第三章 多项式环

多项式环 $F[x]$ 是域论的核心构件。从 $F[x]$ 出发，通过不可约多项式构造域扩张，是 Galois 理论的基本技术。本章深入研究多项式环的代数性质。

3.1 多项式环的基本结构

定义 3.1 (多项式环). 设 $F$ 为域。多项式环

$$F[x] = {a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 : n \geq 0,, a_i \in F}$$

在逐项加法和通常的多项式乘法下构成含幺交换环。

定义 3.2 (次数). 对非零多项式 $f(x) = a_n x^n + \cdots + a_0 \in F[x]$（$a_n \neq 0$），定义：

• $f$ 的次数 (degree)：$\deg f = n$；
• $f$ 的首项系数 (leading coefficient)：$\operatorname{lc}(f) = a_n$；
• $f$ 称为首一多项式 (monic polynomial)，若 $\operatorname{lc}(f) = 1$。

约定 $\deg 0 = -\infty$。

命题 3.3. 设 $f, g \in F[x]$ 为非零多项式。则

$$\deg(fg) = \deg f + \deg g.$$

证明: 设 $f = a_m x^m + \cdots$，$g = b_n x^n + \cdots$，则 $fg = a_m b_n x^{m+n} + \cdots$，且 $a_m b_n \neq 0$（因 $F$ 是域，无零因子）。 $\blacksquare$

推论 3.4. $F[x]$ 是整环。

证明: 若 $fg = 0$ 且 $f \neq 0$，则 $\deg(fg) = \deg f + \deg g = -\infty$，矛盾。 $\blacksquare$

3.2 带余除法与最大公因子

定理 3.5 (带余除法 / Euclid 除法). 设 $F$ 为域，$f, g \in F[x]$，$g \neq 0$。则存在唯一的 $q, r \in F[x]$ 使得

$$f = qg + r, \quad \deg r < \deg g.$$

证明:

存在性：对 $\deg f$ 进行归纳。若 $\deg f < \deg g$，取 $q = 0$，$r = f$。否则设 $f = a x^m + \cdots$，$g = b x^n + \cdots$（$m \geq n$），令 $f_1 = f - \frac{a}{b} x^{m-n} g$，则 $\deg f_1 < \deg f$，由归纳假设可对 $f_1$ 和 $g$ 做带余除法。

唯一性：若 $f = q_1 g + r_1 = q_2 g + r_2$，则 $(q_1 - q_2)g = r_2 - r_1$。若 $q_1 \neq q_2$，则 $\deg((q_1-q_2)g) \geq \deg g > \max(\deg r_1, \deg r_2)$，矛盾。 $\blacksquare$

定义 3.6 (整除与因子). 设 $f, g \in F[x]$。$f$ 整除 $g$（记作 $f \mid g$）若存在 $h \in F[x]$ 使得 $g = fh$。

定义 3.7 (最大公因子). $f, g \in F[x]$ 的最大公因子 (greatest common divisor) $\gcd(f, g)$ 是首一多项式 $d$，使得 $d \mid f$，$d \mid g$，且任何整除 $f$ 和 $g$ 的多项式也整除 $d$。

$\gcd$ 存在且唯一，可通过 Euclid 算法 计算：

$$f = q_1 g + r_1, \quad g = q_2 r_1 + r_2, \quad \ldots$$

最终 $r_k = \gcd(f, g)$（首一化）。

定义 3.8 (互素). 多项式 $f$ 和 $g$ 称为互素 (coprime)，若 $\gcd(f, g) = 1$。

命题 3.9. 若 $\gcd(f, g) = 1$，则存在 $u, v \in F[x]$ 使得 $uf + vg = 1$（Bézout 等式）。

3.3 不可约多项式

定义 3.10. 多项式 $f \in F[x]$（$\deg f \geq 1$）称为 $F$ 上的不可约多项式 (irreducible polynomial)，若 $f$ 不能写成两个次数更低的多项式之积。即 $f = gh$ 蕴含 $g$ 或 $h$ 是常数。

等价地，$f$ 不可约当且仅当它在 $F[x]$ 中是不可约元。

例 3.11.

• $x^2 - 2$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约（由 Eisenstein 判别法，取素数 $p = 2$），但在 $\mathbb{R}$ 上可分解为 $(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$。
• $x^2 + 1$ 在 $\mathbb{R}$ 上不可约（无实根），但在 $\mathbb{C}$ 上可分解为 $(x+i)(x-i)$。
• $x^4 + 1$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约（不能直接用 Eisenstein，但可用变量替换 $x \mapsto x+1$ 后应用）。

定理 3.12 (Eisenstein 判别法). 设 $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0 \in \mathbb{Z}[x]$。若存在素数 $p$ 使得：

1. $p \nmid a_n$；
2. $p \mid a_i$ 对所有 $0 \leq i \leq n-1$；
3. $p^2 \nmid a_0$；

则 $f(x)$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约。

证明: 设 $f = gh$ 在 $\mathbb{Z}[x]$ 中（由 Gauss 引理，$\mathbb{Q}[x]$ 中的因式分解可提升到 $\mathbb{Z}[x]$）。设 $g = b_s x^s + \cdots + b_0$，$h = c_t x^t + \cdots + c_0$。

在 $\mathbb{F}_p[x]$ 中，$\bar{f} = \bar{a}_n x^n$。由于 $\mathbb{F}_p[x]$ 是 UFD，$\bar{g} = \bar{b}_s x^s$，$\bar{h} = \bar{c}_t x^t$。因此 $p \mid b_0$ 且 $p \mid c_0$，故 $p^2 \mid b_0 c_0 = a_0$，矛盾。 $\blacksquare$

例 3.13. 第 $p$ 个分圆多项式 (cyclotomic polynomial)

$$\Phi_p(x) = x^{p-1} + x^{p-2} + \cdots + x + 1 = \frac{x^p - 1}{x - 1}$$

在 $\mathbb{Q}$ 上不可约。证明：令 $y = x - 1$，则 $\Phi_p(x) = \frac{(y+1)^p - 1}{y} = y^{p-1} + \binom{p}{1}y^{p-2} + \cdots + \binom{p}{p-1}$。由 $p \mid \binom{p}{k}$（$1 \leq k \leq p-1$）和 $p^2 \nmid \binom{p}{p-1} = p$，Eisenstein 判别法适用。

3.4 唯一分解

定理 3.14. $F[x]$ 是 PID（从而也是 UFD）。

证明: 设 $I \trianglelefteq F[x]$ 为非零理想。在 $I$ 中取次数最低的非零多项式 $d$。对任意 $f \in I$，带余除法给出 $f = qd + r$，$\deg r < \deg d$。由于 $r = f - qd \in I$ 和 $d$ 的极小性，$r = 0$。故 $f \in (d)$，$I = (d)$。 $\blacksquare$

推论 3.15. $F[x]$ 中的每个非常数多项式都可以唯一地（不计次序和常数因子）分解为不可约多项式的乘积。

3.5 根与因式

定义 3.16. 元素 $\alpha \in F$ 称为多项式 $f(x) \in F[x]$ 的根 (root) 或零点 (zero)，若 $f(\alpha) = 0$。

定理 3.17 (余式定理 / Factor Theorem). $\alpha \in F$ 是 $f(x)$ 的根当且仅当 $(x - \alpha) \mid f(x)$。

证明: 带余除法：$f(x) = q(x)(x-\alpha) + r$，$r$ 为常数。代入 $x = \alpha$ 得 $r = f(\alpha)$。 $\blacksquare$

推论 3.18. $F[x]$ 中 $n$ 次多项式 $f$ 在 $F$ 中至多有 $n$ 个根（计重数）。

证明: 对 $n$ 归纳。若 $\alpha$ 是根，$f(x) = (x-\alpha)g(x)$，$\deg g = n-1$，$g$ 至多 $n-1$ 个根。 $\blacksquare$

定义 3.19. 根 $\alpha$ 的重数 (multiplicity) 是最大的正整数 $e$ 使得 $(x-\alpha)^e \mid f(x)$。

3.6 分裂域

定义 3.20. 设 $f(x) \in F[x]$ 为非常数多项式。$f$ 的分裂域 (splitting field) 是 $F$ 的最小扩域 $E$，使得 $f$ 在 $E[x]$ 中完全分解为一次因式之积：

$$f(x) = c(x - \alpha_1)(x - \alpha_2) \cdots (x - \alpha_n), \quad \alpha_i \in E.$$

等价地，$E = F(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)$，即由 $F$ 添加 $f$ 的所有根生成的域。

例 3.21.

• $f(x) = x^2 - 2 \in \mathbb{Q}[x]$ 的分裂域是 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$。
• $f(x) = x^3 - 2 \in \mathbb{Q}[x]$ 的分裂域是 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega)$，其中 $\omega = e^{2\pi i/3}$。此域在 $\mathbb{Q}$ 上的维数为 6。
• $f(x) = x^p - 1 \in \mathbb{Q}[x]$（$p$ 为素数）的分裂域是 $\mathbb{Q}(\zeta_p)$，其中 $\zeta_p = e^{2\pi i/p}$。由 $\Phi_p(x)$ 不可约，$[\mathbb{Q}(\zeta_p):\mathbb{Q}] = p-1$。

定理 3.22 (分裂域的存在唯一性). 对域 $F$ 上的非常数多项式 $f(x)$：

1. 分裂域存在；
2. 分裂域在 $F$-同构意义下唯一。

证明:

存在性：对 $\deg f$ 归纳。若 $f$ 在 $F$ 上有不可约因子 $g$，取 $g$ 的根 $\alpha$，构造 $F(\alpha) \cong F[x]/(g)$。在 $F(\alpha)$ 上 $f$ 有一个一次因子，重复此过程。

唯一性：设 $E_1, E_2$ 都是 $f$ 的分裂域。利用 $F[x]$ 中不可约多项式根的可扩张性（逐步嵌入），构造 $F$-同构 $E_1 \to E_2$。 $\blacksquare$

小结

本章深入研究了多项式环 $F[x]$ 的代数结构：它是一个 PID，拥有唯一的因式分解。Eisenstein 判别法提供了判定不可约性的实用工具。分裂域的概念将多项式理论与域扩张联系起来——这正是下一章的主题。