预备知识

本章回顾阅读本教程所需的最基本概念。我们假定读者具备大学数学的基础训练，但不要求熟悉抽象代数。以下定义和记号将在全书中反复使用。

集合与映射

设 $A$ 和 $B$ 为集合。映射 $f: A \to B$ 称为

• 单射 (injective)：若 $f(a_1) = f(a_2) \Rightarrow a_1 = a_2$；
• 满射 (surjective)：若对每个 $b \in B$，存在 $a \in A$ 使得 $f(a) = b$；
• 双射 (bijection)：若 $f$ 既是单射又是满射。

若 $f: A \to B$ 和 $g: B \to C$ 都是映射，则它们的复合 $g \circ f: A \to C$ 定义为 $(g \circ f)(a) = g(f(a))$。

线性代数基础

设 $V$ 为域 $F$ 上的向量空间。$V$ 的维数 $\dim_F V$ 是 $V$ 的任一基的元素个数（对于无限维的情形，维数为基数）。

关键结论： 若 $V$ 是有限维的，且 $W \subseteq V$ 是子空间，则 $\dim_F W \leq \dim_F V$，等号成立当且仅当 $W = V$。

设 $T: V \to V$ 为线性变换。$T$ 的极小多项式 $\mu_T(x) \in F[x]$ 是使得 $\mu_T(T) = 0$ 的首一多项式中次数最低的。极小多项式在研究域扩张的自同构时将起到关键作用。

记号约定

以下是全书通用的记号：

记号	含义
$\mathbb{Z}$	整数环
$\mathbb{Q}$	有理数域
$\mathbb{R}$	实数域
$\mathbb{C}$	复数域
$\mathbb{F}_p$	$p$ 个元素的有限域（$p$ 为素数）
$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$	模 $n$ 的剩余类环
$F[x]$	系数在 $F$ 中的多项式环
$F^{\times}$	域 $F$ 的非零元素的乘法群
$\subseteq$	子集（可能相等）
$\subsetneq$	真子集
$A \cong B$	$A$ 与 $B$ 同构
$	G

逻辑与证明

本书中使用以下标准逻辑术语：

• 必要条件与充分条件：若 $P \Rightarrow Q$，则 $P$ 是 $Q$ 的充分条件，$Q$ 是 $P$ 的必要条件。
• 逆否命题：$P \Rightarrow Q$ 等价于 $\neg Q \Rightarrow \neg P$。
• 反证法：欲证 $P$，先假设 $\neg P$，推出矛盾。
• 数学归纳法：若性质对 $n = 0$ 成立，且由 $n = k$ 成立可推出 $n = k+1$ 成立，则对所有自然数 $n$ 成立。

本书的证明风格

每个定理之后紧跟证明。证明以 证明: 开头，以 $\blacksquare$ 结尾。读者若初读时跳过某些证明，不影响后续章节的阅读连续性。

小结

本章回顾了集合论、线性代数和逻辑推理的基本工具。这些预备知识是理解后续代数结构的基石。在下一章中，我们将进入群论的核心世界。