第五章 域自同构

自同构 (automorphism) 是域论中的对称性。域 $E$ 的自同构群 $\operatorname{Aut}(E)$ 记录了 $E$ 中保持域结构的变换。当我们将注意力限制为固定基域 $F$ 的自同构时，就得到了 Galois 群 $\operatorname{Gal}(E/F)$——Galois 理论的核心对象。

5.1 域自同构

定义 5.1. 域 $E$ 的自同构 (automorphism) 是从 $E$ 到自身的域同构，即双射 $\sigma: E \to E$ 满足：

$$\sigma(a+b) = \sigma(a) + \sigma(b), \quad \sigma(ab) = \sigma(a)\sigma(b).$$

$E$ 的所有自同构在映射复合下构成群，记作 $\operatorname{Aut}(E)$。

定义 5.2 ($F$-自同构). 设 $E/F$ 为域扩张。$\sigma \in \operatorname{Aut}(E)$ 称为**$F$-自同构** (F-automorphism)，若 $\sigma$ 在 $F$ 上为恒等映射，即

$$\sigma(a) = a \quad \text{对所有 } a \in F.$$

$E$ 的所有 $F$-自同构构成 $\operatorname{Aut}(E)$ 的子群，记作

$$\operatorname{Gal}(E/F) = {\sigma \in \operatorname{Aut}(E) : \sigma|_F = \operatorname{id}_F},$$

称为 $E$ 在 $F$ 上的 Galois 群 (Galois group)。

例 5.3.

• $\operatorname{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R}) = {\operatorname{id}, \text{共轭}} \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$。唯一的非平凡自同构是 $\sigma: a+bi \mapsto a-bi$。
• $\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}) = {\operatorname{id}, \sigma} \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$，其中 $\sigma: a+b\sqrt{2} \mapsto a-b\sqrt{2}$。

5.2 自同构的作用

命题 5.4. 设 $E/F$ 为域扩张，$\sigma \in \operatorname{Gal}(E/F)$。则对任意 $f(x) \in F[x]$ 和 $\alpha \in E$，

$$f(\alpha) = 0 \implies f(\sigma(\alpha)) = 0.$$

即 $\sigma$ 将 $f$ 的根映为 $f$ 的根。

证明: 设 $f(x) = \sum a_i x^i$，$a_i \in F$。则

$$f(\sigma(\alpha)) = \sum a_i (\sigma(\alpha))^i = \sum \sigma(a_i) \sigma(\alpha^i) = \sigma!\left(\sum a_i \alpha^i\right) = \sigma(f(\alpha)) = \sigma(0) = 0.$$

这里关键用到了 $\sigma(a_i) = a_i$。 $\blacksquare$

推论 5.5. 设 $\alpha \in E$ 是 $F$ 上的代数元，$\operatorname{irr}(\alpha, F)$ 的根为 $\alpha_1 = \alpha, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$。则对任意 $\sigma \in \operatorname{Gal}(E/F)$，$\sigma(\alpha) \in {\alpha_1, \ldots, \alpha_n}$。

证明: $\alpha$ 是 $\operatorname{irr}(\alpha, F)$ 的根，由命题 5.4，$\sigma(\alpha)$ 也是 $\operatorname{irr}(\alpha, F)$ 的根。 $\blacksquare$

推论 5.6. $|\operatorname{Gal}(E/F)| \leq [E:F]$。

证明: $\sigma \in \operatorname{Gal}(E/F)$ 由它在 $E$ 的一组 $F$-基上的作用唯一决定。对 ${1, \alpha, \ldots, \alpha^{n-1}}$ 这样的基（$\alpha$ 为代数元），$\sigma$ 由 $\sigma(\alpha)$ 完全确定，而 $\sigma(\alpha)$ 只有至多 $n$ 种选择。 $\blacksquare$

5.3 分裂域上的自同构

定理 5.7 (不可约多项式根的可扩张性). 设 $f(x) \in F[x]$ 为不可约多项式，$\alpha$ 和 $\beta$ 都是 $f$ 的根（在某个扩域中）。则存在域同构 $\sigma: F(\alpha) \to F(\beta)$ 使得 $\sigma|_F = \operatorname{id}_F$ 且 $\sigma(\alpha) = \beta$。

证明: 定义 $\sigma: F(\alpha) \to F(\beta)$ 为

$$\sigma!\left(\sum_{i=0}^{n-1} a_i \alpha^i\right) = \sum_{i=0}^{n-1} a_i \beta^i,$$

其中 $n = \deg f$。由 $F(\alpha) \cong F[x]/(f) \cong F(\beta)$，这是一个良定义的域同构。 $\blacksquare$

定理 5.8 (自同构的延拓). 设 $E$ 是 $f(x) \in F[x]$ 的分裂域。若 $\sigma: F \to F'$ 是域同构，$E'$ 是 $f^\sigma(x) \in F'[x]$（将 $f$ 的系数经 $\sigma$ 映射后得到的多项式）的分裂域，则 $\sigma$ 可以延拓为同构 $\tilde{\sigma}: E \to E'$。

证明: 对 $[E:F]$ 归纳。设 $\alpha$ 为 $f$ 在 $E$ 中的一个根，$\alpha'$ 为 $f^\sigma$ 在 $E'$ 中的对应根。由定理 5.7，存在延拓 $\sigma': F(\alpha) \to F'(\alpha')$。因为 $E$ 也是 $f$ 在 $F(\alpha)$ 上的分裂域，$E'$ 也是 $f^{\sigma'}$ 在 $F'(\alpha')$ 上的分裂域，由归纳假设可进一步延拓。 $\blacksquare$

推论 5.9. 设 $E$ 是 $f(x) \in F[x]$ 的分裂域。则 $|\operatorname{Gal}(E/F)| = [E:F]$ 当且仅当 $f$ 的所有不可约因子都是可分的（特别地，在特征 0 下恒成立）。

5.4 正规扩张

定义 5.10. 代数扩张 $E/F$ 称为正规扩张 (normal extension)，若 $F[x]$ 中每个在 $E$ 中有根的不可约多项式都在 $E[x]$ 中完全分解。

等价地：$E$ 是 $F$ 上一族多项式的分裂域。

命题 5.11. 设 $E/F$ 为有限扩张。则以下等价：

1. $E/F$ 是正规扩张；
2. 对任意 $\alpha \in E$，$\operatorname{irr}(\alpha, F)$ 的所有根都在 $E$ 中；
3. $E$ 是 $F[x]$ 中某个多项式的分裂域。

证明: (1) $\Rightarrow$ (2) 由正规性的定义直接得到。

(2) $\Rightarrow$ (3) 设 $E = F(\alpha_1, \ldots, \alpha_m)$，$f_i = \operatorname{irr}(\alpha_i, F)$。由条件 (2)，$f_i$ 的所有根都在 $E$ 中。令 $f = f_1 \cdots f_m$，则 $E$ 是 $f$ 的分裂域。

(3) $\Rightarrow$ (1) 设 $E$ 是 $g(x) \in F[x]$ 的分裂域，$h(x) \in F[x]$ 在 $E$ 中有根 $\alpha$。我们要证 $h$ 在 $E$ 中完全分解。利用定理 5.8 中自同构的延拓性质：$h$ 的每个根都可以通过某个 $F$-嵌入 $F(\alpha) \hookrightarrow \overline{F}$ 映到 $E$ 中（因为 $E$ 是正规的，任何 $F$-嵌入 $E \hookrightarrow \overline{F}$ 的像都落在 $E$ 内）。 $\blacksquare$

例 5.12.

• $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q}$ 不是正规扩张：$x^3-2$ 在 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 中有根 $\sqrt[3]{2}$，但其另外两个根 $\omega\sqrt[3]{2}$ 和 $\omega^2\sqrt[3]{2}$ 是复数，不在 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) \subset \mathbb{R}$ 中。
• $\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$ 是正规扩张：$x^2-2$ 的两个根 $\pm\sqrt{2}$ 都在 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 中。
• $\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})/\mathbb{Q}$ 是正规扩张：它是 $(x^2-2)(x^2-3)$ 的分裂域。

5.5 固定域

定义 5.13. 设 $G \leq \operatorname{Aut}(E)$ 为自同构群的子群。$G$ 的固定域 (fixed field) 为

$$E^G = {a \in E : \sigma(a) = a \text{ 对所有 } \sigma \in G}.$$

命题 5.14. $E^G$ 是 $E$ 的子域，且包含 $F$（若 $G \leq \operatorname{Gal}(E/F)$）。

证明: 设 $a, b \in E^G$，$\sigma \in G$。则 $\sigma(a-b) = \sigma(a) - \sigma(b) = a - b$，$\sigma(ab) = \sigma(a)\sigma(b) = ab$。若 $a \neq 0$，$\sigma(a^{-1}) = \sigma(a)^{-1} = a^{-1}$。故 $a-b, ab, a^{-1} \in E^G$。 $\blacksquare$

核心问题: $\operatorname{Gal}(E/E^G)$ 与 $G$ 之间是什么关系？$E^{\operatorname{Gal}(E/F)}$ 与 $F$ 之间又是什么关系？

• 总有 $G \leq \operatorname{Gal}(E/E^G)$（自同构固定 $E^G$ 中的元素是定义）。
• 总有 $F \subseteq E^{\operatorname{Gal}(E/F)}$。

在什么条件下等号成立？这正是 Galois 理论基本定理的核心问题，将在下一章中回答。

5.6 有限域的自同构

例 5.15. 有限域（又称 Galois 域）$\mathbb{F}_{p^n}$ 是 $\mathbb{F}_p$ 上的 $n$ 次扩张。

$\mathbb{F}_{p^n}$ 的特征为 $p$，其元素恰好是 $x^{p^n} - x$ 的所有根。Galois 群由 Frobenius 自同构 生成：

$$\operatorname{Gal}(\mathbb{F}_{p^n}/\mathbb{F}_p) = \langle \varphi \rangle \cong \mathbb{Z}/n\mathbb{Z},$$

其中 $\varphi(a) = a^p$。

验证: $\varphi$ 是域自同构：$\varphi(a+b) = (a+b)^p = a^p + b^p = \varphi(a) + \varphi(b)$（在特征 $p$ 下成立），$\varphi(ab) = (ab)^p = a^p b^p$。$\varphi$ 固定 $\mathbb{F}_p$ 由 Fermat 小定理：$a^p \equiv a \pmod{p}$ 对 $a \in \mathbb{F}p$。$\varphi^n = \operatorname{id}$ 因为 $a^{p^n} = a$ 对 $a \in \mathbb{F}$。

例 5.16. $\operatorname{Gal}(\mathbb{F}_4/\mathbb{F}_2) \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$。$\mathbb{F}_4 = {0, 1, \alpha, \alpha+1}$，其中 $\alpha^2 = \alpha + 1$。Frobenius 自同构 $\varphi: x \mapsto x^2$ 交换 $\alpha$ 和 $\alpha+1$。

小结

本章引入了域的自同构群和 Galois 群的概念。核心观察是：Galois 群中的自同构将不可约多项式的根映为根，且其元素个数受扩张次数的上界约束。正规扩张保证了根的完整性。在下一章中，我们将证明 Galois 理论的核心定理——在正规可分扩张（即 Galois 扩张）上，Galois 群的子群与中间域之间存在一一对应。