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第六章 Galois 基本定理
Galois 理论的核心思想可以用一句话概括：
Galois 扩张 $E/F$ 的中间域与 $\operatorname{Gal}(E/F)$ 的子群之间存在反序的一一对应。
这就是 Galois 基本定理 (Fundamental Theorem of Galois Theory)，也是整个 Galois 理论的基石。
6.1 Galois 扩张
定义 6.1. 有限扩张 $E/F$ 称为 Galois 扩张 (Galois extension)，若 $E/F$ 既是正规扩张又是可分扩张。
等价刻画 6.2. 以下条件等价：
- $E/F$ 是 Galois 扩张；
- $|\operatorname{Gal}(E/F)| = [E:F]$；
- $E^{\operatorname{Gal}(E/F)} = F$（即 $F$ 恰好是 Galois 群的固定域）；
- $E$ 是 $F[x]$ 中某个可分多项式的分裂域。
证明概要:
(4) $\Rightarrow$ (2)：设 $E$ 是可分多项式 $f(x) \in F[x]$ 的分裂域。对 $[E:F]$ 归纳，利用根的可扩张性（定理 5.8），每个 $F$-嵌入 $E \hookrightarrow \overline{F}$ 恰好有 $[E:F]$ 个。因为 $E$ 正规，每个嵌入的像都在 $E$ 内，故 $|\operatorname{Gal}(E/F)| = [E:F]$。
(2) $\Rightarrow$ (3)：设 $G = \operatorname{Gal}(E/F)$，$K = E^G$。则 $G \leq \operatorname{Gal}(E/K)$，故 $[E:F] = |G| \leq |\operatorname{Gal}(E/K)| \leq [E:K] \leq [E:F]$。等号处处成立，$[E:K] = [E:F]$，故 $K = F$。
此处第一个不等号是推论 5.6的直接应用，第二个不等号是因为 $\operatorname{Gal}(E/K)$ 中的每个元素都是 $E$ 作为 $K$-向量空间的线性变换。
(3) $\Rightarrow$ (1)：设 $G = \operatorname{Gal}(E/F)$，$E^G = F$。我们要证 $E/F$ 既正规又可分。
正规性：取 $\alpha \in E$，设 $\alpha_1 = \alpha, \alpha_2, \ldots, \alpha_r$ 是 $G$-轨道 $G \cdot \alpha$ 中的不同元素（即 ${\sigma(\alpha) : \sigma \in G}$）。定义
$$g(x) = \prod_{i=1}^{r} (x - \alpha_i) = x^r - s_1 x^{r-1} + s_2 x^{r-2} - \cdots + (-1)^r s_r.$$
关键观察：系数 $s_k$ 在每个 $\sigma \in G$ 下不变——因为 $\sigma$ 只是重排 $\alpha_i$ 的顺序。故 $s_k \in E^G = F$，即 $g(x) \in F[x]$。
因为 $\alpha$ 是 $g$ 的根且 $g(\alpha) = 0$，有 $\operatorname{irr}(\alpha, F) \mid g$。但 $g$ 完全在 $E$ 中分裂（所有根 $\alpha_i \in E$），故 $\operatorname{irr}(\alpha, F)$ 的所有根都在 $E$ 中。由命题 5.11的等价刻画，$E/F$ 正规。
可分性：在特征 0 下自动满足（见命题 4.20）。在一般情形下，由 Artin 引理（引理 6.5），$[E:F] = |G|$。但对每个 $\alpha \in E$，$|G \cdot \alpha|$ 等于 $\operatorname{irr}(\alpha, F)$ 的不同根的个数（由上面正规性的论证），而 $|G \cdot \alpha| = |G|/|G_\alpha|$。这保证了 $\operatorname{irr}(\alpha, F)$ 没有重根，即可分。 $\blacksquare$
(1) $\Rightarrow$ (4)：$E$ 是某个多项式的分裂域（正规性），该多项式的所有不可约因子都可分（可分性）。 $\blacksquare$
特征 0 的情形
在特征为 0 的域（如 $\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}$）上，可分性自动满足。因此有限正规扩张就自动是 Galois 扩张。本书后续的主要例子都在特征 0 下。
例 6.3.
- $\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$ 是 Galois 扩张。$\operatorname{Gal} = {\operatorname{id}, \sigma}$，$\sigma(\sqrt{2}) = -\sqrt{2}$。
- $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q}$ 不是 Galois 扩张（不正规）。
- $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega)/\mathbb{Q}$ 是 Galois 扩张（$x^3-2$ 的分裂域），$|\operatorname{Gal}| = 6$。
6.2 Galois 对应
定理 6.4 (Galois 基本定理). 设 $E/F$ 为有限 Galois 扩张，$G = \operatorname{Gal}(E/F)$。定义两个映射：
- 从子群到中间域： $H \mapsto E^H$（$H$ 的固定域）；
- 从中间域到子群： $K \mapsto \operatorname{Gal}(E/K)$（固定 $K$ 的自同构群）。
则：
(1) 反序双射. 以上两个映射在 $G$ 的子群与 $E/F$ 的中间域之间建立反序一一对应：
$${H : H \leq G} \xleftrightarrow{1:1} {K : F \subseteq K \subseteq E}.$$
具体地：$H = \operatorname{Gal}(E/E^H)$，$K = E^{\operatorname{Gal}(E/K)}$。
(2) 指数与次数. 对应关系保持"大小"：
$$|\operatorname{Gal}(E/K)| = [E:K], \quad [G:H] = [E^H:F].$$
(3) 正规子群与 Galois 子扩张. $H \trianglelefteq G$ 当且仅当 $E^H/F$ 是 Galois 扩张。此时
$$\operatorname{Gal}(E^H/F) \cong G/H.$$
(4) 格结构. 对应保持交与并：
$$E^{H_1 \cap H_2} = E^{H_1} \cdot E^{H_2}, \quad E^{H_1 \cdot H_2} = E^{H_1} \cap E^{H_2}.$$
证明:
(1) 设 $H \leq G$，$K = E^H$。则 $H \leq \operatorname{Gal}(E/K)$，故 $|H| \leq |\operatorname{Gal}(E/K)| \leq [E:K]$。但 $K = E^H$ 意味着 $[E:K] \leq |H|$（由 Artin 引理，见下）。故等号处处成立，$H = \operatorname{Gal}(E/K) = \operatorname{Gal}(E/E^H)$。
反方向：设 $F \subseteq K \subseteq E$，$H = \operatorname{Gal}(E/K)$。则 $K \subseteq E^H$，故 $[E^H:K] \leq [E:K]/[E:K] = 1$（利用 $|\operatorname{Gal}(E/K)| = [E:K]$），即 $E^H = K$。
(2) 由 (1) 的论证中等号的成立直接得到。
(3) $(\Rightarrow)$ 设 $H \trianglelefteq G$，$K = E^H$。每个 $\sigma \in G$ 诱导 $K$ 的自同构 $\sigma|_K$（因为 $H$ 正规保证了 $\sigma(K) = K$）。核映射 $G \to \operatorname{Aut}(K)$ 的核恰为 $H$，像为 $\operatorname{Gal}(K/F)$，故 $\operatorname{Gal}(K/F) \cong G/H$。
$(\Leftarrow)$ 设 $K/F$ 是 Galois 扩张。则 $\operatorname{Gal}(E/K) \trianglelefteq \operatorname{Gal}(E/F)$（标准论证，利用 $\operatorname{Gal}(K/F) \cong G/H$ 的同构是自然的）。
(4) 利用 $E^H$ 的定义和集合的交、并运算直接验证。 $\blacksquare$
引理 6.5 (Artin 引理). 设 $G$ 为域 $E$ 的自同构群的有限子群，$K = E^G$。则 $[E:K] = |G|$。
证明: 设 $|G| = n$，反证法假设 $[E:K] > n$。取 $n+1$ 个 $K$-线性无关的元素 $a_1, \ldots, a_{n+1} \in E$。考虑齐次线性方程组
$$\sigma_1(a_i) x_1 + \sigma_2(a_i) x_2 + \cdots + \sigma_n(a_i) x_n = 0, \quad i = 1, \ldots, n+1,$$
其中 $G = {\sigma_1, \ldots, \sigma_n}$。$n+1$ 个方程、$n$ 个未知数，存在非零解 $(c_1, \ldots, c_n) \in E^n$。取一个解使得非零分量最少，不妨设 $c_1 \neq 0$。因 $\sigma_1 = \operatorname{id}$，可设 $c_1 = 1$。
对任意 $\tau \in G$，将方程组经 $\tau$ 作用。由 $G$ 的群结构，${\tau\sigma_1, \ldots, \tau\sigma_n}$ 是 $G$ 的重排，故 $(\tau(c_1), \ldots, \tau(c_n))$ 也是解。因此 $(c_1 - \tau(c_1), \ldots, c_n - \tau(c_n))$ 也是解，且第一个分量为 $1 - \tau(1) = 0$。由极小性假设，此解为零，即 $\tau(c_j) = c_j$ 对所有 $j$，所有 $\tau$。故 $c_j \in E^G = K$。但 $c_1 = 1, \ldots, c_n \in K$ 且不全为零，代入原方程组：
$$\sum_j \sigma_j(a_i) c_j = 0, \quad i = 1, \ldots, n+1.$$
取 $c_j \in K$，这意味着 $a_1, \ldots, a_{n+1}$ 在 $K$ 上线性相关（方程组的系数在 $K$ 中），矛盾。 $\blacksquare$
6.3 格图
Galois 对应可以用格图 (lattice diagram) 可视化。
例 6.6. 设 $E = \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})$，$F = \mathbb{Q}$。则 $\operatorname{Gal}(E/F) \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$（Klein 四元群）。
Galois 群的四个自同构：
| $\sqrt{2}$ | $\sqrt{3}$ | |
|---|---|---|
| $\operatorname{id}$ | $\sqrt{2}$ | $\sqrt{3}$ |
| $\sigma$ | $-\sqrt{2}$ | $\sqrt{3}$ |
| $\tau$ | $\sqrt{2}$ | $-\sqrt{3}$ |
| $\sigma\tau$ | $-\sqrt{2}$ | $-\sqrt{3}$ |
子群与中间域的对应：
E = Q(√2, √3)
/ | | \
{id} {e,στ} {e,σ} {e,τ} ← 子群
| | | |
E Q(√6) Q(√3) Q(√2) ← 中间域
\ | | /
G (全体) = Z/2 × Z/2
|
Q- $\operatorname{Gal}(E/\mathbb{Q}(\sqrt{2})) = {\operatorname{id}, \tau}$
- $\operatorname{Gal}(E/\mathbb{Q}(\sqrt{3})) = {\operatorname{id}, \sigma}$
- $\operatorname{Gal}(E/\mathbb{Q}(\sqrt{6})) = {\operatorname{id}, \sigma\tau}$
每个子群都是正规子群（因为 $G$ 是交换群），故每个中间域都是 $\mathbb{Q}$ 上的 Galois 扩张。
例 6.7. 设 $E = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega)$，$F = \mathbb{Q}$，其中 $\omega = e^{2\pi i/3}$。则 $\operatorname{Gal}(E/F) \cong S_3$，这是最简单的非交换 Galois 群。
$S_3$ 的子群与中间域的对应：
| 子群 $H$ | $|H|$ | 固定域 $E^H$ | $[E^H:\mathbb{Q}]$ |
|---|---|---|---|
| $S_3$ | 6 | $\mathbb{Q}$ | 1 |
| $A_3 = \langle (1,2,3) \rangle$ | 3 | $\mathbb{Q}(\omega)$ | 2 |
| $\langle (1,2) \rangle$ | 2 | $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ | 3 |
| $\langle (1,3) \rangle$ | 2 | $\mathbb{Q}(\omega^2\sqrt[3]{2})$ | 3 |
| $\langle (2,3) \rangle$ | 2 | $\mathbb{Q}(\omega\sqrt[3]{2})$ | 3 |
| ${e}$ | 1 | $E$ | 6 |
注意：$A_3 \trianglelefteq S_3$ 是唯一的非平凡正规子群，对应唯一的非平凡 Galois 子扩张 $\mathbb{Q}(\omega)/\mathbb{Q}$。其余三个 2 阶子群都不是正规的，对应的中间域 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 等不是 $\mathbb{Q}$ 上的 Galois 扩张——这正是第五章例 5.12 观察到的现象。
6.4 循环扩张
定义 6.7. Galois 扩张 $E/F$ 称为循环扩张 (cyclic extension)，若 $\operatorname{Gal}(E/F)$ 是循环群。
例 6.8. $E = \mathbb{Q}(\zeta_5)$，$F = \mathbb{Q}$。$\operatorname{Gal}(E/F) \cong (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^{\times} \cong \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ 是 4 阶循环群。唯一的真子群是 2 阶的，对应中间域 $[\mathbb{Q}(\zeta_5):\mathbb{Q}] = 4$ 中唯一的二次子域——$\mathbb{Q}(\sqrt{5})$。
命题 6.9. 设 $E/F$ 为 Galois 扩张，$\operatorname{Gal}(E/F) = \langle \sigma \rangle \cong \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$。则中间域 $K$（$F \subseteq K \subseteq E$）与 $n$ 的正因子 $d$ 一一对应：$[K:F] = d$ 且 $K = E^{\langle \sigma^{n/d} \rangle}$。
证明: $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 的子群恰好是 $\langle \bar{k} \rangle = {0, \bar{k}, 2\bar{k}, \ldots}$，其中 $k$ 取遍 $n$ 的正因子，$|\langle \bar{k}\rangle| = n/k$。Galois 对应将其转为中间域。 $\blacksquare$
6.5 基本定理的应用：不可约性的判别
Galois 对应提供了一个优雅的方法来判断多项式的不可约性。
命题 6.10. 设 $E/F$ 为 Galois 扩张，$\alpha \in E$。则 $\operatorname{irr}(\alpha, F)$ 的根恰好是 $G \cdot \alpha = {\sigma(\alpha) : \sigma \in G}$ 中不同的元素，其中 $G = \operatorname{Gal}(E/F)$。
证明: 由推论 5.5，$\sigma(\alpha)$ 总是 $\operatorname{irr}(\alpha, F)$ 的根。反过来，若 $\beta$ 也是 $\operatorname{irr}(\alpha, F)$ 的根，由定理 5.7，存在 $F$-同构 $F(\alpha) \to F(\beta)$。因为 $E/F$ 正规，此同构可延拓为 $E$ 的 $F$-自同构，故 $\beta = \sigma(\alpha)$ 对某个 $\sigma \in G$。 $\blacksquare$
推论 6.11. 在命题 6.10 的设定下，$[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}] = [G : G_\alpha]$，其中 $G_\alpha = \operatorname{Gal}(E/\mathbb{Q}(\alpha))$ 是 $\alpha$ 的稳定子。
小结
Galois 基本定理建立了有限 Galois 扩张的中间域与 Galois 群的子群之间的反序一一对应。正规子群对应 Galois 子扩张，指数对应次数。这一对应将域论问题转化为群论问题——这正是 Galois 理论的威力所在。在下一章中，我们将利用这一定理回答一个历史性的问题：五次方程为什么不能用根式求解？