第二章 环与理想

域是 Galois 理论的舞台，而环 (ring) 是通往域的桥梁。多项式环 $F[x]$ 是构造域扩张的起点，理想 (ideal) 则提供了构造商结构的工具。本章系统回顾环论的基本框架。

2.1 环的定义

定义 2.1 (环). 一个环是一个集合 $R$ 配上两个二元运算 $+$ (加法) 和 $\cdot$ (乘法)，满足：

1. $(R, +)$ 是交换群（单位元记作 $0$）；
2. 乘法满足结合律：$(ab)c = a(bc)$；
3. 分配律成立：$a(b+c) = ab + ac$，$(a+b)c = ac + bc$。

若乘法有单位元 $1$（$1 \neq 0$），则称 $R$ 为含幺环 (ring with unity / unital ring)。若乘法交换（$ab = ba$），则称 $R$ 为交换环 (commutative ring)。

本书中的"环"默认指含幺交换环，除非另有说明。

例 2.2.

• $\mathbb{Z}$ 是整数环，是最基本的交换含幺环。
• $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 是模 $n$ 的剩余类环。
• $F[x]$ 是域 $F$ 上的多项式环。
• $M_n(F)$ 是 $F$ 上 $n \times n$ 矩阵的集合，在矩阵加法和乘法下构成环。这是非交换环的例子。

定义 2.3 (单位与零因子). 设 $R$ 为环。

• $a \in R$ 称为单位 (unit)，若存在 $b \in R$ 使得 $ab = 1$。所有单位构成乘法群 $R^{\times}$。
• $a \in R$ 称为零因子 (zero divisor)，若 $a \neq 0$ 且存在 $b \neq 0$ 使得 $ab = 0$。

例 2.4. 在 $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ 中，$2 \cdot 3 = 0$，故 $2$ 和 $3$ 都是零因子。单位为 $\bar{1}$ 和 $\bar{5}$。

2.2 整环与域

定义 2.5 (整环). 含幺交换环 $R$ 称为整环 (integral domain)，若 $R$ 没有零因子。等价地，$R$ 是整环当且仅当 $R \neq {0}$，且消去律成立：$ab = ac$ 且 $a \neq 0$ 蕴含 $b = c$。

定义 2.6 (域). 域 (field) 是含幺交换环 $F$，使得 $F^{\times} = F \setminus {0}$ 中每个元素都是单位。等价地，$F$ 是整环，且每个非零元素都有乘法逆。

命题 2.7. 每个域都是整环。

证明: 设 $ab = 0$ 在域 $F$ 中。若 $a \neq 0$，则 $a^{-1}$ 存在，故 $b = a^{-1}(ab) = a^{-1} \cdot 0 = 0$。 $\blacksquare$

命题 2.8. 有限整环必为域。

证明: 设 $R$ 为有限整环，$a \in R \setminus {0}$。考虑映射 $\mu_a: R \to R$，$\mu_a(x) = ax$。因为 $R$ 是整环，$\mu_a$ 是单射。因为 $R$ 有限，单射即满射。故存在 $b \in R$ 使得 $ab = 1$。 $\blacksquare$

例 2.9. 对素数 $p$，$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} = \mathbb{F}_p$ 是域。一般地，$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 是域当且仅当 $n$ 是素数。

2.3 理想

定义 2.10 (理想). 设 $R$ 为环。$R$ 的子集 $I$ 称为 $R$ 的理想 (ideal)，记作 $I \trianglelefteq R$，若：

1. $(I, +)$ 是 $(R, +)$ 的子群；
2. 对所有 $r \in R$ 和 $a \in I$，有 $ra \in I$（吸收性）。

注意：理想一般不是子环（除非 $1 \in I$，此时 $I = R$）。

例 2.11.

• $n\mathbb{Z}$ 是 $\mathbb{Z}$ 的理想。
• ${0}$ 和 $R$ 本身总是 $R$ 的理想，称为平凡理想。
• 设 $a \in R$，则 $(a) = {ra : r \in R} = Ra$ 称为由 $a$ 生成的主理想 (principal ideal)。
• 更一般地，若 $a_1, \ldots, a_n \in R$，则 $(a_1, \ldots, a_n) = Ra_1 + \cdots + Ra_n$ 是由 $a_1, \ldots, a_n$ 生成的理想。

命题 2.12. 整环 $R$ 是域当且仅当 $R$ 的理想只有 ${0}$ 和 $R$。

证明:

$(\Rightarrow)$ 设 $I$ 是域 $R$ 的非零理想。取 $a \in I \setminus {0}$，则 $a^{-1} \in R$，故 $1 = a^{-1}a \in I$，从而 $I = R$。

$(\Leftarrow)$ 设 $R$ 只有平凡理想。对任意 $a \in R \setminus {0}$，主理想 $(a)$ 非零，故 $(a) = R$，即 $1 \in (a)$，存在 $b$ 使得 $ab = 1$。 $\blacksquare$

2.4 商环与环同态

定义 2.13 (环同态). 设 $R, S$ 为环。映射 $\varphi: R \to S$ 称为环同态 (ring homomorphism)，若：

1. $\varphi(a+b) = \varphi(a) + \varphi(b)$；
2. $\varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b)$；
3. $\varphi(1_R) = 1_S$。

定义 2.14. 环同态 $\varphi: R \to S$ 的核 (kernel) 为 $\ker\varphi = {r \in R : \varphi(r) = 0_S}$。

命题 2.15. $\ker\varphi$ 是 $R$ 的理想。

证明: 设 $a, b \in \ker\varphi$，$r \in R$。则 $\varphi(a-b) = \varphi(a) - \varphi(b) = 0$，$\varphi(ra) = \varphi(r)\varphi(a) = \varphi(r) \cdot 0 = 0$。 $\blacksquare$

定义 2.16 (商环). 设 $I \trianglelefteq R$。加法商群 $R/I$ 上定义乘法 $(a+I)(b+I) = ab + I$，使之成为环，称为商环 (quotient ring)。

定理 2.17 (环的第一同构定理). 设 $\varphi: R \to S$ 为环同态。则

$$R/\ker\varphi \cong \operatorname{im}\varphi.$$

证明: 与群的第一同构定理 (定理 1.16) 的证法完全类似，只需验证乘法和单位元的保持。 $\blacksquare$

2.5 PID 与唯一分解

定义 2.18 (主理想整环). 整环 $R$ 称为主理想整环 (principal ideal domain, PID)，若 $R$ 的每个理想都是主理想。

例 2.19.

• $\mathbb{Z}$ 是 PID（整数的每个理想都是 $n\mathbb{Z}$ 的形式）。
• 域 $F$ 上的多项式环 $F[x]$ 是 PID（将在下一章详细讨论）。
• $\mathbb{Z}[x]$ 不是 PID。例如理想 $(2, x) = {f \in \mathbb{Z}[x] : f(0) \text{ 是偶数}}$ 不是主理想。

定义 2.20 (不可约元与素元). 设 $R$ 为整环，$a \in R$ 非零非单位。

• $a$ 称为不可约元 (irreducible element)，若 $a = bc$ 蕴含 $b$ 或 $c$ 是单位。
• $a$ 称为素元 (prime element)，若 $a \mid bc$ 蕴含 $a \mid b$ 或 $a \mid c$。

命题 2.21. 在整环中，素元必是不可约元。在 PID 中，不可约元也是素元。

证明:

第一部分：设 $p$ 是素元，$p = ab$。则 $p \mid ab$，故 $p \mid a$ 或 $p \mid b$。若 $p \mid a$，则 $a = pc$，代入 $p = ab = pcb$，由消去律得 $1 = cb$，即 $b$ 是单位。

第二部分：设 $R$ 是 PID，$a$ 不可约。主理想 $(a)$ 是极大理想（因为 $a$ 不可约意味着 $(a) \subsetneq (b) \subsetneq R$ 不可能）。极大理想必为素理想（对交换含幺环），故 $a$ 是素元。 $\blacksquare$

定理 2.22 (PID 中的唯一分解). PID 中的每个非零非单位元素都可以唯一地（不计次序和单位因子）写成不可约元的乘积。

证明: 存在性用理想的升链条件（PID 中不真包含无穷严格升链的理想）。唯一性由素元性质推出。详细证明参见标准教材。 $\blacksquare$

例 2.23. $\mathbb{Z}$ 中 $12 = 2^2 \cdot 3$，$60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$，分解唯一。

2.6 极大理想与素理想

定义 2.24. 设 $R$ 为交换含幺环。

• 理想 $\mathfrak{m} \trianglelefteq R$ 称为极大理想 (maximal ideal)，若 $\mathfrak{m} \neq R$，且不存在理想 $I$ 使得 $\mathfrak{m} \subsetneq I \subsetneq R$。
• 理想 $\mathfrak{p} \trianglelefteq R$ 称为素理想 (prime ideal)，若 $\mathfrak{p} \neq R$，且 $ab \in \mathfrak{p}$ 蕴含 $a \in \mathfrak{p}$ 或 $b \in \mathfrak{p}$。

定理 2.25. 设 $R$ 为交换含幺环，$I \trianglelefteq R$。

1. $I$ 是极大理想当且仅当 $R/I$ 是域。
2. $I$ 是素理想当且仅当 $R/I$ 是整环。

证明:

(1) $(\Rightarrow)$ 设 $I$ 极大。对 $a + I \in R/I$ 非零，即 $a \notin I$，则 $I \subsetneq (I, a) \subseteq R$。由极大性，$(I, a) = R$，故存在 $r, s$ 使得 $ra + s = 1$（其中 $s \in I$），即 $(r+I)(a+I) = 1+I$。

$(\Leftarrow)$ 设 $R/I$ 是域。若 $I \subsetneq J \subseteq R$ 是理想，取 $a \in J \setminus I$。则 $a + I$ 在 $R/I$ 中可逆，存在 $b+I$ 使得 $ab \equiv 1 \pmod{I}$，即 $1 = ab - s$（$s \in I \subseteq J$），故 $1 \in J$，$J = R$。

(2) 完全类似。 $\blacksquare$

推论 2.26. 极大理想必是素理想。

证明: 域必是整环。 $\blacksquare$

小结

本章建立了环论的基本框架：环、整环、域、理想、商环、PID、极大理想和素理想。核心结论是 PID 中的唯一分解定理和极大理想与域的对应关系。在下一章中，我们将深入研究最重要的 PID——多项式环 $F[x]$，并利用它构造域扩张。