§7.2 Galois 群的计算

📖 学习目标

完成本节后，你应该能够：

1. 使用判别式法判定不可约三次多项式的 Galois 群（ $S_3$ 或 $A_3$ ）
2. 运用 Dedekind 定理（模 $p$ 约化）从多项式的分解型推断 Galois 群中包含的置换类型
3. 对不可约四次多项式，综合判别式和三次预解式确定 Galois 群（ $S_4$ 、 $A_4$ 、 $D_4$ 或 $V_4$ ）
4. 通过不动域和子群格结构辅助判断 Galois 群
5. 理解为什么计算 Galois 群是一个"逐步缩小可能性"的过程

直觉 计算策略

计算 Galois 群的核心策略是逐步缩小可能性：

1. 利用 $|\mathrm{Gal}|\le [L:K]$ 确定阶的上界。
2. 利用 Galois 群嵌入 $S_n$ 确定候选群。
3. 利用判别式、模 $p$ 约化、不动域等工具进一步排除。

计算 Galois 群 ≠ 列出所有自同构

初学者常犯的错误是试图"直接构造"所有 $K$ -自同构。对于高次多项式，这几乎不可能——正确的方法是间接推断：通过判别式、约化、预解式等工具逐步缩小候选群，最终确定 Galois 群的抽象同构类型。

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判别式法

定义 判别式

设 $f(x)=a_n{x}^n+\cdots +a_0\in K[x]$ 有根 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ （在分裂域中）。 $f$ 的判别式（discriminant）定义为

$$\mathrm{\Delta }(f)=a_n^{2n-2}\prod _{1\le i<j\le n}({\alpha }_i-{\alpha }_j{)}^2.$$

判别式可以表为 $f$ 的系数的多项式（通过结式或 Newton 恒等式）。

直觉 判别式的含义

判别式衡量的是多项式的根之间的"分离程度"：

• $\mathrm{\Delta }\ne 0$ ：所有根互不相同（可分多项式）。
• $\mathrm{\Delta }>0$ （对实系数多项式）：实根的"分散程度"。
• $\mathrm{\Delta }=0$ ：至少有两个根重合。

对 Galois 理论而言，关键在于 $\mathrm{\Delta }$ 是否为 $K$ 中的平方元——这决定了 Galois 群是否包含在交错群 $A_n$ 中。

命题 判别式与 Galois 群

设 $f\in K[x]$ 是不可约 $n$ 次多项式， $\mathrm{char}K\ne 2$ 。则：

(i)$\mathrm{\Delta }(f)\in K$ （判别式是 $K$ 的元素）。

(ii)$\mathrm{\Delta }(f)$ 在 $K$ 中是平方元当且仅当 $\mathrm{Gal}(f/K)\subseteq A_n$ （交错群）。

证明.

(i) 对 $\sigma \in \mathrm{Gal}(L/K)$ （ $L$ 是分裂域）， $\sigma$ 置换根 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ 。设 $\delta =\prod _{i<j}({\alpha }_i-{\alpha }_j)$ ，则 $\sigma (\delta )=\pm \delta$ （取决于 $\sigma$ 的置换是偶置换还是奇置换）。故 ${\delta }^2=\mathrm{\Delta }(f)$ 被所有 $\sigma$ 固定， $\mathrm{\Delta }(f)\in K$ 。

(ii)$\sigma (\delta )=\mathrm{sgn}(\sigma )\cdot \delta$ 。若 $\mathrm{\Delta }(f)=d^2$ 对某 $d\in K$ ，则 $\delta =\pm d$ ， $\sigma (\delta )=\delta$ （因为 $d\in K$ 被 $\sigma$ 固定），故 $\mathrm{sgn}(\sigma )=1$ 对所有 $\sigma$ ，即 $\mathrm{Gal}\subseteq A_n$ 。

反之若 $\mathrm{Gal}\subseteq A_n$ ，则 $\delta$ 被所有 $\sigma \in \mathrm{Gal}$ 固定，故 $\delta \in K$ （由 Galois 对应，§8.2）， $\mathrm{\Delta }(f)={\delta }^2$ 是 $K$ 中的平方元。 $◼$

具体计算：二次和三次的判别式

注 常用判别式公式

• 二次$f(x)=a{x}^2+bx+c$ ： $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ 。
• 三次$f(x)=x^3+px+q$ （缺项形式）： $\mathrm{\Delta }=-4p^3-27q^2$ 。
• 一般三次$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ ： $\mathrm{\Delta }=b^2{c}^2-4a{c}^3-4b^{3}d-27a^2{d}^2+18abcd$ 。

对二次， $\mathrm{\Delta }$ 是平方元 $⟺$$f$ 在 $K$ 中有根 $⟺$$\mathrm{Gal}$ 平凡。对三次， $\mathrm{\Delta }$ 是平方元 $⟺$$\mathrm{Gal}\subseteq A_3$ （但不可约 $\Rightarrow$$\mathrm{Gal}$ 平凡或 $A_3$ 或 $S_3$ ， $A_3$ 是唯一既非平凡又 $\subseteq A_3$ 的可能）。

例 三次多项式的 Galois 群

设 $f(x)\in \mathbb{Q}[x]$ 是不可约三次多项式。 $\mathrm{Gal}(f/\mathbb{Q})$ 只有两种可能： $S_3$ （阶 6）或 $A_3\cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ （阶 3）。

判别式决定是哪一个：

• 若 $\mathrm{\Delta }(f)$ 不是 $\mathbb{Q}$ 中的平方元，则 $\mathrm{Gal}\cong S_3$ 。
• 若 $\mathrm{\Delta }(f)$ 是 $\mathbb{Q}$ 中的平方元，则 $\mathrm{Gal}\cong A_3$ 。

具体例子：$f(x)=x^3-3x+1$ 。判别式 $\mathrm{\Delta }=-4(-3{)}^3-27(1{)}^2=108-27=81=9^2$ 。 $\mathrm{\Delta }$ 是平方元，故 $\mathrm{Gal}\cong A_3\cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ 。

对比：$g(x)=x^3-2$ 。 $\mathrm{\Delta }=-27\cdot 4=-108$ 。 $-108$ 不是 $\mathbb{Q}$ 中的平方元，故 $\mathrm{Gal}\cong S_3$ 。

$\mathrm{\Delta }$ 是平方元不意味着 $\mathrm{\Delta }>0$

" $\mathrm{\Delta }$ 是 $\mathbb{Q}$ 中的平方元"意味着 $\mathrm{\Delta }=r^2$ 对某个 $r\in \mathbb{Q}$ 。由于 $r^2\ge 0$ ，这确实要求 $\mathrm{\Delta }\ge 0$ 。但反之不成立： $\mathrm{\Delta }>0$ 不保证 $\mathrm{\Delta }$ 是有理数的平方（例如 $\mathrm{\Delta }=2$ ）。必须检查 $\sqrt{\mathrm{\Delta }}\in \mathbb{Q}$ 。

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模 $p$ 约化法（Dedekind 定理）

定理 Dedekind

设 $f(x)\in \mathbb{Z}[x]$ 是首一多项式， $p$ 是素数且 $p\nmid \mathrm{disc}(f)$ 。设 $\overline{f}$ 是 $f$ 在 ${\mathbb{F}}_p[x]$ 中的约化，且 $\overline{f}$ 在 ${\mathbb{F}}_p[x]$ 中分解为不可约因子：

$$\overline{f}={\overline{g}}_1\cdots {\overline{g}}_r,$$

其中 $\mathrm{deg}{\overline{g}}_i=d_i$ 。则 $\mathrm{Gal}(f/\mathbb{Q})$ 包含一个置换 $\sigma$ ，其循环类型为 $(d_1,\dots ,d_r)$ 。

证明. 设 $\mathfrak{p}$ 是 $\mathbb{Z}[\alpha ]$ 中在 $p$ 之上的素理想（ $\alpha$ 是 $f$ 的根）。Frob 自同构 ${\mathrm{Frob}}_{\mathfrak{p}}\in \mathrm{Gal}(f/\mathbb{Q})$ （在 $p\nmid \mathrm{disc}$ 条件下， $\mathfrak{p}$ 不分歧），其在根上的作用恰好对应于 $\overline{f}$ 的因子 ${\overline{g}}_i$ 给出的循环 $(d_1,\dots ,d_r)$ 。

更初等地：设 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ 是 $f$ 在 $\bar{\mathbb{Q}}$ 中的根， $\sigma \in \mathrm{Gal}(f/\mathbb{Q})$ 的循环类型 $(d_1,\dots ,d_r)$ 对应于 $\sigma$ 分解为不相交循环之积时各循环的长度。设 $\mathfrak{p}$ 为 $\mathbb{Z}[{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n]$ 中 $p$ 之上的素理想。约化 $mod\mathfrak{p}$ 给出 ${\mathbb{F}}_p$ 上的 Frobenius 元素，其循环类型由 $\overline{f}$ 的分解型给出。 $◼$

直觉 Dedekind 定理的含义

Dedekind 定理说的是：多项式模 $p$ 的分解型反映了 Galois 群中置换的循环结构。例如：

• 若 $\overline{f}$ 在 ${\mathbb{F}}_p$ 中完全分解为线性因子（循环型 $(1,1,\dots ,1)$ ），则 $\mathrm{Gal}$ 包含恒等置换——这总是成立的。
• 若 $\overline{f}$ 在 ${\mathbb{F}}_p$ 中不可约（循环型 $(n)$ ），则 $\mathrm{Gal}$ 包含一个 $n$ -循环。
• 若 $\overline{f}$ 分解为一个二次和一个线性因子（循环型 $(2,1)$ ），则 $\mathrm{Gal}$ 包含一个对换。

通过在多个素数 $p$ 上约化，我们可以积累关于 $\mathrm{Gal}$ 中包含哪些置换类型的信息，从而缩小候选群。

完整工作示例

例 用 Dedekind 定理计算 $\mathrm{Gal}(x^3-2/\mathbb{Q})$

$f(x)=x^3-2\in \mathbb{Z}[x]$ 。 $\mathrm{disc}(f)=-108=-2^2\cdot 3^3$ 。

$p=5$ ：$\overline{f}=x^3-2\in {\mathbb{F}}_5[x]$ 。检验： $0^3=0$ ， $1^3=1$ ， $2^3=8\equiv 3$ ， $3^3=27\equiv 2$ ✓。故 $x=3$ 是根， $\overline{f}=(x-3)(x^2+3x+4)\in {\mathbb{F}}_5[x]$ 。 $x^2+3x+4$ 在 ${\mathbb{F}}_5$ 中无根（检验 $0,1,2,3,4$ ），故不可约。分解型： $(1,2)$ 。Dedekind 定理 $\Rightarrow$$\mathrm{Gal}$ 包含一个循环型为 $(1,2)$ 的置换，即一个对换。

$p=7$ ：$\overline{f}=x^3-2\in {\mathbb{F}}_7[x]$ 。检验： $3^3=27\equiv 6$ ， $5^3=125\equiv 6$ ... 实际上 $0^3=0,1^3=1,2^3=8\equiv 1,3^3=27\equiv 6,4^3=64\equiv 1,5^3=125\equiv 6,6^3=216\equiv 6$ 。 $x^3\equiv 2$ 在 ${\mathbb{F}}_7$ 中无解。故 $\overline{f}$ 在 ${\mathbb{F}}_7$ 中不可约。分解型： $(3)$ 。Dedekind 定理 $\Rightarrow$$\mathrm{Gal}$ 包含一个 3-循环。

结论：$\mathrm{Gal}(f/\mathbb{Q})$ 包含一个对换和一个 3-循环。 $S_3$ 由对换和 3-循环生成，故 $\mathrm{Gal}=S_3$ 。✓（与判别式法一致： $\mathrm{\Delta }=-108$ 不是平方元。）

例 用 Dedekind 定理计算 $\mathrm{Gal}(x^4+1/\mathbb{Q})$

$f(x)=x^4+1\in \mathbb{Z}[x]$ 。这是第 8 个分圆多项式 ${\mathrm{\Phi }}_8(x)$ ，根为 ${\zeta }_8^k$ （ $k=1,3,5,7$ ），其中 ${\zeta }_8=e^{2\pi i/8}$ 。 $[L:\mathbb{Q}]=4$ ，故 $\mathrm{Gal}\le S_4$ 且 $|\mathrm{Gal}|=4$ 。

$S_4$ 中阶为 4 的子群有两类： $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ 和 $V_4$ 。判别式 $\mathrm{\Delta }=256={16}^2$ 是平方元，故 $\mathrm{Gal}\subseteq A_4$ 。 $A_4$ 中阶为 4 的子群只有 $V_4$ 。故 $\mathrm{Gal}\cong V_4$ 。

用 Dedekind 验证：$p=3$ ： $x^4+1=x^4-2\equiv (x^2+x+2)(x^2+2x+2)(\mathrm{mod}3)$ （两个不可约二次因子）。循环型 $(2,2)$ ——这正是 $V_4$ 中的非平凡元素 $(12)(34)$ 的类型。✓

注 Chebotarev 密度定理

Dedekind 定理的推广是 Chebotarev 密度定理： $\mathrm{Gal}(f/\mathbb{Q})$ 的每个共轭类 $C$ ，满足 $p$ 的 Frobenius 元在 $C$ 中的素数 $p$ 的集合具有 Dirichlet 密度 $|C|/|\mathrm{Gal}|$ 。这给出了 Galois 群的统计刻画，是代数数论的深刻结果。

直觉上：如果 $\mathrm{Gal}=S_4$ （阶 24），那么"约化后得到 4-循环"的素数的密度是 $6/24=1/4$ （因为 $S_4$ 中有 6 个 4-循环）。

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不动域法

命题 Galois 群与不动域

设 $L/K$ 是有限 Galois 扩张， $H\le \mathrm{Gal}(L/K)$ 。定义 $H$ 的不动域：

$$L^H=\{a\in L:\sigma (a)=a\text{ 对所有 }\sigma \in H\}.$$

则 $[L:L^H]=|H|$ （这需要 Galois 对应定理，见 §8.1）。

例 用不动域判断 Galois 群

$f(x)=x^4-2\in \mathbb{Q}[x]$ ，分裂域 $L=\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2},i)$ 。已知 $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})\cong D_4$ 。

$D_4$ 的子群格包括： $\{e\},⟨{\sigma }^2⟩,⟨\tau ⟩,⟨\sigma \tau ⟩,⟨{\sigma }^2,\tau ⟩,⟨\sigma ⟩,D_4$ 等。

每个子群 $H$ 对应一个中间域 $L^H$ ：

• $L^{D_4}=\mathbb{Q}$ （不动域就是基域）
• $L^{⟨\sigma ⟩}=\mathbb{Q}(i)$ （旋转群的不动域）
• $L^{⟨\tau ⟩}=\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})$ （反射的不动域）
• $L^{⟨{\sigma }^2⟩}=\mathbb{Q}(\sqrt{2},i)$ （180°旋转的不动域）

这展示了 Galois 对应（第八章的核心内容）。完整的中间域分类需要第八章的工具，但即使在现阶段，我们也可以用"固定哪些元素"来直觉理解 Galois 群的结构。

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三次和四次方程的 Galois 群完整分类

三次情形

定理 不可约三次多项式的 Galois 群

设 $f\in K[x]$ 是不可约三次多项式（ $\mathrm{char}K\ne 2,3$ ）。则：

$$\mathrm{Gal}(f/K)\cong \{\begin{array}{ll}{A}_3\cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}& \text{若 }\mathrm{\Delta }(f)\text{ 是 }K\text{ 中的平方元}\\ S_3& \text{否则}\end{array}$$

$A_3$ 的 Galois 群意味着什么

若 $\mathrm{Gal}\cong A_3$ ，则 $|\mathrm{Gal}|=3=[L:K]$ ，故分裂域 $L$ 就是 $K(\alpha )$ （单扩张）—— $f$ 的一个根已经生成了整个分裂域！这意味着 $f$ 的所有根都可以用 $K(\alpha )$ 中的元素表示。

这在计算上的意义是：不需要显式地添加 $\omega =e^{2\pi i/3}$ 之类的辅助元素。

四次情形

定理 不可约四次多项式的 Galois 群

设 $f(x)=x^4+a{x}^2+bx+c\in K[x]$ （ $\mathrm{char}K\ne 2,3$ ）不可约， ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 为其根。设：

• $\mathrm{\Delta }=\mathrm{disc}(f)$ （判别式）
• $r={\alpha }_1{\alpha }_2+{\alpha }_3{\alpha }_4$ ， $s={\alpha }_1{\alpha }_3+{\alpha }_2{\alpha }_4$ ， $t={\alpha }_1{\alpha }_4+{\alpha }_2{\alpha }_3$
• $g(x)=(x-r)(x-s)(x-t)$ （三次预解式，resolvent cubic）

则 $\mathrm{Gal}(f/K)$ 完全由以下数据确定：

$\mathrm{\Delta }$	$g$ 在 $K$ 上	$\mathrm{Gal}(f/K)$	阶
非平方	不可约	$S_4$	24
非平方	有根在 $K$ 中	$D_4$	8
平方	不可约	$A_4$	12
平方	有根在 $K$ 中	$V_4$	4

直觉 三次预解式的直觉

三次预解式的三个根 $r,s,t$ 对应于将四个根 ${\alpha }_i$ 分成两对的三种方式。Galois 群作用在 $\{r,s,t\}$ 上： $S_4$ 传递地作用， $A_4$ 也传递， $D_4$ 固定一个（对应于"相邻配对"）， $V_4$ 固定全部三个。

例 完整计算： $f(x)=x^4-2$

第一步：判别式。$\mathrm{\Delta }(x^4-2)=-27\cdot (-2{)}^4\cdot 4^4=-27\cdot 16\cdot 256=-110592$ 。这不是 $\mathbb{Q}$ 中的平方元（负数），故 $\mathrm{Gal}⊈A_4$ 。候选： $S_4$ 或 $D_4$ 。

第二步：三次预解式。$f(x)=x^4-2$ （ $a=0,b=0,c=-2$ ）。 $g(x)=x^3+8x=x(x^2+8)$ 。 $g$ 在 $\mathbb{Q}$ 中有根 $x=0$ 。

第三步：查表。$\mathrm{\Delta }$ 非平方， $g$ 有根在 $\mathbb{Q}$ 中 $\Rightarrow$$\mathrm{Gal}\cong D_4$ （阶 8）。

验证： 由 §7.1 例子 [例]，已知 $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2},i)/\mathbb{Q})\cong D_4$ 。✓

预解式法的适用范围

三次预解式法只适用于首一四次多项式。对于非首一多项式，需要先归一化。此外，判别式和预解式的计算可能很繁琐——实际中常用计算机代数系统（如 SageMath、PARI/GP）辅助。

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用 Galois 群分类域扩张

定理 正规扩张的 Galois 群结构

设 $L/K$ 是有限正规扩张。则 $\mathrm{Gal}(L/K)$ 的结构反映了 $L$ 的内部结构：

(i) 若 $L=L_1{\otimes }_K{L}_2$ （线性不交的张量积），则 $\mathrm{Gal}(L/K)\cong \mathrm{Gal}(L_1/K)\times \mathrm{Gal}(L_2/K)$ 。

(ii) 若 $L/K$ 有子扩张链 $K=K_0\subset K_1\subset \cdots \subset K_r=L$ ，则 $\mathrm{Gal}(L/K)$ 有对应的正规子群链。

证明.

(i) 若 $L_1$ 和 $L_2$ 在 $K$ 上线性不交（即 $L_1\cap L_2=K$ 且 $[L_1{L}_2:K]=[L_1:K][L_2:K]$ ），则每个 ${\sigma }_1\in \mathrm{Gal}(L_1/K)$ 和 ${\sigma }_2\in \mathrm{Gal}(L_2/K)$ 唯一地确定一个 $\sigma \in \mathrm{Gal}(L/K)$ 满足 $\sigma {|}_{L_1}={\sigma }_1$ ， $\sigma {|}_{L_2}={\sigma }_2$ 。这给出同构 $\mathrm{Gal}(L/K)\cong \mathrm{Gal}(L_1/K)\times \mathrm{Gal}(L_2/K)$ 。

(ii) 是 Galois 对应的直接推论，详见 §8.1。 $◼$

例 $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})/\mathbb{Q}$ 的 Galois 群

$L_1=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ ， $L_2=\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ ， $L_3=\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ 。每对交为 $\mathbb{Q}$ ，故

$$\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5})/\mathbb{Q})\cong (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}{)}^3=V_4\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z},$$

阶为 8。一般地， $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{p_1},\dots ,\sqrt{p_r})/\mathbb{Q})\cong (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}{)}^r$ （ $p_i$ 为不同的素数）。

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策略总结：计算 Galois 群的流程图

注 实用计算策略

对于 $\mathbb{Q}$ 上的不可约 $n$ 次多项式 $f$ ：

$n=2$ ：$\mathrm{Gal}\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ （总是）。

$n=3$ ： 计算 $\mathrm{\Delta }$ 。

• $\mathrm{\Delta }=r^2\in {\mathbb{Q}}^2$$\Rightarrow$$A_3\cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$
• 否则 $\Rightarrow$$S_3$

$n=4$ ： 计算 $\mathrm{\Delta }$ 和三次预解式 $g$ 。查四行表。

$n=5$ ：$S_5$ 有 5 个传递子群。需要更多工具（判别式、预解式、模 $p$ 约化、不动域）的组合。

一般 $n$ ： 这是一个活跃的研究领域。对于 $n\ge 5$ ，没有简单的分类表，需要使用群论和代数数论的深层工具。

常见误区

误区一：Dedekind 定理给出的是必要条件，不是充分条件

Dedekind 定理说：若 $f$ 模 $p$ 分解为不相交循环 $(d_1)(d_2)\cdots$ 的乘积，则 $\mathrm{Gal}$ 包含一个循环类型为 $(d_1,d_2,\dots )$ 的置换。但不能反过来说： $\mathrm{Gal}$ 中的每个置换类型都能通过某个模 $p$ 约化检测到。

实际上，对于大多数多项式，"大多数"素数 $p$ 给出的分解型只覆盖 $\mathrm{Gal}$ 的一部分共轭类。Chebotarev 密度定理（§10.2）精确量化了这一点：每个共轭类被 $(\text{其大小}/|\mathrm{Gal}|)\cdot 100\mathrm{\%}$ 的素数检测到。

误区二：判别式为完全平方 ⟹ $f$ 可约

判别式 $\mathrm{\Delta }$ 是完全平方元只说明 $\mathrm{Gal}\subseteq A_n$ ，与 $f$ 是否可约完全无关。例如：

• $f=x^3-3x+1$ ： $\mathrm{\Delta }=81=9^2$ ，故 $\mathrm{Gal}\cong A_3\cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ ，但 $f$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约。
• $f=(x-1)(x-2)(x-3)$ ： $\mathrm{\Delta }=4$ （平方元），但 $f$ 显然可约。

判别式法的正确用法是：先验证不可约性（用 Eisenstein 或其他判据），然后用判别式缩小 Galois 群的候选范围。

误区三： $n=4$ 时只看判别式就够了

四次多项式的情况比三次复杂得多。判别式只能区分 $\mathrm{Gal}\subseteq A_4$ 还是 $\mathrm{Gal}⊈A_4$ ，但 $A_4$ 有两个传递子群（ $A_4$ 本身和 $V_4$ ）， $S_4\setminus A_4$ 也有两个（ $S_4$ 本身和 $D_4$ ）。必须同时计算三次预解式才能最终确定。

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与前面章节的联系

• 判别式的定义需要 §4.1 多项式的基本理论。
• 不可约性的判定使用 §4.2 Eisenstein 判据。
• 分裂域的维度计算使用 §3.3 塔定律。
• 不动域的完整理论在 §8.1 基本 Galois 对应。
• 可解群与 Galois 群的关系在 §9.1 可解性。
• Galois 群的基本定义和例子在 §7.1。
• 有限域的 Galois 群计算在 §10.2 Frobenius。

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本节小结

方法	适用范围	能判断什么
判别式法	不可约 $n$ 次（ $\mathrm{char}\ne 2$ ）	$\mathrm{Gal}\subseteq A_n$ ？
Dedekind 定理	$\mathbb{Z}[x]$ 中首一多项式	$\mathrm{Gal}$ 中包含哪些循环类型
三次预解式	不可约四次	区分 $S_4,A_4,D_4,V_4$
不动域法	已知 Galois 群结构	中间域 ↔ 子群的对应

核心思想： 计算 Galois 群不是直接列出所有自同构，而是通过间接工具（判别式、约化、预解式）逐步缩小候选群。

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自测题

1. [基础] 计算以下多项式在 $\mathbb{Q}$ 上的 Galois 群：

   • (a) $x^2-5$
   • (b) $x^3-3x+1$ （提示： $\mathrm{\Delta }=81$ ）
   • (c) $x^3+x+1$ （提示： $\mathrm{\Delta }=-31$ ）

2. [计算] 用 Dedekind 定理（模 $p=2,3,5$ ）确定 $f(x)=x^3+x^2-2x-1$ 的 Galois 群。（提示： $f$ 在 ${\mathbb{F}}_2$ 中不可约，在 ${\mathbb{F}}_3$ 中分解为 $(x-1)(x^2+2x+2)$ 。）

3. [综合] 设 $f(x)=x^4+x+1\in \mathbb{Q}[x]$ （不可约，由模 2 约化验证）。计算 $\mathrm{\Delta }(f)$ 和三次预解式 $g(x)$ ，确定 $\mathrm{Gal}(f/\mathbb{Q})$ 。

4. [理解] 为什么 Dedekind 定理需要 $p\nmid \mathrm{disc}(f)$ 这个条件？如果 $p\mid \mathrm{disc}(f)$ 会发生什么？（提示：考虑 $f(x)=x^3-2$ 和 $p=2$ 或 $p=3$ 。）

5. [深入] 设 $f(x)=x^5-4x+2\in \mathbb{Q}[x]$ （不可约，由 Eisenstein 判据）。证明 $\mathrm{Gal}(f/\mathbb{Q})\cong S_5$ 。（提示：先用 Dedekind 定理找到一个 5-循环和一个对换。）

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