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第一章 群论回顾
Galois 理论的起点是群 (group) 的概念。19 世纪初，Évariste Galois 通过分析多项式根的对称性，首次揭示了群与域之间的深刻联系。本章系统回顾群论的基本概念，为后续的域扩张理论奠定基础。
1.1 群的定义与基本性质
定义 1.1 (群). 一个群是一个集合 $G$ 配上一个二元运算 $\cdot : G \times G \to G$（通常省略不写，即 $ab$ 表示 $a \cdot b$），满足以下四条公理：
- 封闭性 (closure)：对所有 $a, b \in G$，有 $ab \in G$；
- 结合律 (associativity)：对所有 $a, b, c \in G$，有 $(ab)c = a(bc)$；
- 单位元 (identity element)：存在 $e \in G$，使得对所有 $a \in G$，有 $ea = ae = a$；
- 逆元 (inverse element)：对每个 $a \in G$，存在 $a^{-1} \in G$，使得 $aa^{-1} = a^{-1}a = e$。
若还满足 $ab = ba$ 对所有 $a, b \in G$，则称 $G$ 为交换群 (abelian group) 或加法群。交换群在 Galois 基本定理中扮演特殊角色——正规子群对应 Galois 子扩张恰好是因为商群的交换性。
例 1.2. 以下都是群：
- $(\mathbb{Z}, +)$：整数关于加法构成交换群，单位元为 $0$。
- $(\mathbb{Q}^{\times}, \cdot)$：非零有理数关于乘法构成交换群，单位元为 $1$。
- $S_n$：$n$ 个元素的对称群 (symmetric group)，由 ${1, 2, \ldots, n}$ 上所有置换在复合运算下构成。当 $n \geq 3$ 时，$S_n$ 是非交换群。$|S_n| = n!$。
- $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$：模 $n$ 的剩余类关于加法构成 $n$ 阶循环群。
命题 1.3 (唯一性). 群的单位元和每个元素的逆元都是唯一的。
证明: 设 $e, e'$ 都是单位元，则 $e = ee' = e'$。设 $b, b'$ 都是 $a$ 的逆元，则 $b = b(ab') = (ba)b' = b'$。 $\blacksquare$
1.2 子群
定义 1.4 (子群). 设 $G$ 为群。子集 $H \subseteq G$ 称为 $G$ 的子群 (subgroup)，记作 $H \leq G$，若 $H$ 在 $G$ 的运算下也构成一个群。等价地，$H \leq G$ 当且仅当：
- $e \in H$；
- $a, b \in H \Rightarrow ab \in H$；
- $a \in H \Rightarrow a^{-1} \in H$。
例 1.5.
- $n\mathbb{Z} = {nk : k \in \mathbb{Z}}$ 是 $(\mathbb{Z}, +)$ 的子群。
- $A_n = {\sigma \in S_n : \sigma \text{ 是偶置换}}$ 是 $S_n$ 的子群，称为 $n$ 次交错群 (alternating group)。$|A_n| = n!/2$。
- $\langle r \rangle = {e, r, r^2, \ldots, r^{n-1}}$ 是由元素 $r$ 生成的循环子群 (cyclic subgroup)。
命题 1.6 (Lagrange 定理). 设 $G$ 为有限群，$H \leq G$。则 $|H|$ 整除 $|G|$。
证明: 定义 $H$ 在 $G$ 上的左陪集 (left coset)：对 $a \in G$，$aH = {ah : h \in H}$。我们分三步证明：
第一步（左陪集划分 $G$）：对任意 $a \in G$，$a \in aH$（因 $e \in H$），故 $G = \bigcup_{a \in G} aH$。又对任意两个左陪集 $aH$ 和 $bH$，若 $aH \cap bH \neq \varnothing$，取 $c \in aH \cap bH$，则 $c = ah_1 = bh_2$，故 $a = bh_2 h_1^{-1} \in bH$，从而 $aH \subseteq bH$；同理 $bH \subseteq aH$。因此不同左陪集互不相交。
第二步（每个左陪集大小相等）：映射 $h \mapsto ah$ 是 $H$ 到 $aH$ 的双射（逆映射为 $ah \mapsto h$），故 $|aH| = |H|$。
第三步（结论）：设 $[G:H]$ 表示不同左陪集的个数。由第一步和第二步，$|G| = [G:H] \cdot |H|$，故 $|H|$ 整除 $|G|$。 $\blacksquare$
定义 1.7 (指数). 称 $[G:H] = |G|/|H|$ 为 $H$ 在 $G$ 中的指数 (index)。
推论 1.8. 设 $G$ 为有限群，$a \in G$。则 $a^{|G|} = e$。
证明: 元素 $a$ 生成的循环子群 $\langle a \rangle$ 的阶整除 $|G|$（Lagrange 定理），故 $a^{|G|} = e$。 $\blacksquare$
1.3 正规子群与商群
定义 1.9 (正规子群). 子群 $N \leq G$ 称为正规子群 (normal subgroup)，记作 $N \trianglelefteq G$，若对所有 $g \in G$，有
$$gNg^{-1} = {gng^{-1} : n \in N} = N.$$
等价地，$N \trianglelefteq G$ 当且仅当对所有 $g \in G$，左陪集 $gN$ 等于右陪集 $Ng$。
正规子群在 Galois 理论中的角色
正规子群是 Galois 理论的核心概念之一。在 Galois 基本定理（定理 6.4）中，我们将看到：$H \trianglelefteq G$ 当且仅当对应的中间域 $E^H$ 是 $F$ 上的 Galois 扩张。这建立了群论中的正规性与域论中的正规性之间的精确对应。
例 1.10.
- 交换群的每个子群都是正规子群。
- $A_n \trianglelefteq S_n$（因为偶置换的共轭仍是偶置换）。
- ${e}$ 和 $G$ 本身总是 $G$ 的正规子群，称为平凡正规子群。
定义 1.11 (商群). 设 $N \trianglelefteq G$。定义 $G$ 在 $N$ 的左陪集集合上的运算：
$$(aN)(bN) = (ab)N.$$
这个运算是良定义的（因为 $N$ 正规），且在此运算下，左陪集的集合构成一个群，称为 商群 (quotient group)，记作 $G/N$。
命题 1.12. 若 $G$ 为有限群，$N \trianglelefteq G$，则 $|G/N| = [G:N] = |G|/|N|$。
证明: 商群 $G/N$ 的元素恰好是 $G$ 中 $N$ 的不同左陪集，共有 $[G:N]$ 个。 $\blacksquare$
1.4 群同态
定义 1.13 (群同态). 设 $G, H$ 为群。映射 $\varphi: G \to H$ 称为群同态 (group homomorphism)，若对所有 $a, b \in G$，
$$\varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b).$$
定义 1.14 (核与像). 对群同态 $\varphi: G \to H$：
- 核 (kernel)：$\ker \varphi = {a \in G : \varphi(a) = e_H}$；
- 像 (image)：$\operatorname{im} \varphi = {\varphi(a) : a \in G}$。
命题 1.15. 设 $\varphi: G \to H$ 为群同态，则：
- $\varphi(e_G) = e_H$；
- $\varphi(a^{-1}) = \varphi(a)^{-1}$；
- $\ker \varphi \trianglelefteq G$；
- $\operatorname{im} \varphi \leq H$。
证明:
- $\varphi(e_G) = \varphi(e_G \cdot e_G) = \varphi(e_G)\varphi(e_G)$，左乘 $\varphi(e_G)^{-1}$ 得 $e_H = \varphi(e_G)$。
- $e_H = \varphi(e_G) = \varphi(aa^{-1}) = \varphi(a)\varphi(a^{-1})$，故 $\varphi(a^{-1}) = \varphi(a)^{-1}$。
- 设 $n \in \ker\varphi$，$g \in G$。则 $\varphi(gng^{-1}) = \varphi(g)\varphi(n)\varphi(g)^{-1} = \varphi(g) \cdot e_H \cdot \varphi(g)^{-1} = e_H$，故 $gng^{-1} \in \ker\varphi$。
- 对 $h_1 = \varphi(g_1), h_2 = \varphi(g_2) \in \operatorname{im}\varphi$，有 $h_1h_2^{-1} = \varphi(g_1)\varphi(g_2)^{-1} = \varphi(g_1g_2^{-1}) \in \operatorname{im}\varphi$。由子群判别法，$\operatorname{im}\varphi \leq H$。 $\blacksquare$
定理 1.16 (第一同构定理). 设 $\varphi: G \to H$ 为群同态。则
$$G / \ker\varphi \cong \operatorname{im}\varphi.$$
具体地，映射 $\overline{\varphi}: G/\ker\varphi \to \operatorname{im}\varphi$ 定义为 $\overline{\varphi}(g\ker\varphi) = \varphi(g)$ 是良定义的群同构。
证明:
- 良定义性: 若 $g_1\ker\varphi = g_2\ker\varphi$，则 $g_1^{-1}g_2 \in \ker\varphi$，故 $\varphi(g_1^{-1}g_2) = e_H$，即 $\varphi(g_1) = \varphi(g_2)$。
- 同态性: $\overline{\varphi}((g_1\ker\varphi)(g_2\ker\varphi)) = \overline{\varphi}((g_1g_2)\ker\varphi) = \varphi(g_1g_2) = \varphi(g_1)\varphi(g_2) = \overline{\varphi}(g_1\ker\varphi) \cdot \overline{\varphi}(g_2\ker\varphi)$。
- 单射性: 若 $\overline{\varphi}(g\ker\varphi) = e_H$，则 $\varphi(g) = e_H$，故 $g \in \ker\varphi$，即 $g\ker\varphi$ 为 $G/\ker\varphi$ 的单位元。
- 满射性: 对 $h \in \operatorname{im}\varphi$，存在 $g \in G$ 使得 $\varphi(g) = h$，故 $\overline{\varphi}(g\ker\varphi) = h$。 $\blacksquare$
例 1.17. 考虑行列式映射 $\det: GL_n(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^{\times}$，它是一个群同态，核为 $SL_n(\mathbb{R}) = {A \in GL_n(\mathbb{R}) : \det A = 1}$。由第一同构定理，$GL_n(\mathbb{R})/SL_n(\mathbb{R}) \cong \mathbb{R}^{\times}$。
1.5 循环群与置换群
定义 1.18 (循环群). 若群 $G$ 由单个元素 $a$ 生成，即 $G = \langle a \rangle = {a^n : n \in \mathbb{Z}}$，则称 $G$ 为循环群 (cyclic group)。
循环群的结构完全由其阶决定：
- 若 $|G| = n < \infty$，则 $G \cong \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$；
- 若 $G$ 为无限群，则 $G \cong \mathbb{Z}$。
命题 1.19. 有限循环群的每个子群都是循环群。更精确地，$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 的子群恰为 $\langle d \rangle = d\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$，其中 $d$ 取遍 $n$ 的正因子。
置换群 $S_n$ 在 Galois 理论中占据核心地位。多项式的根之间的置换构成的群，正是 Galois 群的原型。
定义 1.20 (轮换与对换). $S_n$ 中的元素可以用轮换 (cycle) 的乘积来表示。
- 轮换 $(a_1, a_2, \cdots, a_k)$ 表示将 $a_1 \mapsto a_2, a_2 \mapsto a_3, \ldots, a_k \mapsto a_1$，其余元素不变。
- 对换 (transposition) 是长度为 2 的轮换 $(a, b)$。
定理 1.21. 每个置换都可以写成对换的乘积。
证明: 对轮换 $(a_1, a_2, \cdots, a_k) = (a_1, a_k)(a_1, a_{k-1}) \cdots (a_1, a_2)$，而每个置换是不相交轮换的乘积。 $\blacksquare$
1.6 群作用
定义 1.22 (群作用). 群 $G$ 在集合 $X$ 上的左作用 (left action) 是一个映射 $G \times X \to X$，记作 $(g, x) \mapsto g \cdot x$，满足：
- $e \cdot x = x$ 对所有 $x \in X$；
- $(gh) \cdot x = g \cdot (h \cdot x)$ 对所有 $g, h \in G$，$x \in X$。
定义 1.23 (轨道与稳定子). 设群 $G$ 作用在集合 $X$ 上。
- 对 $x \in X$，$x$ 的轨道 (orbit) 为 $G \cdot x = {g \cdot x : g \in G}$；
- $x$ 的稳定子 (stabilizer) 为 $G_x = {g \in G : g \cdot x = x}$。
定理 1.24 (轨道-稳定子定理). 设 $G$ 为有限群，作用在 $X$ 上。则对 $x \in X$，
$$|G| = |G \cdot x| \cdot |G_x|.$$
证明: 映射 $gG_x \mapsto g \cdot x$ 是从左陪集集合 $G/G_x$ 到轨道 $G \cdot x$ 的双射。 $\blacksquare$
推论 1.25 (Cauchy 定理). 若素数 $p$ 整除有限群 $G$ 的阶，则 $G$ 中存在 $p$ 阶元素。
证明: 考虑 $G$ 在集合 $X = {(a_1, \ldots, a_p) \in G^p : a_1 \cdots a_p = e}$ 上的循环置换作用。
第一步：$|X| = |G|^{p-1}$。这是因为 $a_1, \ldots, a_{p-1}$ 可以任取，而 $a_p = (a_1 \cdots a_{p-1})^{-1}$ 唯一确定。故 $p$ 整除 $|X|$。
第二步：元素 $(e, \ldots, e) \in X$ 的轨道大小为 1（循环置换不改变全为 $e$ 的元组）。对 $x \in X$，$x$ 的轨道大小为 $|G \cdot x|$，由轨道-稳定子定理（定理 1.24），$|G \cdot x|$ 整除 $p$（循环群 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 的阶），故轨道大小为 1 或 $p$。
第三步：设 $k$ 为轨道大小为 1 的元素个数。则 $|X| = k + p \cdot m$ 对某个整数 $m$。因 $p \mid |X|$，故 $p \mid k$。而 $(e, \ldots, e)$ 是一个轨道大小为 1 的元素，故 $k \geq 1$，从而 $k \geq p$。
第四步：存在另一个轨道大小为 1 的元素 $(a, a, \ldots, a) \neq (e, \ldots, e)$。其轨道大小为 1 意味着 $a_1 \cdots a_p = a^p = e$，即 $a$ 是 $p$ 阶元素。 $\blacksquare$
小结
本章回顾了群论的核心概念：群、子群、正规子群、商群、群同态与群作用。其中 Lagrange 定理、第一同构定理和轨道-稳定子定理将在后续章节中反复使用。在下一章中，我们将转向另一个代数结构——环，它是理解多项式和域的基础。