第四章 域扩张

域扩张 (field extension) 是 Galois 理论的核心舞台。从一个基域 $F$ 出发，通过添加新元素构造更大的域 $E$，研究 $E$ 作为 $F$-向量空间的结构，是理解自同构和 Galois 对应的基础。

4.1 基本定义

定义 4.1 (域扩张). 若 $F$ 和 $E$ 都是域，且 $F \subseteq E$（更准确地说，存在单的环同态 $F \hookrightarrow E$），则称 $E$ 是 $F$ 的扩张 (extension)，记作 $E/F$。

$E$ 自然地成为 $F$ 上的向量空间：标量乘法由 $F$ 在 $E$ 中的乘法给出。

定义 4.2 (扩张次数). 扩张 $E/F$ 的次数 (degree) 定义为

$$[E:F] = \dim_F E,$$

即 $E$ 作为 $F$-向量空间的维数。若 $[E:F] < \infty$，称 $E/F$ 为有限扩张 (finite extension)；否则称为无限扩张。

例 4.3.

• $[\mathbb{C}:\mathbb{R}] = 2$，基为 ${1, i}$。
• $[\mathbb{R}:\mathbb{Q}] = \infty$（$\mathbb{R}$ 在 $\mathbb{Q}$ 上是无限维的）。
• $[\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}] = 2$，基为 ${1, \sqrt{2}}$。

4.2 单扩张与极小多项式

定义 4.4. 设 $E/F$ 为域扩张，$\alpha \in E$。$F(\alpha)$ 表示 $E$ 中包含 $F$ 和 $\alpha$ 的最小子域，即 $F$ 添加 $\alpha$ 生成的单扩张 (simple extension)。

$F(\alpha)$ 的结构取决于 $\alpha$ 在 $F$ 上是否代数：

定义 4.5 (代数元). $\alpha \in E$ 称为 $F$ 上的代数元 (algebraic element)，若存在非零多项式 $f(x) \in F[x]$ 使得 $f(\alpha) = 0$。否则称 $\alpha$ 为 $F$ 上的超越元 (transcendental element)。

定义 4.6 (极小多项式). 设 $\alpha$ 是 $F$ 上的代数元。$\alpha$ 在 $F$ 上的极小多项式 (minimal polynomial) 定义为

$$\operatorname{irr}(\alpha, F) = \text{首一的、次数最低的、以 } \alpha \text{ 为根的不可约多项式}.$$

命题 4.7. $\operatorname{irr}(\alpha, F)$ 是 $F[x]$ 中唯一满足以下条件的多项式：

1. $\operatorname{irr}(\alpha, F)$ 是首一的；
2. $\operatorname{irr}(\alpha, F)(\alpha) = 0$；
3. 若 $f(\alpha) = 0$ 对 $f \in F[x]$，则 $\operatorname{irr}(\alpha, F) \mid f$。

证明: 设 $m(x) = \operatorname{irr}(\alpha, F)$。对 $f(\alpha) = 0$，带余除法：$f = qm + r$，$\deg r < \deg m$。则 $r(\alpha) = f(\alpha) - q(\alpha)m(\alpha) = 0$。由 $m$ 的极小次数，$r = 0$。唯一性由 (1)(3) 推出。 $\blacksquare$

定理 4.8 (单代数扩张的结构). 设 $\alpha$ 是 $F$ 上的代数元，$m(x) = \operatorname{irr}(\alpha, F)$，$\deg m = n$。则：

1. $F(\alpha) = F[\alpha] = {f(\alpha) : f \in F[x]}$；
2. $F(\alpha) \cong F[x]/(m(x))$；
3. $[F(\alpha):F] = n$；
4. ${1, \alpha, \alpha^2, \ldots, \alpha^{n-1}}$ 是 $F(\alpha)$ 在 $F$ 上的基。

证明:

(2) 定义求值同态 $\text{ev}\alpha: F[x] \to E$，$\text{ev}\alpha(f) = f(\alpha)$。这是一个满射（到 $F[\alpha]$）的环同态，核恰好是 $(m(x))$（由命题 4.7 的性质 3）。由环的第一同构定理，$F[x]/(m(x)) \cong F[\alpha]$。

由于 $m(x)$ 不可约，$(m(x))$ 是极大理想，故 $F[x]/(m(x))$ 是域。因此 $F[\alpha]$ 已经是域，$F(\alpha) = F[\alpha]$。

(3)(4) 在 $F[x]/(m(x))$ 中，${1, \bar{x}, \ldots, \bar{x}^{n-1}}$ 是 $F$-基（由带余除法）。 $\blacksquare$

例 4.9.

• $\operatorname{irr}(\sqrt{2}, \mathbb{Q}) = x^2 - 2$，$\mathbb{Q}(\sqrt{2}) \cong \mathbb{Q}[x]/(x^2-2)$，$[\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}] = 2$。
• $\operatorname{irr}(i, \mathbb{R}) = x^2 + 1$，$\mathbb{C} = \mathbb{R}(i) \cong \mathbb{R}[x]/(x^2+1)$，$[\mathbb{C}:\mathbb{R}] = 2$。
• $\operatorname{irr}(\sqrt[3]{2}, \mathbb{Q}) = x^3 - 2$（由 Eisenstein 判别法），$[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}] = 3$。

4.3 扩张的塔

定理 4.10 (次数的乘法公式 / Tower Law). 设 $F \subseteq K \subseteq E$ 为域的塔。则

$$[E:F] = [E:K] \cdot [K:F].$$

证明: 设 ${a_i}{i \in I}$ 是 $K$ 在 $F$ 上的基，${b_j}{j \in J}$ 是 $E$ 在 $K$ 上的基。则 ${a_i b_j}_{(i,j) \in I \times J}$ 是 $E$ 在 $F$ 上的基。

• 张成性：对 $e \in E$，$e = \sum_j k_j b_j$（$k_j \in K$），再展开 $k_j = \sum_i c_{ij} a_i$。
• 线性无关：设 $\sum_{i,j} c_{ij} a_i b_j = 0$，则 $\sum_j (\sum_i c_{ij} a_i) b_j = 0$，由 ${b_j}$ 在 $K$ 上线性无关，$\sum_i c_{ij} a_i = 0$，再由 ${a_i}$ 在 $F$ 上线性无关，$c_{ij} = 0$。 $\blacksquare$

推论 4.11. 若 $[E:F]$ 为素数，则 $F$ 和 $E$ 之间没有中间域。

例 4.12. 计算 $[\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}):\mathbb{Q}]$。

考虑塔 $\mathbb{Q} \subseteq \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \subseteq \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})$。

• $[\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}] = 2$（$x^2-2$ 不可约）。
• $[\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}):\mathbb{Q}(\sqrt{2})] = 2$（因为 $\sqrt{3} \notin \mathbb{Q}(\sqrt{2})$：若 $\sqrt{3} = a + b\sqrt{2}$，平方后得 $3 = a^2 + 2b^2 + 2ab\sqrt{2}$，则 $ab = 0$，逐一分析均矛盾）。

故 $[\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}):\mathbb{Q}] = 4$，基为 ${1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}}$。

4.4 代数扩张

定义 4.13. 扩张 $E/F$ 称为代数扩张 (algebraic extension)，若 $E$ 中每个元素都是 $F$ 上的代数元。

命题 4.14. 有限扩张必是代数扩张。

证明: 设 $[E:F] = n$。对任意 $\alpha \in E$，$n+1$ 个元素 $1, \alpha, \ldots, \alpha^n$ 在 $F$-向量空间 $E$ 中必线性相关，故存在非零多项式 $f \in F[x]$ 使得 $f(\alpha) = 0$。 $\blacksquare$

注意：逆命题不成立。$\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \ldots)$ 是 $\mathbb{Q}$ 的代数扩张，但不是有限扩张。

命题 4.15. 代数扩张的代数扩张仍是代数扩张。即若 $E/K$ 和 $K/F$ 都是代数扩张，则 $E/F$ 也是代数扩张。

证明: 设 $\alpha \in E$。$\alpha$ 在 $K$ 上代数，设 $\operatorname{irr}(\alpha, K) = x^n + k_{n-1}x^{n-1} + \cdots + k_0$。令 $F' = F(k_0, \ldots, k_{n-1})$。因为每个 $k_i$ 在 $F$ 上代数，$[F':F] < \infty$（逐次添加代数元，次数有限）。而 $\alpha$ 在 $F'$ 上代数，$[F'(\alpha):F'] \leq n$。由塔公式，$[F(\alpha):F] \leq [F'(\alpha):F] = [F'(\alpha):F'][F':F] < \infty$。 $\blacksquare$

4.5 分裂域的次数

命题 4.16. 设 $f(x) \in F[x]$ 是 $n$ 次不可约多项式，$E$ 是 $f$ 的分裂域。则 $[E:F]$ 整除 $n!$。

证明: 对 $n$ 归纳。设 $\alpha$ 为 $f$ 的一个根，$[F(\alpha):F] = n$。在 $F(\alpha)$ 上，$f(x) = (x-\alpha)g(x)$，$\deg g = n-1$。$f$ 的分裂域也是 $g$ 在 $F(\alpha)$ 上的分裂域，由归纳假设，$[E:F(\alpha)] \mid (n-1)!$。由塔公式，$[E:F] = n \cdot [E:F(\alpha)] \mid n!$。 $\blacksquare$

例 4.17. $f(x) = x^3 - 2 \in \mathbb{Q}[x]$。

• $\alpha_1 = \sqrt[3]{2}$，$\alpha_2 = \omega\sqrt[3]{2}$，$\alpha_3 = \omega^2\sqrt[3]{2}$（$\omega = e^{2\pi i/3}$）。
• $[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}] = 3$。
• $[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega):\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})] = 2$（$x^2+x+1$ 在 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 上不可约，因为 $\omega \notin \mathbb{R}$ 而 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) \subset \mathbb{R}$）。
• 分裂域为 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega)$，$[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega):\mathbb{Q}] = 6 = 3!$。

4.6 可分性初步

定义 4.18. 设 $f(x) \in F[x]$ 为不可约多项式。$f$ 称为可分的 (separable)，若 $f$ 在其分裂域中的根都是单根（即重数为 1）。

定义 4.19. 代数扩张 $E/F$ 称为可分扩张 (separable extension)，若每个 $\alpha \in E$ 的极小多项式 $\operatorname{irr}(\alpha, F)$ 都是可分的。

命题 4.20. 特征为 0 的域上的不可约多项式总是可分的。

证明: 设 $f$ 不可约且有重根 $\alpha$。则 $f$ 和 $f'$ 有公共因子 $x - \alpha$，故 $\gcd(f, f') \neq 1$。但 $\deg f' < \deg f$ 且 $f$ 不可约，故 $\gcd(f, f') = f$，即 $f \mid f'$。但 $\deg f' < \deg f$，故 $f' = 0$。在特征为 0 的域中，$f' = 0$ 当且仅当 $f$ 是常数，矛盾。 $\blacksquare$

可分性的重要性

在 Galois 基本定理（定理 6.4）中，Galois 扩张被定义为既是正规又是可分的扩张。在特征 0 下（本书的主要设定），可分性自动满足，因此只需关注正规性。正规扩张保证了 Galois 群的大小恰好等于扩张次数，这是 Galois 对应成立的关键。

正特征的情形

在特征 $p > 0$ 的域上，不可约多项式可能不可分。例如 $f(x) = x^p - t \in \mathbb{F}_p(t)[x]$ 不可约但在分裂域中只有一个根 $t^{1/p}$，重数为 $p$。这样的扩张称为纯不可分扩张 (purely inseparable extension)。

小结

本章建立了域扩张的基本理论：单扩张、极小多项式、扩张次数的塔公式、代数扩张与可分性。核心结论是单代数扩张的结构定理——$F(\alpha) \cong F[x]/(\operatorname{irr}(\alpha, F))$。在下一章中，我们将研究域的自同构群——Galois 理论的另一个主角。