{2}$ 的极小多项式 $x^2-2$ 的两个根 $\pm \sqrt{2}$ 都在 $L$ 中 ✓；特征零故可分 ✓	✓
(G2) $|\mathrm{Gal}|=[L:K]$	$\mathrm{Gal}=\{\mathrm{id},\sigma \}$ （ $\sigma (\sqrt{2})=-\sqrt{2}$ ）， $|\mathrm{Gal}|=2=[L:K]$	✓
(G3) 可分多项式的分裂域	$L$ 是 $x^2-2$ 的分裂域， $x^2-2$ 可分	✓
(G4) $L^{\mathrm{Gal}}=K$	$\sigma (a+b\sqrt{2})=a-b\sqrt{2}$ 。若 $a+b\sqrt{2}$ 被 $\sigma$ 固定，则 $b=0$ ，故 $L^{\mathrm{Gal}}=\mathbb{Q}$	✓
(G5) 极小多项式完全分裂	$\sqrt{2}$ 的极小多项式 $x^2-2=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$ 在 $L$ 中完全分裂 ✓； $a+b\sqrt{2}$ （ $b\ne 0$ ）的极小多项式是二次，在 $L$ 中分裂 ✓	✓

五个条件全部满足。 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$ 是 Galois 扩张。

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逐条验证：非 Galois 的例子

例 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q}$ ——每个条件都失败

设 $L=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ ， $K=\mathbb{Q}$ 。 $[L:K]=3$ 。

条件	验证	结果
(G1) 正规+可分	可分 ✓（特征零），但不正规： $x^3-2$ 在 $L$ 中有根 $\sqrt[3]{2}$ ，但另外两个根 $\omega \sqrt[3]{2},{\omega }^2\sqrt[3]{2}\notin L$ （因为 $L\subset \mathbb{R}$ ）	✗
(G2) $|\mathrm{Gal}|=[L:K]$	$\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})=\{\mathrm{id}\}$ （唯一的 $\mathbb{Q}$ -自同构）， $1\ne 3$	✗
(G3) 可分多项式的分裂域	$L$ 不是 $x^3-2$ 的分裂域（缺根）。 $L$ 也不是任何其他可分多项式的分裂域——因为如果 $L$ 是某个 $g$ 的分裂域，则 $L/\mathbb{Q}$ 正规，但我们已经看到它不正规	✗
(G4) $L^{\mathrm{Gal}}=K$	$\mathrm{Gal}=\{\mathrm{id}\}$ ，故 $L^{\mathrm{Gal}}=L\ne \mathbb{Q}$ ——太大的不动域	✗
(G5) 极小多项式完全分裂	$\sqrt[3]{2}$ 的极小多项式 $x^3-2$ 在 $L$ 中只有一根，不完全分裂	✗

五个条件全部失败。这个例子说明一个扩张可以同时不满足所有五种刻画——失败不是偶然的，而是反映了 $L$ 的"内在缺陷"：它太小了，无法容纳 $x^3-2$ 的全部对称性。

修复方法： 需要扩大到 $L^{\prime }=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega )$ （ $x^3-2$ 的完整分裂域），此时 $[L^{\prime }:K]=6=|\mathrm{Gal}(L^{\prime }/K)|$ ， $L^{\prime }/K$ 是 Galois 的。

"太小"的域是 Galois 理论失败的根源

$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q}$ 的 Galois 群是平凡的——域"太小"，只有一个自同构。这不是因为对称性不存在，而是因为 $L$ 无法"看到"对称性。 $\sqrt[3]{2}$ 的另外两个共轭根在 $L$ 之外，导致任何非平凡置换都会把 $\sqrt[3]{2}$ 送到 $L$ 外面，无法定义为 $L$ 的自同构。

Galois 扩张的定义正是排除了这种"信息丢失"的情况。

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五种刻画的综合对照表

条件	视角	典型用途	失败时的含义
(G1) 正规+可分	结构性	定义 Galois 理论的基本假设	正规性失败→根逃逸；可分性失败→根重合
(G2) $|\mathrm{Gal}|=[L:K]$	计数性	快速判别：计算 Galois 群的阶并与扩张次数比较	群太小→"隐藏对称性"
(G3) 可分多项式的分裂域	构造性	构造 Galois 扩张：取多项式的分裂域	$L$ 不是任何多项式的"完整解空间"
(G4) $L^{\mathrm{Gal}}=K$	对偶性	Galois 对应的起点	$L^{\mathrm{Gal}}⊋K$ →Galois 群无法"筛出" $K$
(G5) 极小多项式封闭	元素级	验证单个元素是否满足 Galois 性	存在元素的共轭不在 $L$ 中

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历史注记

注 Galois 扩张的名字

历史上，正规 + 可分的扩张在 Artin 和 van der Waerden 之前并没有统一的名字。"Galois 扩张"这个术语在 Artin 的经典讲义 "Galois Theory" (1942) 之后普及。条件 (G4) 是 Artin 自己偏好的定义方式——它最直接地体现了"Galois 群完全决定基域"的精神。

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分裂域上的 Artin 定理

Artin 定理是 (G4) 的一个深刻应用：它告诉你如何从自同构群出发构造 Galois 扩张，而不需要先找到多项式。

定理 Artin

设 $L$ 是域， $G$ 是 $\mathrm{Aut}(L)$ 的有限子群。设 $K=L^G$ （不动域）。则 $L/K$ 是 Galois 扩张，且 $\mathrm{Gal}(L/K)=G$ 。

证明. 由 Artin 引理， $[L:K]=|G|$ ，故 $L/K$ 是有限扩张。 $G\subseteq \mathrm{Gal}(L/K)$ （ $G$ 中元素都固定 $K$ ）。由 §7.1 命题 [命题]， $|\mathrm{Gal}(L/K)|\le [L:K]=|G|$ 。故 $|\mathrm{Gal}(L/K)|=|G|$ ， $\mathrm{Gal}(L/K)=G$ ，且 $[L:K]=|\mathrm{Gal}(L/K)|$ 。由 (G2) $\iff$ (G4)， $L/K$ 是 Galois 扩张。 $◼$

直觉 Artin 定理的含义

Artin 定理说的是：给定一群自同构 $G$ 作用在域 $L$ 上，不动域 $L^G$ 自动与 $L$ 构成 Galois 扩张，且 Galois 群恰好就是 $G$。

这可以视为 Galois 理论的"逆向构造"：

• 正向（基本定理 §8.1）：给定 Galois 扩张 $L/K$ ，其 Galois 群 $\mathrm{Gal}(L/K)$ 的不动域就是 $K$ 。
• 逆向（Artin 定理）：给定 $G\le \mathrm{Aut}(L)$ ，不动域 $L^G$ 自动给出 Galois 扩张。

两个方向合在一起，说明"子群"和"中间域"之间的对应是完美的——没有遗漏，没有多余。

例 通过 Artin 定理确认 $\mathbb{C}/\mathbb{R}$ 是 Galois 的

设 $L=\mathbb{C}$ ， $G=\{\mathrm{id},\sigma \}$ 其中 $\sigma$ 是复共轭（ $\sigma (a+bi)=a-bi$ ）。 $G$ 是 $\mathrm{Aut}(\mathbb{C})$ 的子群（实际上不是，因为 $\mathbb{C}$ 有很多自同构——但 $\sigma$ 是唯一的连续$\mathbb{R}$ -自同构；不过对 $\mathbb{C}$ 作为 $\mathbb{R}$ -代数， $G=\mathrm{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})$ 确实成立）。

$L^G=\{z\in \mathbb{C}:\overline{z}=z\}=\mathbb{R}$ 。由 Artin 定理， $\mathbb{C}/\mathbb{R}$ 是 Galois 扩张， $\mathrm{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})=G\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 。

例 有限域的 Galois 群

设 $L={\mathbb{F}}_{p^n}$ ， $\sigma ={\mathrm{Frob}}_p$ （Frobenius 自同构 $x\mapsto x^p$ ）。 $G=⟨\sigma ⟩$ 的阶为 $n$ （因为 ${\sigma }^n=\mathrm{id}$ ， ${\sigma }^k\ne \mathrm{id}$ 对 $0<k<n$ ——见 §10.2）。

$L^G=\{x\in {\mathbb{F}}_{p^n}:x^p=x\}={\mathbb{F}}_p$ 。由 Artin 定理， ${\mathbb{F}}_{p^n}/{\mathbb{F}}_p$ 是 Galois 扩张， $\mathrm{Gal}({\mathbb{F}}_{p^n}/{\mathbb{F}}_p)=⟨{\mathrm{Frob}}_p⟩\cong \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 。

这解释了为什么有限域的任何有限扩张都是 Galois 的——Frobenius 自同构生成了足够大的群。

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Galois 扩张的性质

Galois 扩张有一个极其重要的性质：它们在多种自然操作下保持 Galois 性。这使得我们可以从简单的 Galois 扩张出发，构建更复杂的 Galois 扩张。

塔的正合列

命题 Galois 扩张的传递性

设 $K\subseteq L\subseteq M$ 是域的塔。若 $M/K$ 是有限 Galois 扩张，则：

(i)$M/L$ 是 Galois 扩张。

(ii)$\mathrm{Gal}(M/L)⊴\mathrm{Gal}(M/K)$ 当且仅当 $L/K$ 是 Galois 扩张。

(iii) 若 $L/K$ 也是 Galois 的，则存在正合列：

$$1\to \mathrm{Gal}(M/L)\to \mathrm{Gal}(M/K)\stackrel{\mathrm{res}}{\to }\mathrm{Gal}(L/K)\to 1.$$

因此 $\mathrm{Gal}(M/K)/\mathrm{Gal}(M/L)\cong \mathrm{Gal}(L/K)$ 。

证明.

(i)$M/K$ Galois $\Rightarrow$$M/K$ 正规且可分 $\Rightarrow$$M/L$ 正规且可分（正规性和可分性在塔的中间扩张上保持） $\Rightarrow$$M/L$ Galois。

(ii) 限制映射 $\mathrm{res}:\mathrm{Gal}(M/K)\to \mathrm{Aut}(L)$ ， $\sigma \mapsto \sigma {|}_L$ 是群同态。若 $L/K$ 正规，则 $\sigma (L)=L$ 对所有 $\sigma \in \mathrm{Gal}(M/K)$ （因为 $L$ 是 $K$ 上某个多项式的分裂域的一部分），故 $\mathrm{res}$ 的像包含于 $\mathrm{Gal}(L/K)$ 。核为 $\mathrm{Gal}(M/L)$ 。正规子群的判据给出 $\mathrm{Gal}(M/L)⊴\mathrm{Gal}(M/K)$ 。

反之若 $\mathrm{Gal}(M/L)⊴\mathrm{Gal}(M/K)$ ，可以用 Galois 对应证明 $L/K$ 正规。

(iii)$\mathrm{res}$ 的满射性需要嵌入扩张引理。正合列直接翻译为商群同构。 $◼$

直觉 正合列的含义

这个正合列说的是：

• $\mathrm{Gal}(M/L)$ 是 $\mathrm{Gal}(M/K)$ 中"只移动 $L$ 以上的元素、不动 $L$ "的那些自同构——它是"纤维方向"的对称性。
• 商群 $\mathrm{Gal}(M/K)/\mathrm{Gal}(M/L)$ 恰好是 $\mathrm{Gal}(L/K)$ ——"基底方向"的对称性。
• 整体对称性 = 纤维对称性 ⋊ 基底对称性（半直积，但正合列不一定分裂）。

正合列不总是分裂

例 $S_3$ 的正合列

设 $K=\mathbb{Q}$ ， $L=\mathbb{Q}(\omega )$ （ $\omega =e^{2\pi i/3}$ ）， $M=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega )$ （ $x^3-2$ 的分裂域）。

$M/\mathbb{Q}$ 是 Galois 的， $\mathrm{Gal}(M/\mathbb{Q})\cong S_3$ 。

$L/\mathbb{Q}$ 是 Galois 的（二次扩张）， $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 。

$M/L$ 是 Galois 的， $\mathrm{Gal}(M/L)=⟨\sigma ⟩\cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ （ $\sigma :\sqrt[3]{2}\mapsto \omega \sqrt[3]{2}$ ）。

正合列： $1\to \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\to S_3\to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to 1$ 。

这个正合列分裂： $S_3\cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}⋊\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ （半直积）。分裂映射将 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 的生成元映到复共轭 $\tau$ （ $\tau :\omega \mapsto {\omega }^2,\sqrt[3]{2}\mapsto \sqrt[3]{2}$ ）。

但并非所有正合列都分裂。 例如 $1\to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to 1$ 不分裂——这对应于 $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})/\mathbb{Q}$ 的某种情形。

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Galois 扩张的复合与交

推论 Galois 扩张的复合

设 $L_1/K$ 和 $L_2/K$ 都是有限 Galois 扩张（在某个公共扩域中）。则复合 $L_1{L}_2/K$ 也是 Galois 扩张，且

$$\mathrm{Gal}(L_1{L}_2/K)\hookrightarrow \mathrm{Gal}(L_1/K)\times \mathrm{Gal}(L_2/K),$$

嵌入由 $\sigma \mapsto (\sigma {|}_{L_1},\sigma {|}_{L_2})$ 给出。特别地，若 $L_1\cap L_2=K$ ，则此嵌入是同构：

$$\mathrm{Gal}(L_1{L}_2/K)\cong \mathrm{Gal}(L_1/K)\times \mathrm{Gal}(L_2/K).$$

证明.$L_1$ 是某个可分多项式 $f_1$ 的分裂域， $L_2$ 是 $f_2$ 的分裂域。 $L_1{L}_2$ 是 $f_1{f}_2$ 的分裂域，故 $L_1{L}_2/K$ 是 Galois 的（由 (G3)）。

限制映射 $\sigma \mapsto (\sigma {|}_{L_1},\sigma {|}_{L_2})$ 是单射（因为 $L_1{L}_2$ 由 $L_1$ 和 $L_2$ 生成）。

若 $L_1\cap L_2=K$ ，则 $\sigma {|}_{L_1}$ 和 $\sigma {|}_{L_2}$ 可以独立选择（由嵌入扩张引理），故映射是满射。 $◼$

例 复合域的 Galois 群

设 $L_1=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ ， $L_2=\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ 。 $L_1\cap L_2=\mathbb{Q}$ （因为 $\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}(\sqrt{3})$ ——否则 $\sqrt{2}=a+b\sqrt{3}$ 对某 $a,b\in \mathbb{Q}$ ，平方后比较有理和无理部分可得矛盾）。

故 $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})/\mathbb{Q})\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}=V_4$ 。

对比： 若 $L_1=L_2=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ ，则 $L_1{L}_2=L_1$ ， $\mathrm{Gal}\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ ——嵌入不是满射，因为 $L_1\cap L_2=L_1\ne \mathbb{Q}$ 。

推论 Galois 扩张的交

设 $L_1/K$ 和 $L_2/K$ 都是有限 Galois 扩张。则 $L_1\cap L_2/K$ 也是 Galois 扩张。

证明.$L_1\cap L_2$ 是 $L_1$ 的子域。 $L_1/K$ 正规 $\Rightarrow$$L_1\cap L_2/K$ 正规（正规扩张的中间域在正规性下封闭？——不对，这需要验证。实际上， $L_1\cap L_2$ 是 $L_1$ 的子域且 $L_1/K$ Galois。 $L_1\cap L_2/K$ 正规：若 $f\in K[x]$ 不可约且有根 $\alpha \in L_1\cap L_2$ ，则 $f$ 在 $L_1$ 中完全分裂（ $L_1/K$ 正规）。 $f$ 的每个根也在 $L_2$ 中（同样因 $L_2/K$ 正规），故 $f$ 在 $L_1\cap L_2$ 中完全分裂。 $L_1\cap L_2/K$ 可分：从 $L_1/K$ 可分继承。故 $L_1\cap L_2/K$ Galois。 $◼$

推论 Galois 性在塔中的传递

设 $K\subseteq M\subseteq L$ ， $L/K$ Galois。

(i)$L/M$ 总是 Galois 的。

(ii)$M/K$ 是 Galois 的当且仅当 $\mathrm{Gal}(M/K)$ 是 $\mathrm{Gal}(L/K)$ 的正规子群（由 [定理]）。

$M/K$ 未必 Galois

即使 $L/K$ 是 Galois 扩张，中间域 $M$ 的扩张 $M/K$不一定是 Galois 的。经典反例： $L=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega )$ （Galois over $\mathbb{Q}$ ）， $M=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ （不 Galois over $\mathbb{Q}$ ）。这对应于 $S_3$ 的非正规 2 阶子群。

Galois 对应（§8.1 [定理]）说的就是： $M/K$ 正规 $⟺$$\mathrm{Gal}(L/M)⊴\mathrm{Gal}(L/K)$ 。

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Galois 扩张的判据

定理 特征零的 Galois 判据

(i) 设 $K$ 是特征零域， $f\in K[x]$ 不可约。则 $f$ 的分裂域是 $K$ 上的 Galois 扩张。

(ii) 等价地：在特征零上，有限正规扩张$\Rightarrow$Galois 扩张（因为可分性自动满足）。

(iii) 有限域 ${\mathbb{F}}_q$ 的任何有限扩张都是 Galois 扩张。

证明.

(i) 特征零域上，不可约多项式总是可分的（无重根——因为 $f$ 和 $f^{\prime }$ 互素）。故 $f$ 的分裂域是正规且可分的。

(ii) 正规扩张中每个元素的极小多项式在 $L$ 中完全分裂。在特征零上极小多项式可分，故完全分裂为互异线性因子。由 (G5)， $L/K$ Galois。

(iii) 设 $L={\mathbb{F}}_{q^n}$ ， $K={\mathbb{F}}_q$ 。Frobenius ${\mathrm{Frob}}_q:x\mapsto x^q$ 生成阶为 $n$ 的循环群 $⟨{\mathrm{Frob}}_q⟩$ 。不动域为 $\{x:x^q=x\}={\mathbb{F}}_q=K$ 。由 Artin 定理， $L/K$ Galois， $\mathrm{Gal}(L/K)\cong \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 。 $◼$

特征 $p$ 的反例：纯不可分扩张

例 纯不可分扩张——可分性失败

设 $K={\mathbb{F}}_p(t)$ （ $t$ 是超越元）， $L=K(t^{1/p})={\mathbb{F}}_p(t^{1/p})$ 。则 $[L:K]=p$ （因为 $t^{1/p}$ 的极小多项式是 $x^p-t$ ）。

但 $\mathrm{Gal}(L/K)=\{\mathrm{id}\}$ ！原因：任何 $K$ -自同构 $\sigma$ 必须满足 $\sigma (t^{1/p}{)}^p=\sigma (t)=t$ 。在特征 $p$ 中， $x^p-t=(x-t^{1/p}{)}^p$ （只有一个根！）。故 $\sigma (t^{1/p})=t^{1/p}$ ， $\sigma =\mathrm{id}$ 。

因此：

• (G2) 失败： $|\mathrm{Gal}|=1\ne p=[L:K]$ 。
• (G1) 失败： $L/K$ 不可分（ $x^p-t$ 有重根）。
• (G4) 失败： $L^{\mathrm{Gal}}=L\ne K$ 。
• (G5) 失败： $t^{1/p}$ 的极小多项式 $(x-t^{1/p}{)}^p$ 有重根。

这是一个纯不可分扩张（purely inseparable extension）——它完全没有自同构，是 Galois 理论的"最坏情况"。这个例子说明可分性假设在特征 $p>0$ 中是不可省略的。

注 完美域

一个域 $K$ 称为完美域（perfect），如果 $K$ 上的每个不可约多项式都是可分的。等价地：

• 特征零的域都是完美的。
• 特征 $p$ 的域 $K$ 是完美的当且仅当 $K=K^p$ （Frobenius 是满射）。

完美域上的有限扩张自动可分，从而"正规 $\iff$ Galois"。有限域和代数闭域都是完美的。非完美的域的例子： ${\mathbb{F}}_p(t)$ 。

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一个综合例子： $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})/\mathbb{Q}$

例 从多个角度验证 Galois 性

$L=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ ， $K=\mathbb{Q}$ 。

第一步：维度。$[L:K]=4$ （因为 $\sqrt{3}\notin \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ ——否则 $\sqrt{3}=a+b\sqrt{2}$ ，平方后可得矛盾）。

第二步：Galois 群。 每个 $\sigma \in \mathrm{Gal}(L/K)$ 由 $\sigma (\sqrt{2})$ 和 $\sigma (\sqrt{3})$ 决定。 $\sigma (\sqrt{2})\in \{\pm \sqrt{2}\}$ ， $\sigma (\sqrt{3})\in \{\pm \sqrt{3}\}$ 。四个选择都是合法的自同构（验证： $\sigma$ 保持加法和乘法），故 $|\mathrm{Gal}|=4=[L:K]$ 。

由 (G2)， $L/K$ 是 Galois 的。 $\mathrm{Gal}\cong V_4=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 。

第三步：从 (G3) 的角度。$L$ 是 $f(x)=(x^2-2)(x^2-3)$ 的分裂域。 $f$ 是可分多项式（无重根）。✓

第四步：从 (G4) 的角度。$\mathrm{Gal}=\{\mathrm{id},\sigma ,\tau ,\sigma \tau \}$ （ $\sigma :\sqrt{2}\mapsto -\sqrt{2}$ ， $\tau :\sqrt{3}\mapsto -\sqrt{3}$ ）。 $L^{\mathrm{Gal}}=\mathbb{Q}$ ——验证： $a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6}$ 被所有四个自同构固定 $\Rightarrow$$b=c=d=0$$\Rightarrow$ 该元素属于 $\mathbb{Q}$ 。✓

第五步：从 (G5) 的角度。 每个 $\alpha \in L$ 的极小多项式在 $L$ 中完全分裂： $\sqrt{2}$ 的极小多项式 $x^2-2=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$ ✓； $\sqrt{3}$ 类似 ✓； $\sqrt{6}$ 的极小多项式 $x^2-6=(x-\sqrt{6})(x+\sqrt{6})$ ✓。

五种验证一致。

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与前面章节的联系

• 正规扩张的定义在 §5.2 [定义]。
• 可分多项式的定义在 §4.3。
• 特征零的可分性自动满足见 §4.3 命题。
• 嵌入扩张引理 嵌入扩张引理 是 Galois 群传递性证明的关键。
• Artin 引理 Artin 引理 是 (G2) $\iff$ (G4) 证明的基石。
• Galois 群的定义和基本性质在 §7.1。
• 基本 Galois 对应定理在 §8.1。
• 有限域 Galois 群的完整结构在 第十章。
• 可解性与 Galois 扩张的关系在 §9.1。

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本节小结

刻画	等价条件	核心思想
(G1)	正规 + 可分	结构完整：根不逃逸、根不重合
(G2)	$|\mathrm{Gal}|=[L:K]$	对称性满：每个维度对应一个独立对称性
(G3)	可分多项式的分裂域	可构造： $L$ 是某个多项式的"完整解空间"
(G4)	$L^{\mathrm{Gal}}=K$	对偶完美：Galois 群恰好筛出基域
(G5)	极小多项式封闭	元素自足：每个元素的全部共轭都在 $L$ 中

关键性质：

• Galois 扩张的复合是 Galois 的。
• Galois 扩张的交是 Galois 的。
• $M\subseteq L$ ， $L/K$ Galois $\Rightarrow$$L/M$ Galois； $M/K$ Galois $⟺$$\mathrm{Gal}(L/M)⊴\mathrm{Gal}(L/K)$ 。
• 特征零上：不可约多项式的分裂域自动 Galois；有限域上：任何有限扩张自动 Galois。

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常见误区

误区一：把 (G2) 当作 Galois 扩张的定义

虽然 $|\mathrm{Gal}(L/K)|=[L:K]$ 是最实用的判据之一，但它不是定义。Galois 扩张的标准定义是 (G1)——正规且可分。(G2) 是一个等价刻画，适用于有限扩张。在无限 Galois 理论中（第十一章），(G2) 不再有意义（ $|\mathrm{Gal}|$ 可能是无穷大），但 (G1) 和 (G4) 的推广版本仍然适用。

误区二："特征零 ⟹ 任何扩张都是 Galois 的"

特征零确实意味着所有不可约多项式都是可分的（§4.3 可分性），所以代数扩张自动可分。但正规性不是自动的！

• $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q}$ 是可分的（特征零），但不是正规的（ $x^3-2$ 的另外两个根不在 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 中）。
• 所以它不是 Galois 扩张，尽管在特征零上。

特征零上的正确陈述是：不可约多项式的分裂域自动是 Galois 扩张。不是任何扩张都是 Galois 的。

误区三：Galois 扩张的"中间扩张"都是 Galois 的

设 $L/K$ 是 Galois 的， $K\subseteq M\subseteq L$ 。则：

• $L/M$总是 Galois 的（ $\mathrm{Gal}(L/M)$ 的不动域就是 $M$ ）。
• $M/K$不一定 Galois 的。

$M/K$ 是 Galois 的 ⟺ $\mathrm{Gal}(L/M)⊴\mathrm{Gal}(L/K)$ （§8.1）。这个条件不是自动满足的——例如 $x^4-2$ 的分裂域中，某些中间域就不是正规的。

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自测题

1. [基础] 判断以下扩张是否为 Galois 的，并说明理由：

   • (a) $\mathbb{Q}(\sqrt{5})/\mathbb{Q}$
   • (b) $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})/\mathbb{Q}$
   • (c) $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega )/\mathbb{Q}$
   • (d) ${\mathbb{F}}_{25}/{\mathbb{F}}_5$

2. [理解] 设 $L=\mathbb{Q}(\sqrt{1+\sqrt{2}})$ 。 $[L:\mathbb{Q}]=4$ 。验证 $L/\mathbb{Q}$ 是否是 Galois 扩张。（提示： $L$ 是 $x^4-2x^2-1$ 的根域。 $x^4-2x^2-1$ 的四个根是什么？它们是否都在 $L$ 中？）

3. [计算] 设 $f(x)=x^4-10x^2+1\in \mathbb{Q}[x]$ 。证明 $f$ 的分裂域是 $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ 。（提示： $f$ 的根是 $\pm \sqrt{2}\pm \sqrt{3}$ 的某种组合。）由此验证 $\mathrm{Gal}(f/\mathbb{Q})\cong V_4$ 。

4. [深入] 设 $K={\mathbb{F}}_p(t)$ ， $L=K(\alpha )$ 其中 ${\alpha }^p=t$ （ $t$ 不是 $K$ 中的 $p$ 次幂）。证明：

   • (a) $[L:K]=p$
   • (b) $|\mathrm{Gal}(L/K)|=1$
   • (c) $L$ 不是任何可分多项式的分裂域
   • (d) $L^{\mathrm{Gal}(L/K)}=L$

5. [证明] 设 $L_1/K$ 和 $L_2/K$ 是有限 Galois 扩张， $L_1\cap L_2=K$ 。利用 Artin 定理和限制映射证明 $\mathrm{Gal}(L_1{L}_2/K)\cong \mathrm{Gal}(L_1/K)\times \mathrm{Gal}(L_2/K)$ 。

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